Systeem van vergelijkingen oplossingsmethoden, voorbeelden, oefeningen

De Ecuation Systems Ze bestaan ​​uit twee of meer vergelijkingen met verschillende variabelen die een gemeenschappelijke oplossing moeten hebben. Ze komen vaak voor, omdat er in de praktijk talloze situaties zijn die afhankelijk zijn van vele factoren, die op verschillende manieren gerelateerd zijn.

Over het algemeen heeft een vergelijkingssysteem de volgende vorm, waarbij elke functie een van de voorwaarden vertegenwoordigt die de oplossing moet voldoen:

Figuur 1. Een systeem van vergelijkingen bestaat uit M -functies en n onbekenden. Bron: f. Zapata.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld: Stel dat u rechthoekige papieren vellen moet produceren waarvan het gebied 180 cm is² en hebben een omtrek van 54 cm. Wat zou de afmetingen van het blad moeten zijn?

Om de vraag te beantwoorden, houden we rekening met dat de afmetingen van een rechthoekig vel twee zijn: breed en hoog. Dit betekent dat we 2 variabelen hebben waaraan we de gebruikelijke namen van zullen geven X En En.

En deze variabelen moeten voldoen aan de twee voorwaarden die tegelijkertijd worden opgelegd:

-Eerste voorwaarde: het lamina -gebied is 180 cm². Dit wordt de eerste functie: F₁.

-Tweede staat: de omtrek of contour van het blad moet 54 cm zijn. Dit is de tweede F -functie₂.

Voor elke voorwaarde wordt een vergelijking vastgesteld met behulp van algebraïsche taal. Gebied A van een rechthoekig vel wordt verkregen door zich wijd te vermenigvuldigen:

A = x.y = 180 cm²

En perimeter P -resultaten van het toevoegen van de zijkanten. Omdat de omtrek de som van de zijkanten is:

P = 2x + 2y = 54 cm

Het systeem dat voortvloeit uit twee vergelijkingen en twee onbekenden is:

XY = 180

2 (x + y) = 54

We hebben twee nummers nodig waarvan het product 180 is en dat het dubbele product van zijn som 54 is, of wat hetzelfde is: toegevoegd moeten 27 geven. Deze cijfers zijn 12 en 15.

In de sectie opgeloste oefeningen zullen we de gedetailleerde methode bieden om deze waarden te vinden, ondertussen kan de lezer gemakkelijk vervangende vervanging verifiëren, die beide vergelijkingen effectief bevredigen.

[TOC]

Voorbeelden van toepassingen van vergelijkingssystemen

De hierboven voorgestelde situatie bevat 2 variabelen en er zijn ten minste 2 vergelijkingen nodig om ze te vinden. Er zijn systemen met nog veel meer variabelen, maar in elk geval, als het systeem dat heeft gedaan N Hiervan is het tenminste vereist N Onafhankelijke vergelijkingen (men kan geen lineaire combinatie van de anderen zijn) om de oplossing te vinden, als deze bestaat.

Kan u dienen: touw (geometrie): lengte, stelling en oefeningen

Wat betreft toepassingen zijn ze talrijk. Hier zijn enkele waarin vergelijkingssystemen hun nut aantonen:

-Vind de stromingen die door een circuit circuleren door middel van de wetten van Kirchoff.

-In land- en luchttransport om de exit- en aankomstschema's op te stellen.

-Vind de krachten van krachten in dynamische of statische systemen die onderhevig zijn aan meerdere interacties.

-Om de hoeveelheid items te kennen die voor een bepaalde periode of in de fabrieken worden verkocht om de afmetingen van objecten te bepalen om aan bepaalde voorwaarden te voldoen in termen van oppervlakte of volume.

-Bij het bepalen van hoe u een kapitaal kunt distribueren in verschillende investeringen.

-Stel tarieven vast voor verschillende services, bijvoorbeeld telecommunicatie of toont en weet het bedrag van het verzamelde geld (zie voorbeeld opgelost 2)

Methoden voor vergelijkingssystemen oplossingssystemen

Methode vervanging

-Er wordt een vergelijking gekozen en een van de variabelen wordt gewist.

-Dan moet u de doorzichtige variabele in een andere vergelijking vervangen. Dan verdwijnt deze variabele vandaar en als het systeem twee vergelijkingen en twee onbekenden heeft, is er een vergelijking met een variabele die al duidelijk kan zijn.

-Als het systeem meer dan twee variabelen heeft, moet u een derde onbekende uit een andere vergelijking wissen en het ook vervangen.

Een voorbeeld van toepassing van deze methode is in het jaar opgelost 1.

Vermindering of eliminatiemethode

Deze methode bestaat uit het toevoegen of aftrekken van vergelijkingen om een ​​of meer variabelen te elimineren en een enkele achter te laten. Om dit te doen, is het handig om de vergelijkingen te vermenigvuldigen met een factor zodanig dat door het toevoegen van een andere vergelijking, het onbekende verdwijnt. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

3x² - En² = 11

Kan u van dienst zijn: centrale neigingsmaatregelen voor gegroepeerde gegevens: formules, oefeningen

X² + 4y² = 8

We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met 4:

12x² - 4y² = 44

X² + 4y² = 8

Door ze toe te voegen, verdwijnt het onbekende En, Verblijven:

13x² = 52

X² = 4

Daarom x₁ = 2 en x₂ = -2. Met deze waarden kan de lezer dat verifiëren en₁ = 1 en₂ = -1

Egalisatiemethode

Wanneer het systeem twee vergelijkingen is met twee onbekenden:

-Een onbekende wordt gekozen en vrij van beide vergelijkingen.

-De resultaten worden gelijkgesteld, waardoor een enkele vergelijking kan worden verkregen met een enkele onbekende.

-Deze vergelijking is opgelost en het resultaat wordt vervangen in een van de vorige toewijzingen om de waarde van de andere onbekende te verkrijgen.

Deze methode wordt in het jaar toegepast opgelost 2 van de volgende sectie.

Grafische methode

Deze methode bestaat uit het in kaart brengen van de krommen die elke vergelijking vertegenwoordigt. Het snijpunt is de systeemoplossing. Het volgende voorbeeld toont de grafische oplossing van het systeem:

X² + En ² = 1

2x + 4y = 0

Figuur 2. De grafische oplossing van het gelijktijdige vergelijkingssysteem is om de kruising van de curven te vinden. Bron: Wikimedia Commons.

De eerste van de vergelijkingen is een cirkel van straal 1 gericht op de oorsprong en de tweede is een lijn.

De kruising van beide zijn de twee punten die in het blauw worden weergegeven. De lezer kan verifiëren dat door de coördinaten van de punten in de bovenstaande vergelijkingen te vervangen, een gelijkheid wordt verkregen.

Opdrachten

- Oefening opgelost 1

U moet rechthoekige vellen van 180 cm gebied produceren² en met 54 cm perimeter. Wat zou de afmetingen van het blad moeten zijn?

Oplossing

Het te oplossen systeem is:

XY = 180

2 (x + y) = 54

De tweede vergelijking kan worden vereenvoudigd tot x + y = 27, dus:

XY = 180

x + y = 27

Een van de onbekenden van de tweede vergelijking is gewist:

y = 27 - x

De klaring wordt in de eerste vervangen:

(27 -x) = 180

Distributieve onroerend goed toepassen:

-X² + 27x = 180

Vermenigvuldiging met (-1) aan beide zijden van de vergelijking en 180 naar de linkerkant sturen:

X² - 27x +180 = 0

Het is een tweede graad vergelijking in X, die wordt opgelost door de formule:

Het kan u van dienst zijn: tegenovergestelde hoeken door het hoekpunt (met een opgeloste oefening)

Met a = 1, b = -27 en c = 180

 De oplossingen zijn: x₁ = 15 cm en x₂ = 12, daarom zijn de afmetingen van Y en₁ = 12 cm en en₂ = 15 cm.

- Oefening opgelost 2

Een pretpark heeft de volgende tarieven per ingang: kinderen 1.5 en volwassenen $ 4. Op één dag waren er 2200 bezoekers, die $ 5050 ophaalden. Zoek het aantal kinderen en volwassenen dat het park die dag heeft bezocht.

figuur 3. Het systeem van vergelijkingen dient om de verzameling van het pretpark op een dag af te breken. Bron: Pixabay.

Oplossing

Zijn X Het aantal kinderen en En Het aantal volwassenen. We kunnen de eerste van de vergelijkingen vaststellen, wetende dat de som van beide 2200 moet zijn:

x + y = 2200.

Nu gaan we met het verzamelde geld. De ticketprijs voor kinderen is 1.5 $ voor elk kind, door deze waarde te vermenigvuldigen met X, het aantal kinderen, hebben we het bedrag voor het binnendringen van kinderen:

1.5x = geld ingezameld door kindertickets

En als we $ 4 per volwassene vermenigvuldigen voor de hoeveelheid en volwassen bezoekers, wordt het totale geld verkregen door alle volwassenen:

4y = geld ingezameld door tickets voor volwassenen

We voegen dit toe om $ 5050 te krijgen:

1.5x + 4y = 5050

Ons systeem van vergelijkingen is:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Laten we het oplossen door egalisatie. We wissen de variabele en de eerste en de tweede vergelijking:

y = 2200 - x

y = (5050 - 1.5 x) /4

We zijn gelijk aan beide uitdrukkingen:

2200 - x = (5050 - 1.5x) /4

We vermenigvuldigen alles met 4 om de fractie te elimineren:

8800 - 4x = 5050 - 1.5x

We groeperen de voorwaarden met X links en de pure nummers rechts:

-4x + 1.5x = 5050 - 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 kinderen.

We vervangen deze waarde op y = 2200 - x om het aantal volwassenen te kennen:

y = 2200 - 1500 = 700 volwassenen.

Referenties

1. CK-12. Systemen van vergelijkingen en ongelijkheden. Hersteld van: CK12.borg.
2. Hoffman, J. Selectie van wiskundeproblemen. Deel 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.