Willekeurige selecties met of zonder vervanging

De willekeurige selectie Het bestaat uit het kiezen van, willekeurig, een element of monster, gebaseerd op een set gegevens of objecten. Bij vervanging betekent dit het terugbrengen van het element naar de oorspronkelijke set, en zonder vervanging betekent dit dat het niet terugkeert.

In het eerste geval, wanneer het geselecteerde element terugkeert naar de set van herkomst, wordt het niet gewijzigd, waardoor de mogelijkheid open blijft dat deze element meer dan eens wordt gekozen. Op deze manier kunnen oneindige extracties worden uitgevoerd op dezelfde populatie, zelfs als het uit N -elementen bestaat, eindig zijn.

Maar als de selectie zonder vervanging wordt gemaakt, verandert de oorspronkelijke set elementen elke keer dat een element wordt geëxtraheerd om het monster te vormen. En de geëxtraheerde elementen hebben geen mogelijkheid om opnieuw te worden geselecteerd.

Naarmate de bevolking afneemt, is het aantal extracties dat erop kan worden gedaan eindig.

Als de populatiegrootte N klein is, is er een significant verschil tussen het selecteren van willekeurige elementen met of zonder vervanging. Aan de andere kant, wanneer N erg groot is, is het verschil veel lager, zoals later zal worden gezien.

Selectie met vervanging

De kans dat een bepaalde X -gebeurtenis plaatsvindt, is de verhouding tussen het aantal gunstige gevallen en de totale gevallen:

P (x) = gunstige/totale cases.

Als de bevolking bestaat uit n verschillende elementen: x₁, X₂, X₃..., de kans om element x te kiezen₁ is P (x₁) = 1/n.

Omdat er vervanging is, blijft de populatiegrootte n, dan de kans om het volgende element x te kiezen₂ is P (x₂) = 1/n.

En op dezelfde manier heeft elk van de resterende elementen dezelfde kans om geselecteerd te worden:

Kan u van dienst zijn: graad van een polynoom: hoe deze is bepaald, voorbeelden en oefeningen

P (x_N) = 1/n

Daarom, de onafhankelijke gebeurtenissen met elkaar, is de gezamenlijke waarschijnlijkheid van optreden het product van de waarschijnlijkheden van elk van hen:

P (x₁, X₂, X₃... X_N) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Selectie zonder vervanging

Bij het kiezen van een bepaald element zonder vervanging van een populatie van grootte N, is de kans dat een dergelijk element wordt gekozen:

P (x₁) = 1/n

Zodra dit is gebeurd, blijven n - 1 elementen in de bevolking, daarom is de kans om het volgende te kiezen:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Kies dit element, de bevolking bestaat nu uit n - 2 elementen, in dit geval is de kans om het volgende te kiezen:

P (x₃) = 1/(n - 2)

Enzovoort. De waarschijnlijkheid voor het enige element is:

P (x_N) = 1/[n− (n-1)]

Ten slotte, de gezamenlijke kans om elementen te selecteren x₁, X₂, X₃... Als onderdeel van het monster is het het product van elk van de kansen:

P (x₁, X₂, X₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n− (n-1)]

Voorbeelden

In de statistieken is de werking van het selecteren van het monster een experiment, de set mogelijke resultaten is de steekproefruimte en de resultaten van het experiment vormen een gebeurtenis.

voorbeeld 1

Een doos met knikkers van verschillende kleuren is beschikbaar: 12 rood, 7 blauw en 5 groen. Het experiment bestaat uit het extraheren van een enkel willekeurig marmer.

Zoals in totaal zijn er 24 knikkers in de doos, waarvan 12 rood zijn, de kans om een ​​rood marmer uit te schakelen, aangeduid als p (r), is:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Hierna wilt u de kans weten om een ​​groen marmer te extraheren, dat wil zeggen P (V).

Kan u van dienst zijn: som van de vierkanten van twee opeenvolgende nummers

Deze waarschijnlijkheid hangt af van de vraag of het rode marmer dat in de eerste plaats is geëxtraheerd, terugkeert naar de doos of niet. Als het rode marmer opnieuw in de doos wordt geplaatst met de andere, is de selectie met vervanging of vervanging, en anders is het een selectie zonder vervanging.

In een selectie met vervanging verandert de monsterruimte niet, er zijn nog steeds 24 knikkers in de doos en de kans op het extraheren van een groen marmer is:

P (v) = 5/24 = 0.eenentwintig

En als het initiële rode marmer niet naar de doos wordt teruggestuurd, zijn er in dit 23 knikkers, en de kans op het extraheren van een groen moet iets groter zijn:

P (v) = 5/23 = 0.22

Voorbeeld 2

In een ander experiment met de marmeren doos wil je de kans berekenen dat, wanneer twee knikkers worden geëxtraheerd, de eerste rood is en de volgende is blauw. U kunt op twee manieren doorgaan:

a) met vervanging

Beide gebeurtenissen zijn onafhankelijk, dat wil zeggen dat de kleur van het marmeren als eerste geen invloed heeft op de kans om een ​​ander marmer van een bepaalde kleur te krijgen.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Geen vervanging

Bij het verlaten van het eerste marmer buiten, als dit rood was, is de kans om de tweede keer een blauw te extraheren een beetje groter:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Voorbeeld 3

Een stad heeft 30.000 inwoners, waarvan 15.423 zijn vrouwen. U wilt de kans berekenen dat, door twee inwoners te selecteren, beide vrouwen zijn.

a) met vervanging

Laat P (m) de kans zijn dat de geselecteerde inwoner een vrouw is, dan:

P (M) = 15.423/30.000 = 0.51410

Kan u van dienst zijn: waarom is algebra belangrijk in bepaalde situaties in het dagelijkse leven?

Dus de kans dat de tweede gekozen persoon ook een vrouw is, is:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Geen vervanging

Als de gekozen eerste persoon niet wordt "geretourneerd", dan is de kans om een ​​vrouw te kiezen in de tweede poging:

P (M) = 15.422/29.999 = 0.51408

Er is geen significant verschil met het vorige geval. En product 0.51410 × 0.51408 is bijna gelijk aan 0.2643, de lezer kan het controleren met de rekenmachine.

Oefening opgelost

Een doos heeft 5 groene gelovigen, 2 blauwe gelovigen en 3 rode gelovigen, allemaal nieuw en identiek. Bepaal de kans dat, door twee gelovigen uit de doos te extraheren, geen van hen rood is:

a) met vervanging. Zijn deze gebeurtenissen onafhankelijk?

b) zonder vervanging, wat aangeeft of de gebeurtenissen al dan niet onafhankelijk zijn.

Oplossing voor

Er zijn er in totaal 10 van mening, waarvan 3 rood zijn en 7 niet zijn. De waarschijnlijkheid p (r^*) Dat het eerste geloof niet rood is, is:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Het geloof wordt teruggebracht naar de doos en de tweede extractie wordt gemaakt, met hetzelfde resultaat:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

De gebeurtenissen zijn daarom onafhankelijk, de kans dat in dit experiment geen geloof is rood is:

P₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Oplossing B

De kans om een ​​overtuiging te verkrijgen die niet rood is in de eerste poging is hetzelfde als in sectie A). Maar in de tweede extractie zijn er dus al 9 gelovigen in de doos:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

En in dit geval is de kans om een ​​geloof dat niet rood is te extraheren:

P₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

De gebeurtenissen zijn niet onafhankelijk.