Permutaties zonder herhalingsformules, demonstratie, oefeningen, voorbeelden

A permutatie zonder herhaling van N -elementen zijn de verschillende groepen van verschillende elementen die kunnen worden verkregen door geen element te herhalen, alleen variërend van de volgorde van plaatsing van de elementen.

Om een ​​permutatie te vormen zonder herhaling van N -elementen, moeten groepen N -elementen worden gebouwd zonder te worden herhaald. Bijvoorbeeld: neem aan dat u het aantal permutaties of getallen van vier verschillende cijfers wilt weten die kunnen worden gevormd met nummer 2468 cijfers.

Om het aantal permutaties zonder herhaling te achterhalen, wordt de volgende formule gebruikt: 

Pn = n! 

Welke uitgebreid zou zijn pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Dus in het vorige praktische voorbeeld zou het als volgt van toepassing zijn:

P4 = 4*3*2*1 = 24 verschillende getallen van 4 cijfers.

These being the 24 arrangements in total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8426, 8426 8462, 8624, 8642.

Zoals te zien is, is er in elk geval geen herhaling.

[TOC]

Demonstratie en formules

24 arrangementen van 4 verschillende cijfers

We zullen meer specifiek het voorbeeld analyseren van de 24 verschillende opstellingen van 4 figuren die kunnen worden gevormd met de cijfers van het nummer 2468. De hoeveelheid regelingen (24) kan als volgt worden bekend:

U hebt 4 opties om het eerste cijfer te selecteren, dat 3 opties laat om de tweede te selecteren. Er zijn al twee cijfers ingesteld en er zijn 2 opties over om het derde cijfer te selecteren. Het laatste cijfer heeft alleen een selectieoptie.

Daarom wordt het aantal permutaties, aangegeven door P4, verkregen door het product van de selectieopties in elke positie:

P4 = 4*3*2*1 = 24 verschillende getallen van 4 cijfers

Over het algemeen is het aantal verschillende permutaties of regelingen die kunnen worden getroffen met alle n -elementen van een bepaalde set:

Pn = n!  = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

De uitdrukking n!  Het staat bekend als faculteit en betekent het product van alle natuurlijke nummers tussen nummer N en nummer één, inclusief beide.

12 arrangementen van 2 verschillende cijfers

Stel nu dat u het aantal permutaties of getallen van twee verschillende cijfers wilt weten die kunnen worden gevormd met de cijfers van het nummer 2468.

Kan u van dienst zijn: telescopische som: hoe het is opgelost en opgeloste oefeningen

Dit zouden in totaal 12 regelingen zijn: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

U hebt 4 opties om het eerste cijfer te selecteren, dat 3 cijfers achterlaat om de tweede te selecteren. Daarom wordt het aantal permutaties van de 4 cijfers van twee bij twee, aangegeven door 4p2, verkregen door het product van de selectieopties in elke positie:

4p2 = 4*3 = 12 verschillende getallen van 2 cijfers

Over het algemeen is het aantal verschillende permutaties of regelingen die kunnen worden getroffen met R -elementen van de N in totaal in een bepaalde set:

NPR = N (N - 1) (N - 2) ... [N - (R - 1)]

De vorige uitdrukking wordt afgekapt voordat hij N reproduceert!.  Om n te voltooien!  Daaruit moeten we schrijven:

N!  = N (n -1) (n -2) ... [n -(r -1) (n -r) ... (2) (1)

De factoren die we op hun beurt toevoegen, vertegenwoordigen op hun beurt een faculteit:

(n -r)… (2) (1) = (n -r)!

Daarom,

N!  = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1) (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) ... [n - ( R -1)] (n -r)!

Vanaf hier

N!/(N -r)!  = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] = npr

Voorbeelden

voorbeeld 1

Hoeveel combinaties van letters dan 5 letters kunnen worden gebouwd met de letters van het trefwoord?

U wilt het aantal combinaties van letters vinden dan 5 letters die kunnen worden gebouwd met de 5 letters van het trefwoord; Dat wil zeggen, het nummer van 5 -ronden regelingen met alle letters die beschikbaar zijn in het trefwoord.

N ° 5 letterwoorden = p5 = 5!  = 5*4*3*2*1 = 120 combinaties van letters verschillend van 5 letters.

Dit zou zijn: Key, Velac, Lcaev, VleAc, Ecvlac ... tot 120 combinaties van verschillende letters in totaal.

Voorbeeld 2

Je hebt 15 genummerde ballen en je wilt weten hoeveel andere groepen van 3 ballen kunnen worden gebouwd met de 15 genummerde ballen?

U wilt het aantal groepen van 3 ballen vinden die kunnen worden gemaakt met de 15 genummerde ballen.

Aantal groepen van 3 ballen = 15p3 = 15!/(15 - 3)!

N ° van groepen van 3 ballen = 15*14*13 = 2730 groepen van 3 ballen

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een fruitwinkel heeft een tentoonstellingskopie die bestaat uit een rij compartimenten in de hal naar het terrein. Op één dag verwerft de fruitwinkel te koop: sinaasappels, bananen, ananas, peren en appels.

Kan u van dienst zijn: Fourier -transformatie: eigenschappen, toepassingen, voorbeelden

a) Hoeveel verschillende manieren heb je om de tentoonstellingsverstand te bestellen?

b) Hoeveel verschillende vormen heeft het om de stand te bestellen als het naast de bovengenoemde vruchten (5) op die dag werd ontvangen: mango's, perziken, aardbeien en druiven (4)?

a) U wilt het aantal verschillende manieren vinden om alle vruchten in de tentoonstellingsrij te bestellen; dat wil zeggen, het aantal regelingen van 5 fruitartikelen waarbij alle fruit betrokken is op die dag die te koop zijn.

Standarrangementen nummer = p5 = 5!  = 5*4*3*2*1

Standarrangementen nummer = 120 manieren om de standaard te presenteren

b) U wilt het aantal verschillende manieren vinden om alle vruchten in de tentoonstellingsrij te bestellen als 4 extra items zijn toegevoegd; Dat wil zeggen, het aantal regelingen van 9 fruitartikelen waarbij alle fruit betrokken is die op die dag te koop beschikbaar zijn.

Standarrangementen nr! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1

Standarrangementen nr. 362.880 manieren om de standaard te presenteren

Oefening 2

Een kleine verkoopplaats voor voedsel heeft veel land met voldoende ruimte om 6 voertuigen te parkeren.

a) Hoeveel verschillende vormen van voertuigen op de grondpartij kunnen worden geselecteerd?

b) Stel dat een aangrenzende landbatch wordt verkregen wiens afmetingen toestaan ​​dat 10 voertuigen worden geparkeerd, hoeveel verschillende vormen van voertuigbestelling nu kunnen worden geselecteerd?

a) U wilt het aantal verschillende manieren vinden om in de land te bestellen, de 6 voertuigen die kunnen worden gehuisvest.

N ° van opstellingen van de 6 voertuigen = P6 = 6! = 6*5*4*3*2*1

N ° van regelingen van de 6 voertuigen = 720 verschillende manieren om de 6 voertuigen in de land te bestellen.

b) U wilt het aantal verschillende manieren vinden om in het land te bestellen, de 10 voertuigen die kunnen worden gehuisvest na de uitbreiding van het landpartij.

N ° van arrangementen van de 10 voertuigen = P10 = 10!

Voertuigarrangement nummer = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° van arrangementen van de 10 voertuigen = 3.628.800 verschillende manieren om de 10 voertuigen in het land te bestellen.

Kan u van dienst zijn: percentage fout

Oefening 3

Een bloemist heeft bloemen van 6 verschillende kleuren om bloemenvlaggen van landen te maken met slechts 3 kleuren. Als het bekend is dat de volgorde van kleuren belangrijk is in vlaggen,

a) Hoeveel verschillende vlaggen van 3 kleuren kunnen worden gemaakt met de 6 beschikbare kleuren?

b) De verkoper verwerft bloemen van extra 2 kleuren aan de 6 die al hadden, nu hoeveel vlaggen dan 3 kleuren kunnen worden gemaakt?

c) Omdat het 8 kleuren heeft, besluit het aanbod van vlaggen uit te breiden, hoeveel verschillende vlaggen van 4 kleuren kunnen voorbereiden?

d) Hoeveel van de 2 kleuren?

a) U wilt de hoeveelheid andere vlaggen vinden dan 3 kleuren die kunnen worden gemaakt door de 6 beschikbare kleuren te selecteren.

N ° van 3 -gekleurde vlaggen = 6p3 = 6!/(6 - 3)!

N ° van 3 -gekolde vlaggen = 6*5*4 = 120 vlaggen

b) U wilt de hoeveelheid andere vlaggen vinden dan 3 kleuren die kunnen worden gemaakt door de 8 beschikbare kleuren te selecteren.

N ° van 3 -gekleurde vlaggen = 8p3 = 8!/(8 - 3)!

N ° van 3 -gekolde vlaggen = 8*7*6 = 336 vlaggen

c) De hoeveelheid andere vlaggen dan 4 kleuren die kunnen worden voorbereid door de 8 beschikbare kleuren te selecteren, moet worden berekend.

N ° van 4 -gekleurde vlaggen = 8p4 = 8!/(8 - 4)!

4 -Gekleurde vlaggennummer = 8*7*6*5 = 1680 vlaggen

D) Het is gewenst om de hoeveelheid andere vlaggen te bepalen dan 2 kleuren die kunnen worden voorbereid door de 8 beschikbare kleuren te selecteren.

2 gekleurde vlaggennummer = 8p2 = 8!/(8 - 2)!

2 -gekolde vlaggennummer = 8*7 = 56 vlaggen

Referenties

1. Boada, a. (2017). Gebruik van permutatie met herhaling als onderwijsexperimenten. Vivat Academy Magazine. Hersteld van ResearchGate.netto.
2. Canavos, G. (1988). Waarschijnlijkheid en statistieken. Toepassingen en methoden. McGraw-Hill/Inter-American uit Mexico S. NAAR. van C. V.
3. Glas, g.; Stanley, J. (1996). Statistische methoden die niet worden toegepast op sociale wetenschappen. Hispano -Amerikaanse Hall Hall S. NAAR.
4. Spiegel, m.; Stephens, L. (2008). Statistieken. Vierde Ed. McGraw-Hill/Inter-American uit Mexico S. NAAR.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, ka. (2007). Waarschijnlijkheid en statistieken voor ingenieurs en wetenschappers. Achtste ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, een. (2000). Statistieken van toepassing op zakelijke en economie. Derde Ed. McGraw-Hill/Inter-American S. NAAR.
7. (2019). Permutatie. Opgehaald van.Wikipedia.borg.