Touw (geometrie) lengte, stelling en oefeningen

A touw, In platte geometrie is het het lijnsegment dat twee punten uit een curve verbindt. Er wordt gezegd dat de lijn die dit segment bevat een drooglijn naar de curve is. Het is vaak een omtrek, maar je kunt zeker snaren in veel andere curven trekken, zoals ellipsen en gelijkenissen.

In figuur 1 links is er een curve, waartoe punten a en b behoren. Het touw tussen A en B is het groene segment. Aan de rechterkant is een omtrek en een van hun snaren, omdat het mogelijk is om oneindig te traceren.

Figuur 1. Links het touw van een willekeurige curve en rechts het touw van een cirkel. Bron: Wikimedia Commons.

In de omtrek is de diameter van de omtrek bijzonder interessant, die ook bekend staat als Groot touw. Het is een touw dat altijd het midden van de omtrek bevat en tweemaal de straal meet.

De volgende figuur wordt weergegeven door de straal, diameter, een touw en ook de boog van een cirkel. Identificeer elk correct is belangrijk bij het oplossen van problemen.

Figuur 2. Elementen van de omtrek. Bron: Wikimedia Commons.

[TOC]

Touwlengte van een omtrek

We kunnen de lengte van het touw in een cirkel berekenen vanaf figuren 3a en 3b. Merk op dat een driehoek altijd wordt gevormd met twee gelijke zijden (gelijkbenig): de OA- en OB -segmenten, die R, de straal van de omtrek meet. De derde zijde van de driehoek is segment AB, C genaamd C, die precies de lengte van het touw is.

Het is noodzakelijk om een ​​lijn loodrecht op het C -touw te trekken om te doorbreken in de hoek θ die bestaat tussen de twee radio's en waarvan het hoekpunt het midden of de omtrek is. Dit is een centrale hoek -Omdat zijn hoekpunt de middelste en de bissector is, is ook een secant voor de omtrek.

Het kan u van dienst zijn: radicale eigenschappen

Onmiddellijk worden twee rechthoeken gevormd, wiens hypotenuse. Omdat de bissector, en daarmee de diameter, in twee delen gelijk is aan het touw, blijkt dat een van de benen de helft van C is, zoals aangegeven in figuur 3b.

Uit de definitie van de borst van een hoek:

sin (θ/2) = tegenovergestelde/hypotenusa cateto = (c/2)/r

Daarom:

sin (θ/2) = c/2r

C = 2R Sen (θ/2)

figuur 3. De driehoek gevormd door twee radio's en een omtrektouw is gelijkbenig (figuur 3), omdat het twee zijden gelijk heeft. De bissector verdeelt het in twee rechthoeken driehoeken (figuur 3b). Bron: voorbereid door F. Zapata.

String stelling 

De string -stelling zegt:

Als er twee touwen op een bepaald punt kruisen, is het product van de lengte van de segmenten die op een van de snaren verschijnen, gelijk aan het product van de lengtes van de segmenten die zijn gedefinieerd in het andere touw.

De volgende figuur toont twee snaren van dezelfde omtrek: AB en CD, die elkaar kruisen op punt P. In het AB -touw worden de AP- en PB -segmenten gedefinieerd, terwijl CP en PD zijn gedefinieerd in het CD -touw. Vervolgens volgens de stelling:

AP . PB = CP . P.S

Figuur 4. De touwstelling van een omtrek. Bron: f. Zapata.

Opgeloste strings -oefeningen

- Oefening 1

Een cirkel heeft een touw van 48 cm, dat op 7 cm van het midden ligt. Bereken het cirkelgebied en de omtrek van de omtrek.

Oplossing  

Om de cirkel een gebied te berekenen, is het voldoende om de straal van de omtrek naar het vierkant te kennen, omdat het is vervuld:

A = π.R²

Nu is de figuur die wordt gevormd met de verstrekte gegevens een rechthoekige driehoek, waarvan de benen respectievelijk 7 en 24 cm zijn.

Figuur 5. Geometrie voor de opgeloste oefening 1. Bron: f. Zapata.

Daarom om de waarde van r te vinden² De Pythagoras C -stelling wordt direct toegepast² = A² + B², Omdat r de hypotenusa van de driehoek is:

Kan u van dienst zijn: NULL -hoek: definitie en kenmerken, voorbeelden, oefeningen

R² = (7 cm)² + (24 cm)² = 625 cm²

Dan is het gevraagde gebied:

A = π. 625 cm² = 1963.5 cm²

Wat betreft de omtrek of lengte L van de omtrek, deze wordt berekend door:

L = 2π. R

Waarden vervangen:

R = √625 cm² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Oefening 2

Bepaal de lengte van het touw van een cirkel waarvan de vergelijking is:

X² + En² - 6x - 14y -111 = 0

Het is bekend dat de coördinaten van het middelpunt van het touw P zijn (17/2; 7/2).

Oplossing

Het middelpunt van het P -touw behoort niet tot de omtrek, maar de extreme punten van het touw ja. Het probleem kan worden opgelost door middel van de eerder vermelde strijkers, maar eerst is het handig.

Stap 1: verkrijg de canonieke vergelijking van de omtrek

De canonieke vergelijking van de omtrek met het midden (H, K) is:

(X-H)² + (Y-K)² = R²

Om het te verkrijgen, is het noodzakelijk om vierkanten te voltooien:

(X² - 6x) + (en² - 14y) -111 = 0

Merk op dat 6x = 2.(3x) en 14y = 2.(7y), zodat de vorige uitdrukking aldus wordt herschreven, ongewijzigd zijn:

(X² - 6x+3²-3²) + (en² - 14y+7²-7²) -111 = 0

En nu, het onthouden van de definitie van opmerkelijk product (A-B)² = A² - 2AB + B² Het kan worden geschreven:

(X - 3)² - 3² + (en - 7)² - 7² - 111 = 0

= (x - 3)² + (en - 7)² = 111 + 3² + 7² → (x - 3)² + (en - 7)² = 169

De omtrek heeft een centrum (3.7) en radio R = √169 = 13. De volgende figuur toont de grafiek van de omtrek en de snaren die in de stelling worden gebruikt:

Kan u van dienst zijn: wat zijn de 7 elementen van de omtrek?Figuur 6. Grafiek van de omtrek van de oefening opgelost 2. Bron: f. Zapata via de online grafische calculator Mathway.

Stap 2: Bepaal de segmenten die moeten worden gebruikt in de stelling stelling

De te gebruiken segmenten zijn de CD- en AB -snaren, volgens figuur 6, beide worden daarom op punt P gesneden:

CP . PD = AP. PB

Nu gaan we de afstand vinden tussen punten O en P, omdat dit ons de lengte van het OP -segment geeft. Als we de straal tot deze lengte toevoegen, hebben we het CP -segment.

De afstand d_Op Tussen twee coördinaatpunten (x₁,En₁) en (x₂,En₂) is:

D_Op² = OP² = (x₂ - X₁))² + (En₂ - En₁))² = (3- 17/2)² + (7-7/2)² = 121/4 + 49/4 = 170/4

D_Op = OP = √170 /2

Met alle verkregen resultaten, plus de grafiek, bouwen we de volgende lijst met segmenten (zie figuur 6):

CO = 13 cm = r

OP = √170/2 cm

CP = OP + R = 13 + √170/2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170/2 cm

AP = PB

2.AP = touwlengte

Vervanging in de string stelling:

CP . PD = AP . Pb = [(13 +√170/2) . (13 -√170 /2)] = AP²

[169-170/4] = AP²

253/2 = AP²

AP = √ (253/2)

De lengte van het touw is 2.AP = 2 (√253/2) = √506

Zou de lezer het probleem op een andere manier kunnen oplossen?

Referenties

1. Baldor, een. 2004. Flat and Space Geometrie met trigonometrie. Culturele publicaties s.NAAR. van C.V. Mexico.
2. C-K12. Lengte van een akkoord. Hersteld van: CK12.borg.
3. Escobar, j. De omtrek. Hersteld van: wiskunde.Jij.Edu.co.
4. Villena, m. Conisch. Opgehaald uit: DSPACE.Espol.Edu.EC.
5. Wikipedia. Touw (geometrie). Hersteld van: is.Wikipedia.borg.