Teltechnieken technieken, toepassingen, voorbeelden, oefeningen

De Technieken tellen Ze zijn een reeks waarschijnlijkheidsmethoden om het mogelijke aantal opstellingen binnen een set of verschillende sets objecten te tellen. Deze worden gebruikt bij het handmatig maken van accounts, wordt ingewikkeld door het grote aantal objecten en/of variabelen.

De oplossing voor dit probleem is bijvoorbeeld heel eenvoudig: stel je voor dat je baas je vraagt ​​om de nieuwste producten te tellen die in het laatste uur zijn aangekomen. In dit geval zou je de producten een voor een kunnen tellen.

Stel je echter voor dat het probleem dit is: je baas vraagt ​​je om te tellen hoeveel groepen van 5 producten van hetzelfde type kunnen worden gevormd met degenen die het laatste uur zijn aangekomen. In dit geval is de berekening ingewikkeld. Voor dit soort situaties worden zo -called teltechnieken gebruikt.  

Deze technieken zijn verschillende, maar de belangrijkste zijn verdeeld in twee basisprincipes, die multiplicatief en additief zijn; permutaties en combinaties.

[TOC]

Multiplicatief principe

Toepassingen

Het multiplicatieve principe, samen met het additief, is fundamenteel om de werking van teltechnieken te begrijpen. In het geval van het multiplicatief bestaat het uit het volgende:

Stel je een activiteit voor die een specifiek aantal stappen met zich meebrengt (het totaal dat we het markeren als "R"), waar de eerste stap kan worden gemaakt in N1 -vormen, de tweede stap van N2 en de stap "R" van NR -vormen. In dit geval zou de activiteit kunnen worden uitgevoerd in het aantal vormen dat voortvloeit uit deze bewerking: N1 x N2 X .. .x NR -vormen

Dat is de reden waarom dit principe multiplicatief wordt genoemd en impliceert dat elk van de stappen die nodig zijn om de activiteit uit te voeren, na een andere moeten worden uitgevoerd. 

Voorbeeld

Laten we ons een persoon voorstellen die een school wil bouwen. Bedenk hiervoor dat de basis van het gebouw op twee verschillende manieren kan worden gebouwd, cement of beton. Wat de muren betreft, ze kunnen adobe, cement of baksteen zijn.

Wat het dak betreft, dit kan worden gebouwd van cement of gegalvaniseerd blad. Ten slotte kan het laatste schilderij alleen op een bepaalde manier worden gedaan. De vraag die zich voordoet is als volgt: op hoeveel manieren heeft de school?

Ten eerste beschouwen we het aantal stappen, dat de basis zou zijn, de muren, het dak en het schilderij. In totaal, 4 stappen, dus r = 4.

Kan u van dienst zijn: rolrol

Het volgende zou zijn om de n te vermelden:

N1 = manieren om de basis te bouwen = 2

N2 = manieren om de muren te bouwen = 3

N3 = manieren om het dak te doen = 2

N4 = manieren om verf uit te voeren = 1

Daarom zou het aantal mogelijke manieren worden berekend door de hierboven beschreven formule:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 manieren om school uit te voeren.

Additief principe

Toepassingen

Dit principe is heel eenvoudig, en het is dat, in het geval van verschillende alternatieven om dezelfde activiteit uit te voeren, de mogelijke manieren bestaan ​​uit de som van de verschillende mogelijke manieren om alle alternatieven uit te voeren.

Met andere woorden, als we een activiteit willen uitvoeren met drie alternatieven, waarbij het eerste alternatief kan worden gedaan in M ​​-vormen, de tweede van n vormen en de laatste van W -vormen, kan de activiteit worden gedaan van: M + N + … + W -vormen.

Voorbeeld

Stel je deze keer voor dat een persoon die een tennisracket wil kopen. Om dit te doen, heb je drie merken om uit te kiezen: Wilson, Babolat of Head.

Wanneer hij naar de winkel gaat, ziet hij dat het Wilson -racket kan worden gekocht met het handvat van twee verschillende maten, L2 of L3 in vier verschillende modellen en kan worden gebonden of zonder borduur.

Het Babolat -racket daarentegen heeft drie mango's (L1, L2 en L3), er zijn twee verschillende modellen en kunnen ook worden gebonden of zonder borduur.

Het hoofdracket is ondertussen alleen met een mango, L2, in twee verschillende modellen en alleen zonder borduren. De vraag is: hoeveel manieren heeft deze persoon om zijn racket te kopen?

M = aantal manieren om een ​​Wilson -racket te selecteren

N = aantal manieren om een ​​Babolat -racket te selecteren

W = aantal manieren om een ​​hoofdrek te selecteren

We voeren het multiplierprincipe uit:

M = 2 x 4 x 2 = 16 vormen

N = 3 x 2 x 2 = 12 vormen

W = 1 x 2 x 1 = 2 vormen

 M + n + w = ​​16 + 12 + 2 = 30 manieren om een ​​racket te kiezen.

Om te weten wanneer het multiplicatieve principe en het additief moeten.

Permutaties

Toepassingen

Om te begrijpen wat een permutatie is, is het belangrijk om uit te leggen wat een combinatie is om ze te kunnen differentiëren en te weten wanneer ze ze moeten gebruiken.

Een combinatie zou een opstelling zijn van elementen waarin we niet geïnteresseerd zijn in de positie die elk van hen inneemt.

Een permutatie daarentegen zou een regeling zijn van elementen waarin we geïnteresseerd zijn in de positie die elk van hen bezet.

Kan u van dienst zijn: 7 indicatoren van economische groei en de kenmerken ervan

Laten we een voorbeeld geven om het verschil beter te begrijpen.

Voorbeeld

Stel je een klas voor met 35 studenten, en met de volgende situaties:

1. De leraar wil dat drie van zijn studenten hem helpen de klas schoon te houden of materiaal aan de andere studenten te leveren wanneer hij het nodig heeft.
2. De leraar wil afgevaardigden van klasse (een president, een assistent en een financiële) benoemen.

De oplossing zou als volgt zijn:

1. Stel je voor dat Juan, María en Lucía, worden gekozen om de klas schoon te maken of de materialen te leveren. Uiteraard hadden andere groepen van drie mensen kunnen worden gevormd, onder de 35 mogelijke studenten.

We moeten onszelf het volgende afvragen: is de volgorde of positie die wordt ingenomen door elk van de studenten belangrijk bij het selecteren ervan?

Als we erover nadenken, zien we dat het echt niet belangrijk is, omdat de groep voor de twee werk goed zal zorgen. In dit geval is het een combinatie, omdat we niet geïnteresseerd zijn in de positie van de elementen.

2. Laten we ons nu voorstellen dat Juan wordt gekozen als president, Maria als assistent en Lucia als financieel.

In dit geval, zou de bestelling ertoe doen? Het antwoord is ja, want als we de elementen veranderen, verander dan het resultaat. Dat wil zeggen, als we in plaats van Juan als president te stellen, we hem als assistent en Maria als president zouden plaatsen, zou het eindresultaat veranderen. In dit geval is het een permutatie.

Zodra het verschil is begrepen, zullen we de formules van de permutaties en de combinaties verkrijgen. Voordat u echter de term moet definiëren "n!”(ENE Factorial), zoals het zal worden gebruikt in de verschillende formules.

N!= naar het product van 1 tot n.

N!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x n

Het gebruiken met reële getallen:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x… x 10 = 3.628.800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

De formule voor permutaties zou als volgt zijn:

NPR = n!/(N-R)!

Hiermee kunnen we de regelingen vinden waar de orde belangrijk is, en waar de elementen verschillend zijn.

Combinaties

Toepassingen

Zoals we hierboven hebben vermeld, zijn de combinaties de regelingen waarin we niet geven om de positie van de elementen.

De formule is als volgt:

Ncr = n!/(N-R)!R!

Voorbeeld

Als er 14 studenten zijn die vrijwilligers willen zijn om het klaslokaal schoon te maken, hoeveel schoonmaakgroepen kunnen worden gevormd als elke groep 5 personen moet zijn?

De oplossing zou daarom de volgende zijn:

N = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 groepen

Kan u van dienst zijn: gebouwen of gebouwenrekening: wat is bijvoorbeeld

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bron: Pixabay.com

Natalia krijgt de opdracht van haar moeder om naar een foodwinkel te gaan en een frisdrank te kopen om af te koelen. Wanneer Natalia het afhankelijke drinken vraagt, vertelt hij hem dat er vier smaken frisdranken, drie soorten en drie maten zijn.

De smaken van frisdranken kunnen zijn: staart, citroen, sinaasappel en mint.

Soorten staart frisdranken kunnen zijn: normaal, zonder suiker, zonder cafeïne.

De maten kunnen zijn: klein, gemiddeld en groot.

De moeder van Natalia heeft niet gespecificeerd wat voor soort frisdrank wilde op hoeveel manieren Natalia heeft om het drankje te kopen?

Oplossing

M = maat en type nummer dat u kunt selecteren bij het kiezen van de staartsoda.

N = maat en type nummer dat u kunt selecteren bij het kiezen van de citroensoda.

W = maat en type nummer dat u kunt selecteren bij het kiezen van de oranje frisdrank.

Y = maat en type nummer dat u kunt selecteren bij het kiezen van de mint frisdrank.

We voeren het multiplierprincipe uit:

M = 3 × 3 = 9 vormen

N = 3 × 3 = 9 vormen

W = 3 × 3 = 9 vormen

Y = 3 × 3 = 9 vormen

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 manieren om de frisdrank te selecteren.

Oefening 2

Bron: Pixabay.com

Een sportclub kondigt gratis toegangsworkshops aan, zodat kinderen leren skaten. 20 kinderen zijn geregistreerd, dus twee groepen van tien mensen besluiten te verdelen, zodat de instructeurs klassen comfortabeler kunnen geven.

Op hun beurt besluiten ze te overwinnen welke groep elk kind zal vallen. In hoeveel verschillende groepen zou een kind kunnen binnenkomen.

Oplossing

In dit geval is de manier om een ​​antwoord te vinden via de combinatietechniek, waarvan de formule was: ncr = n!/(N-R)!R!

n = 20 (aantal kinderen)

  R = 10 (groepsgrootte)

20C10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 groepen.

Referenties

1. Jeffrey, r.C., Waarschijnlijkheid en de kunst van het oordeel, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, “Een inleiding tot de waarschijnlijkheidstheorie en de toepassingen ervan“, (Vol 1), 3e ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logische grondslagen en meting van subjectieve waarschijnlijkheid". Psychologische daad.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Inleiding tot wiskundige statistieken (6e ed.)). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) De wetenschap van vermoedens: bewijs en waarschijnlijkheid vóór Pascal,Johns Hopkins University Press.