Lineaire golvenconcept, kenmerken, voorbeelden

De Lineaire golven Dit zijn die waarin het superpositie-principe van toepassing is, dat wil zeggen die waarin de golfvorm en zijn ruimte-tijdevolutie kunnen worden bereikt als de som van basisoplossingen, bijvoorbeeld van een harmonisch type. Niet alle golven voldoen aan het superpositie-principe, die er niet aan voldoen, wordt niet-lineale golven genoemd.

De "lineaire" denominatie komt van het feit dat lineaire golven altijd voldoen aan een differentiaalvergelijking in gedeeltelijke derivaten, waarin alle termen met de afhankelijke variabele of de derivaten ervan worden verhoogd naar de eerste macht.

De golven die in de verte worden gezien, zijn lineaire golven, maar de bange golven van de voorgrond zijn niet-lineaal. Bron: Pixabay.

Aan de andere kant voldoen niet-lineale golven aan golfvergelijkingen met kwadratische of hogere graden in de afhankelijke variabele of in hun derivaten.

Soms is het verward tot lineaire golven met longitudinale golven, die die zijn waarin trillingen plaatsvinden in dezelfde richting van propagatie, zoals geluidsgolven.

Maar longitudinale golven, evenals transversal, kunnen op hun beurt lineair of niet-lineair zijn, afhankelijk van, onder andere, de amplitude van de initiële verstoring en de omgeving waarin ze zich verspreiden.

Het komt in het algemeen voor dat wanneer de initiële verstoring van kleine amplitude is, de vergelijking die de verspreiding van de golf beschrijft, van lineair type is of kan worden gelineerd door bepaalde benaderingen, hoewel het niet altijd zo is.

[TOC]

Differentiaalvergelijking in lineaire golven

In een lineair medium kan een beperkte golfvorm in ruimte en tijd worden weergegeven door de som van sinus- of cosinusgolffuncties van verschillende frequenties en golflengten via Fourier -serie. 

Lineaire golven hebben altijd een differentiaalvergelijking van het geassocieerde lineaire type, waarvan de oplossing de voorspelling vertegenwoordigt van wat de verstoring zal zijn op posterieure momenten van een initiële verstoring ruimtelijk op het eerste eerste moment.

De klassieke lineaire golfvergelijking, in een enkele ruimtelijke dimensie, waarvan de oplossingen lineaire golven zijn, is:

In de vorige vergelijking of vertegenwoordigt de verstoring van een bepaalde fysieke hoeveelheid in de positie X En op dit moment T, Het is te zeggen of Het is een functie van X En T:

Het kan u van dienst zijn: wat zijn coplanares vectoren? (Met opgeloste oefeningen)

u = u (x, t)

Als het bijvoorbeeld een geluidsgolf in de lucht is, of Het kan de variatie van de druk vertegenwoordigen ten opzichte van de waarde ervan zonder te storen.

In het geval van een elektromagnetische golf, of vertegenwoordigt het elektrische veld of het magnetische veld die loodrecht op de voortplantingsrichting kan oscilleren.

In het geval van een gespannen touw, of vertegenwoordigt de kruisverplaatsing ten opzichte van de balans van het touwevenwicht, zoals getoond in de volgende figuur:

Golfvorm op een bepaald moment, in het geval van lineaire golven is deze vorm de overlapping van sinusvormige golven van verschillende frequentie en golflengten. Bron: f. Zapata.

Differentiaalvergelijkingsoplossingen

Als u twee of meer oplossingen van de lineaire differentiaalvergelijking hebt, is elke oplossing vermenigvuldigd met een constante een oplossing en zal er ook de som van zijn. 

In tegenstelling tot niet-lineaire vergelijkingen, geven Waveline-vergelijkingen harmonische oplossingen van het type toe: 

of₁= A⋅Sen (k⋅x - ω⋅t) En of₂= A⋅Sen (k⋅x + ω⋅t) 

Dit kan worden geverifieerd door eenvoudige vervanging in de lineaire golfvergelijking.

De eerste oplossing vertegenwoordigt een progressieve golf die naar rechts gaat, terwijl de tweede naar links snel C = ω/K.

Harmonische oplossingen zijn kenmerkend voor lineaire golfvergelijkingen.

Aan de andere kant is de lineaire combinatie van twee harmonische oplossingen ook een oplossing voor de lineaire golfvergelijking, bijvoorbeeld:

u = a₁ cos (k₁⋅x - ω₁⋅t) + a₂ wasbak₂⋅x - ω₂⋅t) is oplossing.

Het meest relevante kenmerk van lineaire golven is dat elke vorm van golf, hoe complex ook, kan worden verkregen door een som van eenvoudige harmonische golven in borst en cosinus:

u (x, t) = a₀ + ∑_N NAAR_N cos (k_N⋅x - ω_N⋅t) + ∑_M B_M wasbak_M⋅x - ω_M⋅t).

Dispersieve en niet -dispersieve lineaire golven

In de klassieke lineaire golfvergelijking, C vertegenwoordigt de snelheid van verspreiding van de pols.

Niet -verslindende golven

In gevallen waarin C Het is een constante waarde, bijvoorbeeld de elektromagnetische golven in de leegte, vervolgens een puls op het eerste moment t = 0 Vorm F (x) Het verspreidt zich volgens:

u (x, t) = f (x - c⋅t)

Zonder enige vervorming te lijden. Wanneer dit gebeurt, wordt gezegd dat het medium niet-ontwerp is.

Dispersieve golven

In dispersieve media kan de propagatie C -snelheid echter afhankelijk zijn van de golflengte λ, dat wil zeggen: c = c (λ).

Kan u van dienst zijn: continuïteitsvergelijking

Elektromagnetische golven zijn verspreid wanneer ze door een materiaalmedium reizen. Ook de oppervlaktegolven van het water reizen met verschillende snelheid volgens de diepte van het water.

De snelheid waarmee een harmonische golf zich voortplant A⋅Sen (k⋅x - ω⋅t) is Ω/k = c en de fasesnelheid wordt genoemd. Als het medium verspreid is, dan C Het is een golfnummerfunctie k: C = C (K), waar k Het is gerelateerd aan de golflengte door middel van K = 2π/λ.

Dispersierelaties

De relatie tussen frequentie en golflengte wordt de dispersieratio, dat uitgedrukt in termen van hoekfrequentie Ω en het golfnummer k is: Ω = c (k) ⋅K.

Sommige dispersierelatieskenmerken van lineaire golven zijn de volgende:

In de golven waarin de golflengte (afstand tussen ruggen) veel groter is dan de diepte H, Maar dat de breedte veel minder is dan de diepte die de dispersierelatie is:

Ω = √ (gh) ⋅K

Van daaruit wordt geconcludeerd dat ze zich met constante snelheid verspreiden √ (GH) (niet -dispersieve helft).

Maar de golven in zeer diepe wateren zijn verspreid, omdat hun dispersieverhouding is:

ω = √ (g/k) ⋅K

Dit betekent die fasesnelheid Ω/K Het is variabel en hangt af van het golfnummer en dus de golflengte van de golf.

Groepssnelheid

Als twee harmonische lineaire golven overlappen maar bij verschillende snelheden vooruitgaan, dan komt de groepsnelheid (dat wil zeggen van het golfpakket) niet overeen met de fasesnelheid.

Groepssnelheid v_G Het wordt gedefinieerd als het frequentiederivaat ten opzichte van het golfnummer in de dispersieverhouding: v_G = Ω '(k).

De volgende figuur toont de overlapping of som van twee harmonische golven of₁= A⋅Sen (k₁⋅x - ω₁⋅t) En of₂= A⋅Sen (k₂⋅x - ω₂⋅t) die met verschillende snelheden reizen v₁= Ω₁/K₁ En v₂= Ω₂/K₂. Merk op hoe de groepsnelheid verschilt van de fasesnelheid, in dit geval is de groepsnelheid ∆ω/∆k.

Het kan u van dienst zijn: magnetische eigenschappen van materialenLineaire (blauwe) golf in een dispersief medium. De rode curve is toegevoegd om te benadrukken dat de groepsnelheid anders is dan de voortplantingssnelheid

Afhankelijk van de dispersieverhouding kunnen de fasesnelheid en groepsnelheid in de tegenovergestelde richtingen zelfs de tegenovergestelde richtingen hebben.

Voorbeelden van lineaire golven

Elektromagnetische golven

Elektromagnetische golven die elektromagnetische straling vormen

Elektromagnetische golven zijn lineaire golven. De golfvergelijking wordt afgeleid uit de vergelijkingen van elektromagnetisme (Maxwell -vergelijkingen) die ook lineair zijn.

Schrödinger's vergelijking

Het is de vergelijking die de dynamiek van de deeltjes op de atomaire schaal beschrijft, waarbij de golvende kenmerken relevant zijn, bijvoorbeeld het geval van elektronen in het atoom.

Dan is de "elektronengolf" of golffunctie zoals deze ook wordt genoemd, een lineaire golf.

Golven in diep water

Lineaire golven zijn ook die waarin de amplitude veel lager is dan de golflengte en golflengte die veel groter is dan de diepte. De golven in diep water volgen de lineaire theorie (bekend als Airy's golvende theorie).

De golf die de kust nadert en de karakteristieke top vormt die wordt gerold (en die surfers liefheeft) is een niet -lineaire golf.

Geluid

Omdat geluid een kleine verstoring van de atmosferische druk is, wordt het beschouwd als een lineaire golf. De schokgolf van een explosie of golffront van een supersonisch vlak zijn echter typische niet -lineaire golfvoorbeelden.

Golven op een gespannen touw

De golven die zich door een gespannen touw verspreiden, zijn lineair, op voorwaarde dat de initiële pulsatie klein is, dat wil zeggen, de elastische limiet van het touw wordt niet overschreden.

Lineaire golven op de snaren worden weerspiegeld aan hun uiteinden en overlappend, wat aanleiding geeft tot stationaire golven of trillingsmodi die de harmonische en subarmonische tonen geven die kenmerkend zijn voor stringinstrumenten.

Referenties

1. Griffiths G en Schiesser W. Lineaire en niet -lineaire golven. Hersteld van: Sholarpedia.borg.
2. Whitham G.B. (1999) "Lineaire en niet -lineaire golven". Wiley. 
3. Wikipedia. Niet -lineaire golven. Hersteld van: is.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Niet -lineair akoestisch. Opgehaald uit: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Golven. Opgehaald uit: in.Wikipedia.com
6. Wikiwaves. Niet -lineaire golven. Hersteld van: wikiwaves.borg