Gehele getallen

Wat zijn hele getallen?

Hele getallen vormen een reeks nuttige getallen om de volledige objecten te tellen die hebben gehouden en die welke niet zijn. Ook om die aan de ene kant te tellen en de andere van een bepaalde referentieplaats.

Ook met de volledige getallen kan de aftrekking of het verschil worden uitgevoerd tussen een getal en een andere groter dan hij, bijvoorbeeld als een schuld. Het onderscheid tussen winst en schulden wordt gemaakt met respectievelijk tekens + en -.

Figuur 1. De numerieke lijn voor hele getallen. Bron: Wikimedia Commons. Leomg/cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0).

Dat is de reden waarom de gehele getallen het volgende omvatten:

-Positieve gehele getallen, die zijn geschreven voorafgegaan door een +teken, of gewoon zonder het teken, omdat het ook wordt begrepen dat ze positief zijn. Bijvoorbeeld: +1, +2, +3 ... enzovoort.

-De 0, waarin het bord niet relevant is, omdat het het niet toevoegt om het van een of andere hoeveelheid af te trekken. Maar de 0 is erg belangrijk, omdat het de referentie is voor de gehele getallen: aan de ene kant bevinden de positieve en de negatieven, zoals we in de bovenste figuur zien.

-Negatieve gehele getallen, die altijd uit het teken moeten worden geschreven -omdat bij hen de bedragen zoals schulden en al diegenen die zich aan de andere kant van de referentie bevinden, worden onderscheiden. Voorbeelden van negatieve gehele getallen zijn: -1, -2, -3 ... en vanaf dat moment.

Hoe zijn volledige nummers?

In het begin vertegenwoordigen we de volledige getallen met de instelling van de set: z = …… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 ..., dat wil zeggen, vermeld en georganiseerd. Maar een zeer nuttige weergave is wat de numerieke lijn gebruikt. Hiervoor is het noodzakelijk om een ​​lijn te trekken, die meestal horizontaal is, waarop 0 is gemarkeerd en verdeeld in identieke secties:

Figuur 2. Weergave van hele getallen op de numerieke lijn. Van 0 naar rechts zijn de positieve gehele getallen en van 0 aan de linkerkant de negatieven. Bron: f. Zapata.

De negatieven gaan links van 0 en de positieve gaan naar rechts. De pijlen op de getallenlijn symboliseren dat de nummers doorgaan tot oneindig. Gezien een heel getal, is het altijd mogelijk om er een te vinden die groter is of anders dan lager is.

De absolute waarde van een geheel getal

De absolute waarde van een geheel getal is de afstand tussen het getal en 0. En afstanden zijn altijd positief. Daarom is de absolute waarde van het negatieve geheel getal het getal zonder zijn teken minder.

De absolute waarde van -5 is bijvoorbeeld 5. De absolute waarde wordt als volgt aangegeven met bars:

| -5 | = 5

Om het te visualiseren, is het voldoende om de ruimtes op de numerieke lijn te hebben, van -5 tot 0. Hoewel de absolute waarde van een positief geheel getal hetzelfde getal is, bijvoorbeeld | +3 | = 3, omdat de afstand tot 0 3 spaties is:

Kan u van dienst zijn: Sandwich Law: uitleg en oefeningenfiguur 3. De absolute waarde van een geheel getal is altijd een positief bedrag. Bron: f. Zapata.

Eigenschappen

-De reeks hele getallen wordt aangeduid als Z en omvat de reeks natuurlijke getallen n, hun elementen zijn oneindig.

-Een geheel getal en het aantal dat volgt (of degene die eraan voorafgaat) verschilt altijd in de eenheid. Na 5 komt bijvoorbeeld op 6, is het verschil tussen hen.

-Elk heel getal heeft een voorloper en een opvolger.

-Elk positief geheel getal is groter dan 0.

-Een negatief geheel getal is altijd minder dan 0 en dat een positief getal. Laten we bijvoorbeeld het nummer -100 nemen, dit is minder dan 2, dan 10 en 50. Maar het is ook minder dan -10, -20 en -99 en het is groter dan -200.

-0 heeft geen tekenoverwegingen, omdat het niet negatief of positief is.

-Met de gehele getallen kunnen dezelfde bewerkingen die met de natuurlijke getallen worden uitgevoerd, namelijk: som, aftrekking, vermenigvuldiging, potentiëring en meer worden.

-Het hele tegenovergestelde van een bepaald gehele getal x, is -x en de som van een geheel getal met het tegenovergestelde is 0:

x + (-x) = 0.

Bewerkingen met volledige nummers

- Toevoeging

-Als de te toegevoegde nummers hetzelfde teken hebben, worden hun absolute waarden toegevoegd en het resultaat wordt het teken geplaatst. Hier zijn enkele voorbeelden:

a) (+8) +( +9) = 8 +9 = +17

b) (-12) + ( - 10) = - (12 + 10) = -22

-In het geval dat de getallen van verschillende tekens zijn, worden de absolute waarden (de majoor van de minderjarige) afgetrokken en wordt het resultaat het teken van het getal met de hoogste absolute waarde geplaatst, als volgt:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = -(9-4) = -5

Eigenschappen van de som van hele getallen

-De som is commutatief, daarom verandert de volgorde van de addends de som niet. Laat A en B twee hele getallen zijn, het is vervuld dat A+B = B+A

-0 is het neutrale element van de som van hele getallen: a + 0 = a

-Elk volledig nummer toegevoegd met het tegenovergestelde is 0. Het tegenovergestelde van + A is -a, en omgekeerd, het tegenovergestelde van -a es + a. Daarom: (+ a)+ (-a) = 0.

Figuur 4. Tekens regeren voor de som van hele getallen. Bron: Wikimedia Commons.

- Aftrekking

Om hele getallen af ​​te trekken, moet u door deze regel worden geleid: De aftrekking is gelijk aan de som van een getal met zijn tegenovergestelde. Laat twee nummers A en B dan:

A - b = a + (-b)

Stel bijvoorbeeld dat u de volgende bewerking moet uitvoeren: (-3) - (+7), dan:

(-3) -(+7) = (-3)+( -7) = -(3+7) = -10

- Vermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van hele getallen volgt bepaalde regels voor de tekens:

-Het product van twee nummers met Hetzelfde teken Het is altijd positief.

-Wanneer twee nummers zich vermenigvuldigen verschillende tekenen, Het resultaat is altijd negatief.

Kan u van dienst zijn: wat zijn de delen van de breuk? (Voorbeelden)

-De waarde van het product is gelijk aan het vermenigvuldigen van de respectieve absolute waarden.

Onmiddellijk enkele voorbeelden die het bovenstaande verduidelijken:

(-5) x (+8) = -5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Eigenschappen van de vermenigvuldiging van hele getallen

-Vermenigvuldiging is commutatief. Wees twee hele getallen A en B, het is waar dat: a.B = B.A, die ook kan worden uitgedrukt als:

De volgorde van de factoren verandert het product niet.

-Het neutrale element van vermenigvuldiging is 1. Tot een geheel getal zijn, daarom.1 = 1

-Elk geheel getal vermenigvuldigd met 0 is gelijk aan 0: a.0 = 0

Distributieve eigendom

Vermenigvuldiging voldoet aan distributieve eigenschap met betrekking tot de som. Ja A, B en C zijn dan volledige getallen:

naar.(b +c) = a.B + A.C

Dan een voorbeeld van hoe deze eigenschap toe te passen:

(-3). [(-4) + 11] = (-3).(-4)+(-3).11 = 12 -33 = 12 + (-33) = -21

Versterking

-Als de basis positief is, is het resultaat van de bewerking altijd positief.

-Wanneer de basis negatief is, als de exponent gelijk is, is het resultaat positief. En als de exponent vreemd is, is het resultaat negatief.

- Divisie

In de divisie zijn dezelfde tekens van tekenen van toepassing als in vermenigvuldiging:

-Door twee gehele getallen van hetzelfde teken te delen, is het resultaat altijd positief.

-Wanneer twee gehele getallen van verschillende tekenen zijn verdeeld, is het quotiënt negatief.

Bijvoorbeeld:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Belangrijk: De divisie is niet commutatief, met andere woorden om ÷ b ≠ b ÷ a en zoals altijd is de verdeling tussen 0 niet toegestaan.

- Versterking

Wees een heel getal en we willen het verhogen tot een exponent n, dan moeten we zich vanzelf vermenigvuldigen, zoals hieronder getoond:

naar^N = A.naar.naar.naar.… naar

Laten we ook rekening houden met het volgende, rekening houdend met dat N een natuurlijk nummer is:

-Als A negatief is en n is gelijk, is het resultaat positief.

-Wanneer A negatief is en N oneven is, resulteert dit in een negatief getal.

-Als a positief is en n is gelijk of vreemd, is het altijd een positief geheel getal.

-Elk geheel getal dat is verheven tot 0 is gelijk aan 1: a⁰ = 1

-Elk nummer hoog tot 1 is gelijk aan nummer: a¹ = A

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat u wilt vinden (-3)⁴ , Om het op zichzelf te vermenigvuldigen (-3), zoals deze: (-3).(-3).(-3).(-3) = 81.

Een ander voorbeeld, ook met een negatief geheel getal is:

(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8

Product van gelijke basismachten

Stel dat twee krachten van gelijke basis, als we ze vermenigvuldigen, krijgen we een andere kracht met dezelfde basis, wiens exponent de som is van de gegeven exponenten:

naar^N ·naar^M = A^{n + m}

Gelijke basispoederverhouding

Door krachten van dezelfde basis te verdelen, is het resultaat een kracht met dezelfde basis, waarvan de exponent de aftrekking van de gegeven exponenten is:

Kan u van dienst zijn: hoeken in de omtrek: typen, eigenschappen, opgeloste oefeningen

naar^N ÷ a^M = A^{n - m}

Dan twee voorbeelden die deze punten verduidelijken:

(-2)³.(-2)⁵ = (-2) ³⁺⁵= (-2)⁸

5⁶ ÷ 5⁴ = 5^6-4 = 5²

Voorbeelden

Laten we eens kijken naar eenvoudige voorbeelden om deze regels toe te passen en onthouden dat in het geval van positieve gehele getallen het bord kan worden verdeeld met:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + ( - 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

D) (+4) + (-8) + (-25) = [(+4) + (-8)] + (-25) = [4-8] -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) -( + 15) = (-8) + (-15) = -8 -15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = -5 x 12 = -60

i) (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Een mier beweegt op de getallenlijn van figuur 1. Vanaf punt X = +3 voert de volgende verplaatsingen uit:

-7 eenheden gaan naar rechts

-Nu worden 5 eenheden naar links geretourneerd

-Loop 3 eenheden links.

-Het keert terug en verplaatst 4 eenheden naar rechts.

Op welk punt is de mier aan het einde van de route?

Oplossing

Laten we de verplaatsingen noemen. Als ze aan de rechterkant zijn, krijgen ze een positief teken en wanneer ze aan het linker negatieve teken zijn. Op deze manier, en vanaf x = +3 heb je:

-Eerste D: x₁ = +3 +7 = +10

-Tweede D: x₂ = +10 +(-5) = +5

-Derde D: x₃ = +5 +(-3) = +2

-Vierde D: x₄ = +2 +4 = +6

Wanneer de mier eindigt, staat de wandeling in de positie x = +6. Dat wil zeggen, het is 6 eenheden rechts van 0 op de numerieke lijn.

- Oefening 2

Los de volgende bewerking op:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)]

Oplossing

Deze bewerking bevat tekenen van groepering, die haakjes, vierkante beugels en sleutels zijn. Bij het oplossen moet u eerst voor de haakjes zorgen, na de vierkante haakjes en uiteindelijk de sleutels. Met andere woorden, je moet van binnenuit werken.

In deze oefening vertegenwoordigt het punt een vermenigvuldiging, maar in het geval dat tussen één getal en een haakjes of een ander symbool is, heeft het geen zin, op dezelfde manier wordt het begrepen dat het een product is.

Vervolgens, de resolutie stap voor stap, dienen de kleuren als een gids om het resultaat te volgen van de reductie van haakjes, die de meest interne groepssymbolen zijn:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)] =

= 36 + [- (-16)].-[-6+ 5- (0)]+ 2 (-2)] =

= 36 + [16].-[-1] -4] =

= 52.1- 4] = 52.-3 = -156

- Oefening 3

Los de eerste graad vergelijking op:

12 + x = 30 + 3x

Oplossing

De termen zijn gegroepeerd met het onbekende links van gelijkheid en de numerieke termen rechts:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

X = 18 / (-2)

x = - 9