Vectoren in de ruimte hoe te grafische toepassingen, oefeningen

A vector in de ruimte Het wordt allemaal vertegenwoordigd door een coördinatensysteem gegeven door X, En En Z. Bijna altijd het vliegtuig XY Het is het vlak van het horizontale oppervlak en de as Z vertegenwoordigt de hoogte (of diepte).

De cartesiaanse coördinaatassen getoond in figuur 1, verdelen de ruimte in 8 geboden regio's Octavers, analoog aan hoe de bijlen X - En Verdeel het vlak in 4 kwadranten. We zullen dan 1 octant, 2e ocanto enzovoort hebben.

Figuur 1. Een vector in de ruimte. Bron: zelf gemaakt.

Figuur 1 bevat een weergave van een vector v in de ruimte. Een perspectief is vereist om de illusie van drie dimensies op het vlak van het scherm te creëren, wat wordt bereikt door een schuin weer te tekenen.

Om een ​​3D -vector te grafieken, moet u de stippellijnen helpen die de coördinaten van de projectie of "schaduw" van het rooster bepalen v Over het oppervlak X-en. Deze projectie begint in O en eindigt op het groene punt.

Eenmaal daar moet je doorgaan met de verticale tot de hoogte (of diepte) die nodig is volgens de waarde van Z, Totdat je bij P komt. De vector is afkomstig van O en eindigend in p, die in het voorbeeld in de 1e ocant staat.

[TOC]

Toepassingen

Vectoren in de ruimte worden veel gebruikt in mechanica en andere takken van fysica en engineering, omdat de structuren die ons omringen, geometrie vereisen in de drie dimensies.

Positievectoren in de ruimte worden gebruikt om objecten te positioneren met betrekking tot een referentiepunt dat wordt genoemd oorsprong OF. Daarom zijn ze ook noodzakelijke hulpmiddelen in navigatie, maar dat is niet alles.

Kan u van dienst zijn: elektromagnetische golven: Maxwell -theorie, typen, kenmerken

De krachten die werken op structuren zoals bouten, steunen, kabels, stutten en meer zijn vector natuur en zijn georiënteerd in de ruimte. Om het effect ervan te weten, is het noodzakelijk om uw adres te kennen (en ook uw aanvraagpunt).

En vaak is de richting van een kracht bekend onder twee punten in de ruimte die tot zijn werklijn behoren. Op deze manier is de kracht:

F = F of

Waarbij f de grootte of krachtmodule is en of Het is de eenheidsvector (module 1) gericht langs de werklijn van F. 

3D -vectornotatie en representaties

Voordat u enkele voorbeelden oplost, wordt de notatie van 3D -vectoren kort beoordeeld.

In het voorbeeld van figuur 1 valt vector V, waarvan de punt van oorsprong samenvalt met de oorsprong of wiens einde punt P is, coördineert X En Z Positief, terwijl ze coördineren En Het is negatief. Deze coördinaten zijn: X₁, En₁, Z₁, die precies de coördinaten van P zijn.

Dus als we een vector hebben gekoppeld aan de oorsprong, dat wil zeggen wiens uitgangspunt samenvalt met O, is het heel gemakkelijk om zijn coördinaten aan te geven, die die van het extreme punt of P zullen zijn. Om onderscheid te maken tussen een punt en een vector, zullen we gebruiken voor de nieuwste gewaagde letters en beugels, zoals deze:

v = < x₁, En₁, Z₁ >

Terwijl punt P wordt aangeduid met haakjes:

P = (x₁, En₁, Z₁))

Een andere weergave maakt gebruik van eenheidsvectoren Je, J En k die de drie richtingen van de ruimte in de assen definiëren X, En En Z respectievelijk.

Deze vectoren staan ​​loodrecht op elkaar en vormen een Ortonormale basis (Zie figuur 2). Dit betekent dat een 3D -vector in termen van hen kan worden geschreven als:

Kan u van dienst zijn: golvende beweging: kenmerken, soorten golven, voorbeelden

v = V_X Je + v_En J + v_Z k

Hoeken en cosenos directeuren van een vector

Figuur 2 toont ook de γ -hoeken van de regisseurs₁, γ₂ en γ₃ dan de vector v respectievelijk met de bijlen X, En En Z. Als je deze hoeken en de grootte van de vector kent, wordt dit volledig bepaald. Bovendien vervullen de cosinus van de regisseurs de volgende relatie:

(cos γ₁))² + (cos γ₂))² + (cos γ₃))² = 1

Figuur 2. Unitaire vectoren I, J en K bepalen de 3 voorkeursrichtingen van de ruimte. Bron: zelf gemaakt.

Opgeloste oefeningen

-Oefening 1

In figuur 2 de γ -hoeken₁, γ₂ en γ₃ dan de vector v van module 50 vorm met de coördinaatassen zijn respectievelijk: 75.0º, 60.0º en 34.3e. Zoek de Cartesiaanse componenten van deze vector en vertegenwoordig deze in termen van de eenheidsvectoren Je, J En k.

Oplossing

De projectie van de vector v op de as X is V_X = 50 . Cos 75º = 12.941. Evenzo de projectie van v op de as En is V_En = 50 cos 60 º = 25 en uiteindelijk op de as Z is V_Z = 50. Cos 34.3e = 41.3. Nu v kan worden uitgedrukt als:

v = 12.9 Je + 25.0 J + 41.3 k

-Oefening 2 

Vind spanningen in elk van de kabels die de emmer van de figuur in evenwicht bevatten, als het gewicht hiervan 30 n is.

figuur 3. Spanningsdiagram voor oefening 2.

Oplossing

Op de emmer geeft het vrije lichaamsdiagram dat aan T_D (groen) compenseert voor gewicht W (geel), daarom T_D = W = 30 n.

In de knoop, de vector T_D  Het wordt vervolgens verticaal gericht, dan:

T_D = 30 (-k) N.

Om de resterende spanningen vast te stellen, moet u de volgende stappen volgen:

Stap 1: Zoek de coördinaten van alle punten

A = (4.5; 0; 3) (A is op het muurvlak X-Z))

B = (1.5; 0; 0) (B is op de X -as)

Kan u van dienst zijn: adres (fysiek)

C = (0, 2.5, 3) (C bevindt zich op het wandvlak en z))

D = (1.5; 1.5; 0) (D bevindt zich op het horizontale vlak  X-en))

Stap 2: Zoek de vectoren in elke richting door de coördinaten van het einde en het begin af te trekken

Geeft =

DC =

Db =

Stap 3: Bereken modules en eenheidsvectoren

Een eenheidsvector wordt verkregen door expressie: of = R / r, met R (vetgedrukt) de vector zijn en R (zonder vetgedrukt) de module van genoemde vector.

Da = (3² + (-1.5)² + 3²))^½ = 4.5; Dc = ((-1.5) ² + 1² + 3²))^½ = 3.5

of_Geeft = 4.5 =

of_DC = 3.5 =

of_Db =

of_D =

Stap 4: Druk alle spanningen uit als vectoren

T_Geeft = T_Geeft of_Geeft = T_Geeft

T_DC = T_DC of_{DC =}  T_DC

T_Db = T_Db of_Db = T_Db

 T_D = 30

Stap 5: Pas de statische evenwichtstoestand toe en los het systeem van vergelijkingen op

Ten slotte wordt de statische balansvoorwaarde op de emmer toegepast, zodat de vectorsom van alle krachten op de knoop nietig is:

T_Geeft + T_DC + T_Db + T_D = 0

Omdat spanningen in de ruimte zijn, zal dit leiden tot een systeem met drie vergelijkingen voor elke component (X, en en Z) van spanningen.

0.67 t_Geeft -0.43 t_DC + 0 t_Db = 0

-0.33 t_Geeft + 0.29 t_DC - T_Db = 0

0.67 t_Geeft + 0.86 T_DC +0 t_Db - 30 = 0

De oplossing is: T_Geeft = 14.9 n; T_Geeft = 23.3 n; T_Db = 1.82 n

Referenties

1. Bedford, 2000. NAAR. Mechanica voor engineering: statisch. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica.31-68.
3. Fysiek. Module 8: vectoren. Hersteld van: frtl.Utn.Edu.AR
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch. 6e editie. Continentaal redactioneel bedrijf. 15-53.
5. Toevoegingscalculator vector. Hersteld van: 1728.borg