Resulterende vectorberekening, voorbeelden, oefeningen

Hij resulterende vector Het is degene verkregen door een operatie met vectoren waarvan het resultaat ook een vector is. Normaal gesproken is deze bewerking de som van twee of meer vectoren, waardoor een vector wordt verkregen waarvan het effect equivalent is.

Op deze manier worden vectoren zoals snelheid, versnelling of kracht verkregen als gevolg. Bijvoorbeeld wanneer verschillende krachten op een lichaam handelen F₁, F₂, F₃,.. . De vectorsom van al deze krachten is gelijk aan de netto kracht (de resulterende), die zich wiskundig uitdrukt:

F₁ + F₂ + F₃ +… = F_R  of F_N

Figuur 1. Sneeuwgewicht wordt verdeeld over het plafond en de werking ervan kan worden vervangen door een enkele resulterende kracht die op de juiste plaats wordt toegepast. Bron: Pixabay.

De resulterende vector, of het nu krachten of een andere vectorgrootte zijn, is de regels van de som van vectoren toepassen. Aangezien vectoren richting en zin hebben naast numerieke waarde, is het niet voldoende om de modules toe te voegen om de resulterende vector te hebben.

Dit geldt alleen in het geval waarin de betrokken vectoren in dezelfde richting zijn (zie voorbeelden). Anders is het noodzakelijk om vector sum -methoden te gebruiken, die, afhankelijk van de zaak, geometrisch of analytisch kunnen zijn.

[TOC]

Voorbeelden

Geometrische methoden om de resulterende vector te vinden, zijn de polygon -methode en de parallellogrammethode.

Wat betreft de analytische methoden is de componentmethode, waardoor de vector die voortvloeit uit elk vectorsysteem kan worden gevonden, zolang we zijn Cartesiaanse componenten hebben.

Geometrische methoden om twee vectoren toe te voegen

Stel dat de vectoren of En v (We duiden ze vetgedrukt aan om ze van de scalaire te onderscheiden). In figuur 2) hebben we ze in het vliegtuig. In figuur 2 b) is het zo naar vector V verplaatst dat de oorsprong ervan samenvalt met het einde van of. De resulterende vector gaat van de oorsprong van de eerste (of) tot het puntje van de laatste (v):

Het kan u van dienst zijn: Samenvoegbaarheid: vaste stoffen, vloeistoffen, gassen, voorbeelden Figuur 2. De resulterende vector uit de grafische som van vectoren. Bron: zelf gemaakt.

De figuur die in dit geval resulteert, is een driehoek (een driehoek is een 3 -zijdige polygoon). Als we twee vectoren in dezelfde richting hebben, is de procedure hetzelfde: plaats een van de vectoren na de andere.

Merk op dat de volgorde waarin deze procedure wordt ingesteld niet uitmaakt, omdat de som van vectoren commutatief is.

Merk ook op dat in dit geval de module (De lengte of grootte) van de resulterende vector is de som van de modules van de extra vectoren, in tegenstelling tot het vorige geval, waarin de resulterende vectormodule minder is dan de som van de modules van de deelnemers.

Parallellogrammethode

Deze methode is zeer geschikt wanneer u twee vectoren moet toevoegen waarvan de oorsprongspunten overeenkomen, met de oorsprong van een X-Y-coördinatensysteem. Stel dat dit het geval is van onze vectoren of En v (Figuur 3):

figuur 3. Som van twee vectoren door middel van de parallellogrammethode met de resulterende vector in turquoise blauw. Bron: zelf gemaakt.

In figuur 3b) is een parallellogram gebouwd met behulp van parallelle stippellijnen of al v. De resulterende vector heeft zijn oorsprong in O en het einde op het punt waar de stippellijnen kruisen. Deze procedure is volledig gelijk aan die beschreven in de voorgaande sectie.

Opdrachten

-Oefening 1

Gezien de volgende vectoren, zoek de resulterende vector met behulp van de polygonale methode.

Het kan u van dienst zijn: lichte reflectie Figuur 4. Vectoren om het resultaat te vinden via de polygonale methode. Oefening 1. Bron: zelf gemaakt.

Oplossing

De polygonale methode is de eerste van de geziene methoden. Vergeet niet dat de som van vectoren commutatief is (de volgorde van de toevoegingen verandert de som niet), dus u kunt beginnen met een van de vectoren, bijvoorbeeld of (Afbeelding 5a) of R (Afbeelding 5b):

Figuur 5. Som van vectoren via de polygonale methode. Bron: zelf gemaakt.

De verkregen figuur is een polygoon en de resulterende vector (in blauw) wordt genoemd R. Als u begint met een andere vector, kan de gevormde figuur anders zijn, zoals in het voorbeeld te zien is, maar de resulterende vector is hetzelfde.

Oefening 2

In de volgende figuur is het bekend dat de modules van de vectoren of En v zijn respectievelijk U = 3 willekeurige eenheden en v = 1.8 willekeurige eenheden. De hoek dat of Vorm met de positieve X -as is 45 º, terwijl v Vorm 60 º met de y -as, zoals te zien in de figuur. Vind de resulterende vector, grootte en richting.

Oplossing

In de voorgaande sectie werd de resulterende vector gevonden die de parallellogrammethode toepast (in turquoise in de figuur).

Een eenvoudige manier om de resulterende vector analytisch te vinden, is door de vectoren uit te drukken die toevoegen in termen van hun Cartesiaanse componenten, wat een gemakkelijke taak is wanneer module en hoek bekend zijn, zoals de vectoren van dit voorbeeld:

of_X = u . cos 45º = 3 x cos 45 º = 2.12; of_En = u . Sin 45 º = 3x Sen 45º = 2.12

v_X = V . Sen 60º = 1.8 x Sen 60 º = 1.56; v_En = -V . Cos 60 º = -1.8 x cos 60º = - 0.9

Kan u van dienst zijn: Pendular Movement

De vectoren of En v Het zijn vectoren die tot het vliegtuig behoren, met beide twee componenten elk. De U -vector bevindt zich in het eerste kwadrant en zijn componenten zijn positief, terwijl vector V zich in het vierde kwadrant bevindt; De X -component is positief, maar de projectie op de verticale as valt in de as en negatief.

Berekening van de Cartesiaanse componenten van de resulterende vector

De resulterende vector voegt algebraïsch toe de respectieve componenten x en y, om zijn Cartesiaanse componenten te verkrijgen:

R_X = 2.12 + 1.56 = 3.68

R_En = 2.12 + (-0.9) = 1.22

Zodra de Cartesiaanse componenten zijn opgegeven en de vector volledig bekend is. De resulterende vector kan worden uitgedrukt met de notatie tussen vierkante haakjes (beugels):

R = willekeurige eenheden

De beugelnotatie wordt gebruikt om een ​​vector te onderscheiden van een punt in het vlak (of in de ruimte). Een andere manier om de resulterende vector op een analytische manier uit te drukken, is door het gebruik van eenheidsvectoren Je en J in het vliegtuig (Je, J En k in de ruimte):

R = 3.68 Je + 1.22 J willekeurige eenheden

Omdat beide componenten van de resulterende vector positief zijn, is de vector R Het behoort tot het eerste kwadrant, dat al grafisch was gezien.

Omvang en richting van de resulterende vector

Bekend bij Cartesiaanse componenten, wordt de grootte van R berekend door de stelling van Pythagoras, sinds de resulterende vector R, Naast zijn componenten r_X en r_En Ze vormen een juiste driehoek:

Magnitude of module: r = (3.68² + 1.22²))^½ = 3.88

Adres Q als referentie de positieve X -as als referentie: q = arcan (r_En / R_X) = arctg (1.22/3.68) = 18.3e

Referenties

1. Vectoren en regels toevoegen. Hersteld van: newt.Fysiek.UNSW.Edu.Au
2. Figueroa, D. Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica.31-68.
3. Fysiek. Module 8: vectoren. Hersteld van: frtl.Utn.Edu.AR
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch. 6e editie. Continentaal redactioneel bedrijf. 15-53.
5. Toevoegingscalculator vector. Hersteld van: www.1728.borg