Vectorkenmerken en eigenschappen, elementen, typen, voorbeelden

De vectoren Het zijn wiskundige entiteiten die een grootte -positief -meestal vergezeld van een eenheid van maatregelen, naast richting en betekenis. Dergelijke kenmerken zijn zeer geschikt om fysieke hoeveelheden zoals snelheid, sterkte, versnelling en nog veel meer te beschrijven.

Met vectoren is het mogelijk om operaties uit te voeren zoals som, aftrekking en producten. De divisie is niet gedefinieerd voor vectoren en wat betreft het product, er zijn drie klassen die we later zullen beschrijven: Scalar of Point Product, Vector of Cross -product en product van een scalair voor een vector.

Figuur 1. De elementen van een vector. Bron: Wikimedia Commons.

Om een ​​vector volledig te beschrijven, is het noodzakelijk om al zijn kenmerken aan te geven. De grootte of module is een numerieke waarde vergezeld van een eenheid, terwijl richting en betekenis worden vastgesteld met behulp van een coördinatensysteem.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld: stel dat een vliegtuig van de ene stad naar de andere vliegt met een snelheid van 850 km/u in de richting. Hier hebben we een volledig gespecificeerde vector, omdat de grootte beschikbaar is: 850 km/u, terwijl richting en betekenis NE zijn.

Vectoren worden meestal grafisch weergegeven door georiënteerde lijnsegmenten, waarvan de lengte evenredig is met de grootte.

Hoewel om de richting en de betekenis te specificeren, is een referentielijn vereist die meestal de horizontale as is, hoewel het noorden ook als referentie kan worden opgevat, is dit het geval van de snelheid van het vlak:

Figuur 2. Een snelheidsvector. Bron: f. Zapata.

De figuur toont de snelheidsvector van het vlak, die wordt aangeduid als v in vetgedrukt, Om het te onderscheiden van een scalaire hoeveelheid, die alleen een numerieke waarde vereist en een eenheid moet worden opgegeven.

[TOC]

Elementen van een vector

Zoals we hebben gezegd, zijn de vectorelementen:

-Grootte of module, soms ook wel absolute waarde of vectorstandaard genoemd.

-Adres

-Gevoel

In het voorbeeld van figuur 2, de module van v Het is 850 km/h. De module wordt aangeduid als V zonder vetgedrukt, of als |v|, Waar de balken de absolute waarde vertegenwoordigen.

Het adres van v is gespecificeerd met betrekking tot het noorden. In dit geval is het 45º ten noorden van het oosten (45º NE). Eindelijk informeert de punt van de pijl over de richting van v.

In dit voorbeeld is de vectoroorsprong getekend door samen te vallen met het oorsprongs- of coördinatensysteem, dit staat bekend als Gekoppelde vector. Aan de andere kant, als de oorsprong van de vector niet overeenkomt met die van het referentiesysteem, wordt gezegd dat het een gratis vector.

Opgemerkt moet worden dat om de vector volledig te specificeren, deze drie elementen moeten worden aangegeven, anders zou de beschrijving van de vector onvolledig zijn.

Rechthoekige componenten van een vector

figuur 3. Rechthoekige componenten van een vector in het vlak. Bron: Wikimedia Commons. Unther [cc by-sa 3.0 (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)]

In de afbeelding hebben we onze voorbeeldvector terug v, dat is in het vliegtuig XY.

Het is gemakkelijk op te merken dat v -projecties op de X- en Y -coördinaatassen een rechterdriehoek bepalen. Deze projecties zijn v_En En v_X en worden rechthoekige componenten genoemd v.

Een manier om aan te duiden v Door zijn rechthoekige componenten is het zo: v = X, v_En>. Deze vierkante haakjes worden gebruikt in plaats van haakjes om het feit te benadrukken dat het een vector is en geen punt, omdat in dit geval haakjes zouden worden gebruikt.

Can Serve You: James Chadwick: Biography, Atomic Model, Experimenten

Als de vector zich in de drie -dimensionale ruimte bevindt, is nog een component nodig, zodat:

v = X, v_En, v_Z>

De rechthoekige componenten kennende, wordt de grootte van de vector berekend, gelijk aan het vinden van de hypotenusa van de rechter driehoek waarvan de benen zijn v_X En v_En,. Door de stelling van Pythagoras volgt het dat:

|v|² = (v_X))² +  (v_En))²

Polaire vorm van een vector

Wanneer de vectorgrootte bekend is |v| En de hoek θ dat deze vorm met de referentieas, meestal de horizontale as, de vector is gelijkelijk gespecificeerd. Er wordt dan gezegd dat de vector in polaire vorm wordt uitgedrukt.

Rechthoekige componenten worden in dit geval gemakkelijk berekend:

v_X = |v|.Cos θ

v_En = |v|.Sin θ

Volgens het bovenstaande zijn de rechthoekige componenten van de snelheidsvector v van het vliegtuig zou zijn:

v_X = 850 . cos 45º km/h = 601.04 km/h

v_En = 850 . Sen 45º km/h = 601.04 km/h

Jongens

Er zijn verschillende soorten vectoren. Er zijn Veinevectoren, positie, verplaatsing, kracht, elektrisch veld, hoeveelheid beweging en nog veel meer. Zoals we al hebben gezegd, zijn er in de natuurkunde veel vectorgroottes.

Wat vectoren betreft die bepaalde kenmerken hebben, kunnen we de volgende soorten vectoren vermelden:

-Nul: Dit zijn vectoren waarvan de grootte 0 is en die worden aangeduid als 0. Vergeet niet dat de gewaagde letter de drie fundamentele kenmerken van een vector symboliseert, terwijl de normale letter alleen voor de module vertegenwoordigt.

Bijvoorbeeld over een lichaam in een statisch evenwicht, moet de som van krachten een nulvector zijn.

-Gratis en gekoppeld: Vrije vectoren zijn die wiens oorsprongspunten en aankomst een paar punten van het vlak of de ruimte zijn, in tegenstelling tot gekoppelde vectoren, waarvan de oorsprong samenvalt met dat van het referentiesysteem dat wordt gebruikt om ze te beschrijven.

Het paar of het moment geproduceerd door een paar krachten is een goed voorbeeld van de vrije vector, omdat het koppel niet van toepassing is op een bepaald punt.

-Apparatuur: Het zijn twee vrije vectoren die identieke kenmerken delen. Daarom hebben ze dezelfde omvang, richting en betekenis.

-Coplanares of coplanarios: vectoren die tot hetzelfde vlak horen.

-Tegenstellingen: vectoren met gelijke grootte en richting, maar tegengestelde zintuigen. De vector tegen een vector v Het is de vector -v En de som van beide is de nulvector: v + ((-v) = 0.

-Gelijktijdig: vectoren wiens handelenlijnen allemaal door hetzelfde punt gaan.

-Schuif: zijn die vectoren waarvan het toepassingspunt langs een bepaalde lijn kan glijden.

-Colineair: vectoren die zich op dezelfde lijn bevinden.

-Unitaries: Die vectoren waarvan de module 1 is.

Orthogonale eenheid vectoren

Er is een zeer handig type vector in de fysica genaamd Orthogonal Unit Vector. De orthogonale eenheidsvector heeft een module die gelijk is aan 1 en de eenheden kunnen elk zijn, bijvoorbeeld die van snelheid, positie, kracht of andere.

Er is een reeks speciale vectoren die helpen om gemakkelijk andere vectoren te vertegenwoordigen en bewerkingen met hen uit te voeren: ze zijn de orthogonale eenheidsvectoren Je, J En k, Unitaries en loodrecht op elkaar.

In twee dimensies zijn deze vectoren gericht in de positieve zin van beide as X Vanaf de as En. En in drie dimensies wordt een eenheidsvector toegevoegd in de richting van de as Z positief. Ze worden als volgt weergegeven:

Kan u van dienst zijn: wat is de structuur van documentaire onderzoek?

Je =

J =

k =

Een vector kan worden weergegeven door eenheidsvectoren Je, J En k als volgt:

v = V_X Je + v_En J + v_Z k

Bijvoorbeeld de snelheidsvector v Uit de vorige voorbeelden kunt u schrijven als:

v = 601.04 Je + 601.04 J km/h

De component in k Het is niet nodig, omdat deze vector in het vlak zit.

Som van vectoren

De som van vectoren verschijnt zeer vaak in verschillende situaties, bijvoorbeeld wanneer u de resulterende kracht wilt vinden op een object dat door verschillende krachten wordt beïnvloed. Om te beginnen met de aanstelling dat u twee gratis vectoren hebt of En v In het vlak, zoals het volgende toont links:

Figuur 4. Grafische som van twee vectoren. Bron: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach [CC BY-SA 3.0 (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)].

Hij gaat onmiddellijk naar de vector v, zonder de grootte, richting of betekenis ervan te wijzigen, zodat het afkomstig is van samenvalt met het einde van of.

De somvector wordt genoemd W en wordt getrokken vanaf u eindigend in v, Volgens de juiste figuur. Het is belangrijk op te merken dat de omvang van de vector W Het is niet noodzakelijk de som van de grootte van v En of.

Als het in dit opzicht zorgvuldig wordt weerspiegeld, is de enige gelegenheid wanneer de grootte van de resulterende vector de som is van de grootte van de addends, het is wanneer beide verslaafden in dezelfde richting zijn en dezelfde betekenis hebben.

En wat er gebeurt als de vectoren niet gratis zijn? Het is ook heel gemakkelijk om ze toe te voegen. De manier om te doen is het toevoegen van componentcomponent of analytische methode.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar de vectoren van de volgende figuur, het eerste is om ze uit te drukken uit een van de eerder verklaarde Cartesiaanse vormen:

Figuur 5. Som van twee gekoppelde vectoren. Bron: Wikimedia Commons.

v =

of =

Om de component in te verkrijgen X van de vector voegt toe W, De respectieve componenten worden toegevoegd X van v En of: W_X = 5+2 = 7. En om te krijgen W_En Een analoge procedure wordt gevolgd: w_En = 1+3. Daarom:

of =

Eigenschappen van de som van vectoren

-De som van twee of meer vectoren resulteert in een andere vector.

-Het is commutatief, de volgorde van de toevoegingen verandert de som niet, zodat:

of + v = v + of

-Het neutrale element van de som van vectoren is de nulvector: v + 0 = v

-De aftrekking van twee vectoren wordt gedefinieerd als de som van het tegenovergestelde: v - u = v + (-of)

Voorbeelden van vectoren

Zoals we hebben gezegd, zijn er talloze vectorhoeveelheden in de natuurkunde. Een van de bekendste zijn:

-Positie

-Verplaatsing

-Gemiddelde snelheid en onmiddellijke snelheid

-Versnelling

-Kracht

-Hoeveelheid beweging

-Koppel of moment van kracht

-Impuls

-elektrisch veld

-Magnetisch veld

-Magnetisch moment

Aan de andere kant zijn ze geen vectoren maar klimmen:

-Tijd

-Massa

-Temperatuur

-Volume

-Dikte

-Mechanisch werk

-Energie

-Warmte

-Stroom

-Spanning

-Elektrische stroom

Andere bewerkingen tussen vectoren

Naast de som en aftrekking van vectoren zijn er nog drie andere bewerkingen tussen zeer belangrijke vectoren, omdat ze aanleiding geven tot nieuwe zeer belangrijke fysieke magnitudes:

-Product van een scalair voor een vector.

-Het scalaire product- of puntproduct tussen vectoren

-En het kruis- of vectorproduct tussen twee vectoren.

Product van een scalair voor een vector

Overweeg de tweede wet van Newton, die die kracht vermeldt F en versnelling naar Ze zijn evenredig. De evenredigheidsconstante is de massa M van het object daarom:

F = m.naar

Het deeg is een scalair; Van zijn kant zijn kracht en versnelling vectoren. Aangezien de kracht wordt verkregen door de massa te vermenigvuldigen met de versnelling, is dit het resultaat van het product van een scalaire door een vector.

Kan u van dienst zijn: voorbeelden van theoretisch kader

Dit type product resulteert altijd in een vector. Hier een ander voorbeeld: de hoeveelheid beweging. Zijn P De vector hoeveelheid beweging, v De snelheidsvector en zoals altijd, M is de massa:

P = m.v

Scalair product of puntproduct tussen vectoren

We hebben mechanisch werk geplaatst in de lijst met magnitudes die geen vectoren zijn. Werk in de natuurkunde is echter het resultaat van een operatie tussen vectoren die een scalair product, intern product- of puntproduct worden genoemd,.

Wees de vectoren v En of, Het punt of klimproduct is tussen hen gedefinieerd:

v∙of = |v| ∙ |of |.Cos θ

Zijn θ de hoek tussen hen. Uit de getoonde vergelijking wordt onmiddellijk afgeleid dat het resultaat van het puntproduct een scalair is en ook dat als beide vectoren loodrecht zijn, hun scalaire product 0 is.

Terug naar mechanisch werk W, Dit is het scalaire product tussen de sterkte vector F en de vectorverplaatsing ℓ.

W = F∙ℓ                  

Wanneer vectoren beschikbaar zijn in termen van hun componenten, is het puntproduct ook heel eenvoudig te berekenen. Ja v = X, v_En, v_Z > En of = X, of_En, of_Z >, Het puntproduct tussen de twee is:

v∙of = v_X of_X + v_En of_En + v_Z of_Z

Het puntproduct tussen vectoren is daarom commutatief:

v∙of = of∙v

Kruisproduct of vectorproduct tussen vectoren

Ja v en u bent onze twee voorbeeldvectoren, het vectorproduct wordt gedefinieerd als:

v X of = W

Hieruit volgt onmiddellijk dat het kruisproduct resulteert in een vector, waarvan de module wordt gedefinieerd als:

|v X u | = | V | . | u |. Sin θ

Waar θ Het is de hoek tussen de vectoren.

Het kruisproduct is daarom niet commutatief v X u ≠ u X v. In werkelijkheid v X U = - (u X V).

Als de twee voorbeeldvectoren worden uitgedrukt in termen van de eenheidsvectoren, wordt de berekening van het vectorproduct vergemakkelijkt:

v = V_X Je + v_En J + v_Z k

of = u_X Je + of_En J + of_Z k

Kruisproducten tussen eenheidsvectoren kruisen

Het kruisproduct tussen identieke eenheidsvectoren is nul, omdat de hoek ertussen 0º is. Maar onder verschillende eenheidsvectoren is de hoek ertussen 90º en sin 90º = 1.

Het volgende schema helpt om deze producten te vinden. In de richting van de pijl is het positief logisch en in de tegenovergestelde richting:

Je X J = K, J X k = Yo; k X Je = J; J X i = -k; k X J = -Yo; Je X k = -J

Het toepassen van distributieve eigendommen, die geldig blijft voor producten tussen vectoren plus de eigenschappen van eenheidsvectoren, hebt u:

v X of = (v_X Je + v_En J + v_Z k) X (u_X Je + of_En J + of_Z k) =  

= (v_Enof_Z - v_Zof_En ))Je + (v_Zof_X - v_Xof_Z ))J + (v_Xof_En - v_Enof_X ))k

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Gegeven de vectoren:

v = -5 Je + 4J + 1 k

of = 2 Je -3 J + 7k

Wat zou de vector moeten zijn W zodat de som v + of + W resultaat 6 Je +8 J -10k?

Oplossing

-5 Je + 4J + 1 k

2 Je -3 J + 7k

 W_X Je + W_En J + W_Z k  +

--

6Je + 8 J -10 k

Daarom moet worden vervuld dat:

-5 +2 + W_X = 6 → W_X = 9

4-3 + W_En = 8 → W_En = 7

1 + 7 + W_Z = -10 → W_Z = -18

Het antwoord is: W = 9 Je +7 J - 18k

- Oefening 2

Wat is de hoek tussen de vectoren v En of van oefening 1?

Oplossing

We zullen het scalaire product gebruiken. We hebben:

cos θ = v∙of / |v| ∙ |of|

v∙of= -10 -12+7 = -15

|v| = √ (-5)² +4² +1²= √42 = 6.48

|of| = √2² +(-3)² +7²= √62 = 7.87

Deze waarden vervangen:

cos θ = -15 / 6.48 x 7.87 = -0.2941 → θ = 107.1e

Referenties

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica. Uitgegeven door Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D.  2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
3. Rex, a. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. ED. Deel 1.
5. Serway, r., Jewett, J. 2008. Natuurkunde voor wetenschap en engineering. Deel 1. 7e. ED. Cengage leren.