Discrete willekeurige variabele

We leggen uit wat een discrete willekeurige variabele is, de kenmerken ervan, we geven voorbeelden en lossen oefeningen op

Wat is een discrete willekeurige variabele?

A Discrete willekeurige variabele Het is een willekeurig numerieke waarde verkregen, als gevolg van een experiment en dat neemt alleen eindige of boekhoudwaarden nodig. Dit betekent dat, gezien twee opeenvolgende waarden van de variabele, er geen tussenliggende waarde tussen is.

Voorbeelden van discrete variabelen zijn het aantal bloemblaadjes van een bloem, hoeveel gezichten (of kruisen) tegelijkertijd twee munten zijn, het aantal leden of kinderen van een gezin, aantal mensen dat in een huis woont en nog veel meer.

In alle gevallen zijn de resultaten van het uitvoeren van het experiment boekhouding. Een willekeurige variabele genaamd "X = aantal kinderen van een gezin" kan worden gedefinieerd, en deze variabele kan waarden 0, 1, 2, 3… nemen ..

Dus voor een algemeen geval wordt een discrete willekeurige variabele geïdentificeerd door:

X = x₁, X₂, X₃... X_k

Waar x₁, X₂, X₃... zijn de mogelijke resultaten van het experiment.

Het is vaak geïnteresseerd in het kennen van de kans op het optreden van elk van deze mogelijke resultaten, aangeduid als:

P₁ = P (x = x₁))

P₂ = P (x = x₂))
.
.
.

Enzovoort voor elke X -waarde. De "i" -index varieert van 1 tot k: i = 1,2,3 ... k.

Deze lijst, die de kansen van elk mogelijk resultaat van het experiment bevat, wordt genoemd waarschijnlijkheidsverdeling of waarschijnlijkheidsfunctie, Op voorwaarde dat de willekeurige variabele numeriek is, is de kans op elke gebeurtenis tussen 0 en 1 en de som van alle waarschijnlijkheden is gelijk aan 1.

Voorbeelden van Discrete willekeurige variabelen

De discrete willekeurige variabelen zijn altijd numeriek en boekhouding. Ze meten meestal het aantal keren dat er een gebeurtenis plaatsvindt, bijvoorbeeld:

• Aantal oproepen ontvangen door een callcenter op één middag.
• Hoeveelheid bankdeposito's gemaakt op een enkele dag.
• Start een dobbelstenen en lees het nummer dat op de bovenkant verschijnt.
• Aantal gezichten dat uitkomt bij het lanceren van twee identieke valuta.
• Studenten die het algebra I -examen hebben goedgekeurd, willekeurig gekozen uit een groep van 100 engineeringstudenten van een universiteit.
• Volwassen leden van een kudde olifanten in een Afrika -reservaat.
• Aantal kinderen per gezin in een bepaalde stad.
• Mensen die een middernachtfilmfunctie bijwonen.
• Aantal auto's dat een tol op een snelweg passeert.

Kan u van dienst zijn: Cruz -product

Hele en fractionele waarden

Alle genoemde discrete willekeurige variabelen nemen volledige waarden aan. Discrete willekeurige variabelen kunnen echter worden gedefinieerd met fractionele waarden, bijvoorbeeld de willekeurige variabele f gegeven door:

F = fractie van defecte stukken door willekeurig 50 elementen van veel te kiezen

Mogelijke waarden zijn als volgt:

• Er wordt geen defect stuk gevonden: F₁= 0
• Slechts 1 defect stuk van 50: F₂= 1/50 = 0.02
• Twee defecte stukken zijn te vinden in 50: F₃= 2/50 = 0.04
• Enzovoort, tot de zaak waarin de 50 gekozen stukken slecht zijn: F₅₁ = 50/50 = 1

Opgeloste oefeningen

Oefening 1: Identificeer discrete willekeurige variabelen

Ze hebben de willekeurige variabelen gegeven door:

X = Aantal aardbevingen per jaar, vond plaats in een bepaalde geografische zone

Y = exacte lengte van de menselijke voet

Z = volwassen schoeiselgrootte

R = duur van een oproep tot een Callcenter

Zijn allemaal discrete willekeurige variabelen? Rechtvaardigen het antwoord.

Oplossing

De X- en Z -variabelen zijn discreet, omdat het aantal aardbevingen in een jaar een boekhoudkundige hoeveelheid is. Aan de andere kant zijn schoeiselgroottes eindig, nummering kan variëren volgens het land, bijvoorbeeld 6, 6.5, 7 ..., maar het is ook een eindig bedrag.

Aan de andere kant kan de exacte lengte van de menselijke voet elke waarde aannemen. Bijvoorbeeld tussen twee mensen wiens voetmaatregel 23.5 en 23.8 cm, het is altijd mogelijk om een ​​andere te vinden wiens voetmaatregel, zeg 23.6 cm. Dit type variabele is ook willekeurig, maar gaat verder.

Wat betreft de tijd die een telefoongesprek duurt, het is geen discrete variabele, omdat er oneindige waarden zijn tussen twee keer t₁ en t₂ duur.

Kan u van dienst zijn: hele nummers

Oefening 2: Gelijktijdige twee munten

Een experiment bestaat uit het tegelijkertijd lanceren van twee identieke valuta's, waarvoor de willekeurige variabele x = Aantal gezichten is gedefinieerd. Vinden:

a) De waarden die X neemt.

b) de waarschijnlijkheidsverdeling

Oplossing voor

De mogelijke resultaten van het experiment zijn de volgende: geen duur (twee zeehonden), A duur en een zegel, A zegel en een duur En tot slot, twee gezichten.

Door het gezicht als C en de afdichting als S te ontkennen, zijn de resultaten als volgt samengevat:

Ω = (s, s); (C, S); (S, c); (DC)

Deze set staat bekend als de voorbeeldruimte.

Daarom neemt de willekeurige variabele x de waarden: 0 (geen gezicht), 1 (één gezicht in beide munten) en 2 (het was duur in beide munten). Aangezien de resultaten boekhouding zijn, is de variabele naast willekeurig discreet:

X = 0.1,2

Oplossing B

Wanneer een munt wordt gelanceerd, indien eerlijk, de duur of zegel Ze hebben dezelfde kans om te vertrekken, gelijk aan ½. Daarom, als twee munten tegelijkertijd worden gelanceerd, omdat de resultaten onafhankelijk zijn, omdat de munten elkaar niet beïnvloeden, vermenigvuldigt de kans op het verkrijgen van twee kanten (of twee kruisen) de kansen van elke gebeurtenis.

Als twee kruisen worden verkregen, betekent dit dat er geen gezicht uitkwam:

P (2 kruisen = 0 gezichten) = P (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Aan de andere kant is de waarschijnlijkheid van de CS- of SC -combinatie de som van de twee gunstige waarschijnlijkheden:

P (1 gezicht) = P (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Ten slotte is de kans op het verkrijgen van twee gezichten:

P (2 gezichten) = P (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Merk op dat deze waarschijnlijkheidsverdeling voldoet aan de in het begin vastgestelde vereisten:

De waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis ligt tussen 0 en 1.

Door de drie kansen toe te voegen, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Kan u van dienst zijn: Colineale vectoren Het histogram toont de waarschijnlijkheidsverdeling voor de lancering van twee identieke valuta. In de horizontale as wordt de willekeurige variabele geplaatst, het midden van de balk komt overeen met de waarde van de variabele. En in de verticale as wordt de waarschijnlijkheid in dit geval percentage geplaatst. Bron: f. Zapata.

Oefening 3: DJe gooit een uitgebalanceerde dobbelstenen

Een experiment bestaat uit het gooien van een evenwichtige dobbelstenen twee keer. De willekeurige variabele die is gedefinieerd, is:

X = Aantal keren een 1 komt uit

a) Maak een lijst van de mogelijke resultaten van het experiment en bepaal de waarden van de willekeurige variabele.

b) Vind uw kansenverdeling.

Oplossing voor

Omdat het een evenwichtige dobbelstenen is, hebben alle gezichten dezelfde kans om te vertrekken, en omdat de dobbelstenen een kubus met zes gezichten is, is deze kans gelijk aan 1/6.

De mogelijke resultaten van het experiment kunnen als volgt worden gesynthetiseerd:

• Je krijgt geen 1 of één keer: x₁= 0
• De 1 komt slechts één keer uit: x₂= 1
• Beide lanceringen zijn 1: x₃= 2

Daarom is de willekeurige variabele X discreet en heeft hij drie waarden:

X = 0.1,2

Oplossing B

Wat betreft de waarschijnlijkheidsverdeling van deze variabele, het eerste is om op te merken dat de set van alle mogelijke resultaten uit 36 ​​paren bestaat, die de voorbeeldruimte vormen:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3)… (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5.6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Nu worden die paren geteld waarin een 1 niet wordt verkregen:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3)…

In totaal zijn er 25 paren, waarin de 1 niet naar voren komt, daarom is de kans op het verkrijgen van een van deze collega's:

P₁ = P (x = 0) = 25/36

-Dan, de leeftijdsgenoten waarin 1 slechts één keer verschijnt:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Daarom zijn er 10 paren:

P₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Ten slotte is er maar één paar waarin 1 er twee keer uitkomt: (1,1). Dus:

P₃ = P (x = 2) = 1/36