Trinomiaal

Een trinomiaal is een polynoom met drie termen. Bron: f. Zapata.

Wat is een trinomiaal?

Een trinomiaal is een polynoom dat bestaat uit de aangegeven som van drie verschillende termen, dat wil zeggen dat het algebraïsche drie monomials van verschillende graden is gebouwd, een of meer variabele. Het zijn veel voorkomende polynomen in algebra.

Enkele voorbeelden van trinomials zijn de volgende:

• X² + 5x - 3 (graad 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial van graad 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial van absolute mate 3, graad 3 in x en graad 2 in y)

De eerste en tweede van deze trinomen zijn van een enkele variabele, in dit geval de variabele "x", terwijl de derde trinomiale twee variabelen "x" en "y" is.

Voorbeelden van trinomials

Er zijn verschillende soorten trinomials die in tal van toepassingen worden gepresenteerd, waaronder:

Perfect vierkant trinomiaal

Een perfect vierkant trinomiaal wordt verkregen bij het ontwikkelen van het kwadraat van een som of het kwadraat van een verschil in termen. Beide ontwikkelingen staan ​​bekend als Opmerkelijke producten.

Allereerst heb je het kwadraat van de som: (a + b)². Bij het ontwikkelen van deze uitdrukking krijg je:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ B + B ∙ A + B²

De twee centrale termen zijn identiek en worden daarom gereduceerd tot 2a ∙ b,:

(A + B)² = a² + 2A ∙ B + B²

Het trinomiale a² + 2A ∙ B + B² Bevat twee perfecte vierkanten: a² en B², Terwijl de resterende term gelijk is aan het dubbele product van de twee termen van de oorspronkelijke binomiale.

Het kwadraat van een verschil is een trinomiaal vergelijkbaar met het vorige, behalve een negatief teken dat het dubbele product van de voorwaarden van de oorspronkelijke binomiale beïnvloedt:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Wederom worden de vergelijkbare termen teruggebracht tot een enkele term en wordt verkregen dat:

Kan u van dienst zijn: Moivre Stelling

(A - b)² = a² - 2A ∙ B + B²

Het is niet langer mogelijk om het resultaat te verminderen.

Deze opmerkelijke, gemakkelijk memoriatieve producten, associëren een perfect vierkant trinomiaal met het vierkant van de overeenkomstige binomiale bijvoorbeeld:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Opgemerkt moet worden dat niet alle perfecte vierkante trinomials een variabele of klasse 2 zijn. Hier zijn voorbeelden van dit type trinomials met twee en meer variabelen en ook met verschillende graden van 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + en²
• (2z² + En)² = 4Z⁴ + 4 ∙ z²en + en²
• (5xy³ - z)² = 25x²En⁶ - 10 xy³Z + Z²

Trinomial van de X -vorm² + bx + c

In dit trinomiale is slechts één van de termen perfect vierkant, in dit geval is het x² en de numerieke coëfficiënt is 1. De volgende B⋅x -term is lineair en de laatste term is de onafhankelijke termijn. Voorbeelden van dit soort trinomen zijn:

• X² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• En² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• M² - 12 ∙ m + 11 (b = −12; c = 11)

Trinomiale van de bijlvorm² + bx + c

Het lijkt op de vorige, behalve dat de coëfficiënt van de kwadratische term verschilt van 1, zoals in deze trinomials:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Trinomiale factorisatie

Een zeer frequente algebraïsche operatie is trinomiale factorisatie, die bestaat uit het schrijven ervan als het product van verschillende factoren van 1. Er zijn specifieke procedures voor elk van de beschreven trinomials.

Perfecte vierkante trinomiale factorisatie

Ze kunnen worden gefactureerd door inspectie van opmerkelijke producten:

(A + B)² = a² + 2A ∙ B + B²

(A - b)² = a² - 2A ∙ B + B²

De stappen om een ​​perfect vierkant trinomiaal te factureren zijn:

1.- Controleer of het trinomiaal twee perfecte vierkanten bevat² en B², Beide termen moeten door hetzelfde teken worden voorafgegaan, meestal het teken +. Als beide worden voorafgegaan door teken - kan dit een factor zijn zonder probleem.

Kan u van dienst zijn: perfect vierkant trinomiaal

2.- Bepaal de waarden van a en b door de vierkantswortel van een te extraheren² en B².

3.- Bevestigen dat de derde term het dubbele product van A en B is.

Trinomiale factorisatie van de X -vorm² + bx + c

Dit is de trinomiale met een unieke kwadratische term, om te factureren dat het wordt geschreven als het twee binomiale product:

X² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Waar r en s twee nummers zijn om te bepalen.

Merk op dat bij het ontwikkelen van de rechterkant, via distributieve eigenschap, het wordt verkregen:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Dus, zodat deze uitdrukking de oorspronkelijke trinomiale weerspiegelt, moeten de getallen U en V voldoen aan de volgende voorwaarden:

R ∙ s = c
R + s = b

Sommige trinomials van de X -vorm² + Bx + c geeft geen factorisatie toe met deze methode, maar ze kunnen factor zijn met behulp van de algemene formule of oplosmiddelformule.

Trinomiale factorisatie van de bijlvorm² + bx + c

Een procedure om dit type trinomen te factureren, is:

1. Vermenigvuldig en deel het trinomiaal door de coëfficiënt "A"
2. Maak het product tussen "A" en de eerste en derde termijn van het trinomiaal, waardoor het product wordt verlaten zonder de tweede termijn te maken.
3. De in de vorige paragraaf beschreven procedure wordt toegepast op het trinomiaal, dat wil zeggen, het is geschreven als het product van twee binomials, maar in dit geval is de eerste term van elke binomiale niet "x", maar "a ∙ x".
4. Twee n getallen R en S worden gezocht dat a ∙ C = r ∙ s en ook r + s = b
5. Ten slotte, de binomials die zijn, zie de oefening opgelost 3 zijn zo ver mogelijk vereenvoudigd.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Zoek de trinomiale die resulteert bij het ontwikkelen van het volgende opmerkelijke product: (4x - 3y)²

• Oplossing

De opmerkelijke productformule voor het kwadraat van een verschil wordt toegepast, wat resulteert in:

Het kan u van dienst zijn: rechthoekige coördinaten: voorbeelden en oefeningen opgelost

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Oefening 2

Feit het volgende trinomiaal:

X² +  5x + 6

• Oplossing

Dit is een trinomiale van de X -vorm² + Bx + c, met b = 5 en c = 6, zodat u kunt proberen rekening te houden met de hierboven beschreven procedure. Om dit te doen, moet u twee R- en S -nummers vinden die vermenigvuldigd worden verkregen 6 en toegevoegd in 5:

R ∙ s = 6 en r + s = 5.

De gezochte cijfers zijn r = 3 en s = 2, omdat ze aan deze voorwaarden voldoen, daarom:

X² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Het wordt achtergelaten als oefening voor de lezer om te controleren of het ontwikkelen van de rechterkant gemakkelijk kan worden bereikt met de oorspronkelijke trinomiale.

Oefening 3

Factoriseer 3x² - 5x - 2.

• Oplossing

Dit is een trinomiale van de bijlvorm² + bx + c, met a = 3, b = −5 en c = −2. Het proces is:

-Vermenigvuldig en deel door A = 3:

Maak het product van "A" voor de eerste en derde termijn, waardoor het product wordt aangegeven met de tweede termijn:

Nu moet je het twee binomiale product schrijven, wiens eerste term 3x is en op zoek zijn naar twee R- en S -nummers zodanig dat:

• Wanneer vermenigvuldigd in −6
• En wanneer het algebraïsch is toegevoegd, wordt het verkregen −5

Deze getallen zijn r = −6 en s = 1:

Ten slotte is het resulterende binomiale product vereenvoudigd:

Voorgestelde oefeningen

Factor de volgende trinomials: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Referenties

1. Baldor. 1977. Elementaire algebra. Venezolaanse culturele edities.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
4. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. 1e. Editie. McGraw Hill.
5. Zill, D. 2008. Voorrang op berekening vooruitgang. 4e. Editie. McGraw Hill.