Gelijkbenige driehoek

De gelijkbenige driehoek heeft twee gelijke kanten en een andere

Wat is een gelijkbenige driehoek?

A gelijkbenige driehoek Het is een driezijdige polygoon, waarbij twee daarvan dezelfde maat hebben en de derde kant een andere maatregel. Deze laatste kant wordt basis genoemd. Vanwege dit kenmerk werd deze naam gegeven, wat in het Grieks "gelijke benen" betekent.

Driehoeken zijn polygonen beschouwd als de eenvoudigste in geometrie, omdat ze worden gevormd door drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten. Zij zijn degenen die het minste aantal kanten en hoeken hebben met betrekking tot de andere polygonen, maar het gebruik ervan is zeer uitgebreid.

Kenmerken van gelijkbenige driehoeken

De gelijkbenige driehoek werd geclassificeerd met behulp van de maat van zijn zijkanten als een parameter, omdat twee van de zijden congruent zijn, dat wil zeggen dat ze dezelfde lengte hebben.

Volgens de amplitude van de interne hoeken worden de gelijkbenige driehoeken geclassificeerd als:

• Gelijkbenige rechthoekige driehoek: Twee van zijn zijden zijn hetzelfde. Een van de hoeken is recht (90^of) En de anderen zijn hetzelfde (45^of elk)
• Gelijkbenige stompe driehoek: Twee van zijn zijden zijn hetzelfde. Een van de hoeken is stompe (> 90^of)).
• Gelijkbenige acutangle -driehoek: Twee van zijn zijden zijn hetzelfde. Al zijn hoeken zijn acuut (< 90^of), Waar twee dezelfde maatregel hebben.

Componenten

• De mediaan: Het is een lijn die van het middelpunt aan één kant vertrekt en het tegenovergestelde hoekpunt bereikt. De drie mediums aanwezig op een punt genaamd Baricentro of Centroid.
• De bissector: Het is een semi -rechterk die de hoek van elk hoekpunt in twee hoeken van gelijke mate verdeelt. Daarom staat het bekend als symmetrieas, en dit type driehoeken heeft er maar één.
• De MediaTrix: Het is een segment dat een voorbeeld van de zijkant van de driehoek is, die in het midden hiervan afkomstig is. Er zijn drie mediatica in een driehoek en wonen een punt bij genaamd Circumcentro.
• De hoogte: Het is de lijn die van het hoekpunt gaat naar de zijde die tegengesteld is en deze lijn ook loodrecht op die kant staat. Alle driehoeken hebben drie hoogten, die samenvallen op een punt dat Ortocenter wordt genoemd.

Eigenschappen van gelijkbenige driehoeken

Isleselige driehoeken worden gedefinieerd of geïdentificeerd omdat ze verschillende eigenschappen hebben die hen vertegenwoordigen, afkomstig van de stellingen voorgesteld door grote wiskundigen:

Interne hoeken

De som van interne hoeken is altijd gelijk aan 180^of.

Som van de zijkanten

De som van de metingen van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde kant, a + b> c.

Congruente partijen

Issceles driehoeken hebben twee zijden met dezelfde maat of lengte; dat wil zeggen, ze zijn congruent, en de derde kant is anders dan deze.

Congruente hoeken

Issceles -driehoeken zijn ook bekend als isoangeuze driehoeken, omdat ze twee hoeken hebben die dezelfde maatregel hebben (congruent). Deze bevinden zich aan de basis van de driehoek, in tegenstelling tot de zijkanten met dezelfde lengte.

Kan u van dienst zijn: trapeziumvormige prisma

Daarom is de stelling die dat vaststelt:

"Als een driehoek twee congruente partijen heeft, zullen de hoeken die tegen die partijen zijn, ook congruent zijn". Daarom, als een driehoek gelijkbenig is, zijn de hoeken van zijn bases congruent.

Voorbeeld:

In de volgende figuur wordt een ABC -driehoek waargenomen. Bij het trekken van zijn bissector van het hoekpunt van hoek B naar de basis, is de driehoek verdeeld in twee BDA- en BDC -driehoeken:

Bissector die zich verdeelt in twee driehoeken gelijk aan de gelijkbenige driehoek

Op deze manier was de hoek van hoekpunt B ook verdeeld in twee gelijke hoeken. De bissector is nu de gemeenschappelijke kant (BD) tussen die twee nieuwe driehoeken, terwijl de zijkanten AB en BC de congruente partijen zijn. Dit is het geval van zij, hoek, zijde (lal).

Dat laat zien dat de hoeken van hoekpunten A en C dezelfde maatregel hebben, evenals het kan worden aangetoond dat aangezien de BDA- en BDC -driehoeken congruent zijn, de advertentie- en DC -zijden ook zijn.

Hoogte, mediaan, mediaTrix en bissector zijn toevallig

De lijn getrokken uit het hoekpunt tegenover de basis tot het middelpunt van de gelijkbenige driehoekbasis, is tegelijk.

Al deze segmenten vallen samen in een segmenten die hen vertegenwoordigt.

Voorbeeld:

In de volgende figuur wordt de ABC -driehoek waargenomen met een medium M -punt dat de basis verdeelt in twee BM- en CM -segmenten.

Hoogte, mediaan, mediaTrix en bissector zijn toevallig

Bij het tekenen van een segment van punt M naar het tegenovergestelde hoekpunt, wordt per definitie de mediaan AM verkregen, die relatief is ten opzichte van hoekpunt A en tot de BC -zijde.

Terwijl het AM -segment de ABC -driehoek verdeelt in twee gelijke driehoeken Amb en AMC, betekent dit dat het geval van zijkant, hoek, zijde en daarom ook de bissector van Bâc zal zijn.

Daarom zal de bissector altijd gelijk zijn aan de mediaan en vice versa.

Het AM -segment vormt hoeken die dezelfde maatregel hebben voor Amb- en AMC -driehoeken; dat wil zeggen, ze zijn aanvullend, zodat de maat van elk zal zijn:

Med. (Amb) + Med. (AMC) = 180^of

2 _* Med. (AMC) = 180^of

Med. (AMC) = 180^of ÷ 2

Med. (AMC) = 90^of

Het kan bekend zijn dat de hoeken gevormd door het AM -segment met betrekking tot de basis van de driehoek recht zijn, wat aangeeft dat dit segment volledig loodrecht op de basis staat.

Daarom vertegenwoordigt het de hoogte en de MediaTrix, wetende dat M het middelpunt is.

Daarom is de lijn am:

• Vertegenwoordigt de hoogte van BC.
• Is middelgrote grootte.
• Het zit in de BC MediaTrix.
• Het is de bissector van de hoekpunthoek â

Relatieve hoogten

De hoogten die ten opzichte van de gelijke zijden zijn, hebben ook dezelfde maatregel.

Kan u van dienst zijn: perfecte cijfers: hoe u ze en voorbeelden kunt identificeren

Omdat de gelijkbenige driehoek twee gelijke zijden heeft, zullen de twee respectieve hoogten ook hetzelfde zijn.

Orocentro, Baricentro, Incentro en Colecentro munten

Aangezien de hoogte, mediaan, bissector en mediaTrix gerelateerd aan de basis tegelijkertijd worden weergegeven door hetzelfde segment, zullen de orthocenter, baricentro, incentre en circumcentro colineale punten zijn, dat wil zeggen dat ze in dezelfde lijn worden gevonden:

Ortocenter, Baricentro, Incentro en Circumcentro zijn ook toevallig

Gelijkbenige driehoeken berekening

Hoe de omtrek te berekenen?

De omtrek van een polygoon wordt berekend door de som van de zijkanten.

Zoals in dit geval de gelijkbenige driehoek heeft twee zijden met dezelfde maatregel, wordt de omtrek ervan berekend met de volgende formule:

P = 2_*(zijde a) + (zijde b).

Hoe de hoogte te berekenen?

De hoogte is de lijn loodrecht op de basis, verdeelt de driehoek in twee delen gelijk door zich uit te breiden naar het tegenovergestelde hoekpunt.

De hoogte vertegenwoordigt de tegenovergestelde cateto (a), de helft van de basis (b/2) naar de aangrenzende cateto en de "a" -zijde vertegenwoordigt de hypotenuse.

Berekening van de hoogte van een gelijkbenige driehoek

Met behulp van de Pythagoras -stelling kan de waarde van de hoogte worden bepaald:

naar² + B² = C²

Waar:

naar² = hoogte (h).

B² = B / 2.

C² = zijde a.

Die waarden vervangen in de stelling van Pythagoras en het wissen van de hoogte die je hebt:

H² + ((B / 2)² = naar²

H² + B² / 4 = naar²

H² = naar² - B² / 4

H = √ (naar² - B² / 4).

Als de hoek gevormd door de congruente partijen bekend is, kan de hoogte worden berekend met de volgende formule:

Hoe het gebied te berekenen?

De driehoeken worden altijd berekend met dezelfde formule, waardoor de basis wordt vermenigvuldigd met hoogte en diveren door 2:

Er zijn gevallen waarin alleen de maatregelen van twee zijden van de driehoek bekend zijn en de hoek die ertussen wordt gevormd. In dit geval is het noodzakelijk om het gebied te bepalen om de trigonometrische redenen toe te passen:

Hoe de driehoeksbasis te berekenen?

Aangezien de gelijkbenige driehoek twee gelijke zijden heeft, is het noodzakelijk om de waarde van zijn basis te bepalen, ten minste de maat voor de hoogte of een van zijn hoeken.

Als u de hoogte kent, wordt Pythagoras -stelling gebruikt:

naar² + B² = c²

Waar:

naar² = hoogte (h).

C² = zijde a.

B² = B / 2, is onbekend.

We wissen B² van de formule en we moeten:

B² = A² - C²

B = √ a² - C²

Aangezien deze waarde overeenkomt met de helft van de basis, moet deze worden vermenigvuldigd met 2 om de volledige maat van de gelijkbenige driehoeksbasis te verkrijgen:

B = 2 _* (√ a² - C²))

In het geval dat alleen de waarde van zijn gelijke zijden en de hoek ertussen bekend is, wordt de trigonometrie toegepast, waardoor een lijn van het hoekpunt naar de basis wordt getrokken die de gelijkbenige driehoek in twee rechthoeken van driehoeken verdeelt.

Op deze manier wordt de helft van de basis berekend met:

De waarde van de hoogte en hoek van het hoekpunt dat tegen de basis is, is ook bekend. In dat geval kan de basis door trigonometrie worden bepaald:

Opdrachten

Eerste oefening

Vind het gelijkbenige ABC -driehoekgebied, wetende dat twee van zijn zijden 10 cm meten en de derde zijde 12 cm meet.

Het kan u van dienst zijn: antiderivatief: formules en vergelijkingen, voorbeelden, oefeningen

Oplossing

Om het driehoeksgebied te vinden, is het noodzakelijk.

De volgende gelijkbenige driehoekgegevens zijn beschikbaar:

• Gelijke zijden (a) = 10 cm.
• Basis (b) = 12 cm.

Waarden worden vervangen in de formule:

Tweede oefening

De lengte van de twee gelijke zijden van een gelijkbenige driehoek meet 42 cm, de vereniging van deze zijden vormt een hoek van 130^of. Bepaal de waarde van de derde kant, het gebied van die driehoek en de omtrek.

Oplossing

In dit geval zijn de maatregelen van de zijkanten en de hoek tussen deze bekend.

Om de waarde van de ontbrekende kant te kennen, dat wil zeggen de basis van die driehoek, een lijn loodrecht daarop wordt getrokken, waardoor de hoek in twee gelijke delen wordt gedeeld, één voor elke gevormde rechthoekige driehoek.

• Gelijke zijden (a) = 42 cm.
• Hoek (ɵ) = 130^of

Nu, door trigonometrie, wordt de waarde van de helft van de basis berekend, wat overeenkomt met de helft van de hypotenuse:

Om het gebied te berekenen, is het noodzakelijk om de hoogte van die driehoek te kennen, die kan worden berekend door trigonometrie of door de stelling van Pythagoras, nu de waarde van de basis al was bepaald.

Door trigonometrie zal zijn:

De omtrek wordt berekend:

P = 2_*(zijde a) + (zijde b).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Derde oefening

Bereken de interne hoeken van de gelijkbenige driehoek, wetende dat de basishoek â = 55 is^of

Oplossing

Om de twee ontbrekende hoeken (ê en ô) te vinden, is het noodzakelijk om twee eigenschappen van de driehoeken te onthouden:

• De som van de interne hoeken van elke driehoek zal altijd = 180 zijn^of:

 + ê + ô = 180 ^of

• In een gelijkbenige driehoek zijn de hoeken van de basis altijd congruent, dat wil zeggen dat ze daarom dezelfde maatregel hebben:

 = ô

Ê = 55^of

Om de waarde van de hoek ê te bepalen, worden de waarden van de andere hoeken in de eerste regel vervangen en ê wordt gewist:

55^of + 55^of + Ô = 180 ^of

110 ^of + Ô = 180 ^of

Ô = 180 ^of - 110 ^of

Ô = 70 ^of.

Referenties

1. Álvarez, E. (2003). Geometrie -elementen: met talloze oefeningen en kompasgeometrie. Universiteit van Medellin.
2. Álvaro Rendón,. R. (2004). Technische tekening: activiteiten notebook.
3. Engel, een. R. (2007). Elementaire algebra. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra en trigonometrie met analytische geometrie. Pearson Education.
5. Baldor, een. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Wiskunde 2.
7. Tuma, j. (1998). Engineering wiskundehandboek. Wolfram Mathworld.