Fysieke trajectkenmerken, typen, voorbeelden en oefeningen

De Traject in de natuurkunde Het is de curve die een mobiel beschrijft bij het passeren van opeenvolgende punten tijdens zijn beweging. Omdat dit talloze varianten kan aannemen, zijn ze ook de trajecten die de mobiel kan volgen.

Om van de ene plaats naar de andere te gaan, kan een persoon verschillende paden en verschillende manieren nemen: te voet door de trottoirs in straten en wegen, of aankomen met auto of motorfiets op een snelweg. Tijdens een rit door het bos kan de wandelaar een ingewikkeld traject volgen dat bochten omvat, klimmen of opduikt en totdat hij meerdere keren door hetzelfde punt passeert.

Figuur 1. Het verbinden van de extreme punten van elke positievector wordt het traject gevolgd door het deeltje verkregen. Bron: Algarabia [Public Domain]

Als de punten waarmee de mobiel reist een rechte lijn volgt, is het traject rechtlijnig. Dit is het eenvoudigste traject, omdat het één -dimensionaal is. Het specificeren van de positie vereist een enkele coördinaat.

Maar de mobiel kan een curvyl -traject volgen, kunnen worden gesloten of open kunnen worden. In deze gevallen vereist de monitoring van de positie twee of drie coördinaten. Dit zijn respectievelijk bewegingen in het vlak en de ruimte. Dit heeft te maken met links: Beperkende materiële omstandigheden van de beweging. Enkele voorbeelden zijn:

- De banen die de planeten rond de zon beschrijven, zijn gesloten ellipsvormige trajecten. Hoewel ze in sommige gevallen een circulaire kunnen benaderen, zoals in het geval van de aarde.

- De bal dat de keeper in een doelschop begint, volgt een parabolisch traject.

- Een vogel in de vlucht beschrijft kromlijnige trajecten in de ruimte, omdat deze naast het verplaatsen van een vlak naar believen kan stijgen of lager niveau.

Fysica -traject kan wiskundig worden uitgedrukt wanneer de mobiele positie op elk moment bekend is. Zijn R De positievector, die op zijn beurt coördineert X, En En Z In het meest algemene geval van een drie -dimensionale beweging. De functie kennen R (T) Het traject zal volledig worden bepaald.

[TOC]

Jongens

In het algemeen kan het traject een nogal gecompliceerde curve zijn, vooral als u wiskundig wilt uitdrukken. Daarom begint het met de eenvoudigste modellen, waarbij mobiele telefoons op een rechte lijn of op een vliegtuig reizen, die de vloer of een andere geschikt kunnen zijn:

Bewegingen in één, twee en drie dimensies

De meest bestudeerde trajecten zijn:

- Rechtlijnig, Wanneer u op een horizontale, verticale of hellende lijn reist. Een bal verticaal naar boven gegooid dit traject of een object dat ook bergafwaarts glijdt door een hellend vlak. Het zijn één -dimensionale bewegingen, een enkele coördinaat is voldoende om de positie volledig te bepalen.

- Parabolisch, waarin de mobiel een paraboolboog beschrijft. Het komt vaak voor, omdat elk object schuin wordt gelanceerd onder de actie van de zwaartekracht (een projectiel) volgt dit traject. Om de mobiele positie op te geven, moet u twee coördinaten geven: X En En.

- Circulaire, treedt op wanneer het bewegende deeltje een omtrek volgt. Het is ook gebruikelijk van aard en dagelijkse praktijk. Veel alledaagse voorwerpen volgen een cirkelvormig traject zoals banden, stukken machines en satellieten in een baan om enkele voorbeelden.

Kan u van dienst zijn: Equipoctische vectoren: definitie, notatie, oefeningen

- Elliptisch, Het object beweegt na een ellips. Zoals in het begin vermeld, is het het traject dat de planeten in een baan rond de zon volgen.

- Hyperbolisch, Astronomische objecten onder werking van een centrale kracht (zwaartekracht) kunnen elliptische (gesloten) of hyperbolische (open) trajecten volgen, deze zijn minder frequent dan de eerste.

- Spiraalvormig, o Spiraalbeweging, zoals die van een vogel die in een thermische stroom stijgt.

- Sway of Pendular, De mobiel beschrijft een boog in retourbewegingen.

Voorbeelden

De in de vorige sectie beschreven trajecten zijn erg handig om snel een idee te krijgen van hoe de bewegingen van een object zijn. In elk geval is het noodzakelijk om te verduidelijken dat het traject van een mobiel afhankelijk is van de locatie van de waarnemer. Dit betekent dat dezelfde gebeurtenis op verschillende manieren kan worden gezien, volgens waar iedereen is.

Bijvoorbeeld een meisjespedaal met constante snelheid en gooit een bal omhoog. Ze merkt op dat de bal een rechtlijnig traject beschrijft. 

Voor een waarnemer die op de weg staat die het ziet, zal de bal echter een parabolische beweging hebben. Voor hem werd de bal aanvankelijk met een heldere snelheid gegooid, het resultaat van de versnelling door de hand van het meisje plus de fietssnelheid.

Figuur 2. Deze animatie toont de verticale lancering van een bal gemaakt door een meisje dat per fiets gaat, zoals ze ziet (rechtlijnig traject) en zoals je een waarnemer ziet (parabolisch traject). (Opgesteld door F. Zapata).

Traject van een mobiel op een expliciete, impliciete en parametrische manier

- Expliciet, direct de curve of geometrische plaats opgeeft die door de vergelijking wordt gegeven en (x)

- Impliciet, waarin een curve wordt uitgedrukt als f (x, y, z) = 0

-Parametrisch, Op deze manier treden de X- en Y Z -coördinaten op, afhankelijk van een parameter die in het algemeen als tijd wordt gekozen T. In dit geval bestaat het traject uit de functies: x (t), en (t) En z (t).

Vervolgens zijn twee zeer bestudeerde trajecten gedetailleerd in de cinematica: het parabolische traject en het circulaire traject.

Lanceren in een vacuüm

Een object (het projectiel) wordt gegooid dat een hoek A vormt met de horizontale en met een beginsnelheid v_of Zoals de foto laat zien. Er wordt geen rekening gehouden met luchtweerstand. De beweging kan worden behandeld als twee onafhankelijke en gelijktijdige bewegingen: één horizontaal met constante en een andere verticale snelheid onder de werking van de zwaartekracht.

x (t) = x_of +v_os.T

en (t) = y_of +v_Oy.T -½g.T²

Deze vergelijkingen zijn parametrische vergelijkingen van de projectiellancering. Zoals hierboven uitgelegd, hebben ze een gemeenschappelijke parameter T, wat is tijd.

In de rechter driehoek van de figuur is het volgende te zien:

v_os = V_of Cos θ_Je

v_Oy = V_of Sin θ_Je

figuur 3. Parabolisch traject gevolgd door een projectiel, dat de componenten van de snelheidsvector toont. H is het maximum en R hoogte is het maximale horizontale bereik. Bron: Ayush12Gupta [CC BY-SA 4.0 (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/4.0)]

Door deze vergelijkingen te vervangen die de starthoek bevatten in de parametrische vergelijkingen is het:

Kan u van dienst zijn: diffractie van geluid: wat is voorbeelden, toepassingen

x (t) = x_of +v_of Cos θ_Je.T

en (t) = y_of +v_of. Sin θ_Je.T -½g.T²

Parabolische trajectvergelijking

De expliciete vergelijking van het traject is het opruimen van t van de vergelijking voor x (t) en vervangen in de y (t) vergelijking (t). Om algebraïsch werk te vergemakkelijken, kan worden aangenomen dat de oorsprong (0.0) op het lanceerpunt is en op deze manier x_of = Y_of = 0.

Na het vereenvoudigen van de parameter "T"Het is geëlimineerd en de vergelijking die overblijft is en afhankelijk van X:

Dit is de trajectvergelijking in Expliciete vorm.

Cirkelvormig traject

Een cirkelvormig traject wordt gegeven door:

(X - x_of))² + (en en_of))² = R²

Figuur 4. Een deeltje beweegt in een cirkelvormig traject op het vlak. Bron: gewijzigd door F. Wikimedia Commons -schoen.

Hier x_of en en_of Ze vertegenwoordigen het centrum van de omtrek die door de mobiel wordt beschreven en R is de straal van hetzelfde. P (x, y) is een punt van het traject. Uit de gearceerde rechthoekige driehoek (figuur 3) is gewaarschuwd dat:

x = r. Cos θ

y = r. Sin θ

De parameter is in dit geval de sweephoek θ, Angular verplaatsing genoemd. In het specifieke geval dat de hoeksnelheid ω (hoek geveegd per tijdseenheid) constant is, kan worden bevestigd dat:

θ = θ_of + ΩT

Waar θ_of Het is de initiële hoekpositie van het deeltje, die indien 0 wordt genomen, wordt gereduceerd tot:

θ = ωT

In dit geval keert de tijd terug naar parametrische vergelijkingen zoals:

x = r.Cos ωT

y = r. Sin ωT

De eenheidsvectoren Je En J Ze zijn erg handig om de positiefunctie van een object te schrijven R (T). Ze geven de aanwijzingen op de as aan X En op de as En respectievelijk. In zijn termen is de positie van een deeltje dat een uniforme cirkelvormige beweging beschrijft:

R (t) = r.Cos ωT Je + R. Sin ωT J

Opgeloste oefeningen

Oefening opgelost 1

Een kanon kan een kogel schieten met een snelheid van 200 m/s en een hoek van 40º ten opzichte van de horizontale. Als de lancering wordt uitgevoerd op vlak terrein en de weerstand van de lucht wordt veracht, zoek dan:

a) de trajectvergelijking en (x) ..

b) De parametrische vergelijkingen x (t) En en (t).

c) het horizontale bereik en de tijd dat het projectiel in de lucht duurt.

d) de hoogte waarop het projectiel zich bevindt wanneer x = 12.000 m

Oplossing voor)

a) Om het traject te vinden, worden de waarden in de vergelijking y (x) van de voorgaande sectie vervangen:

en (x) = tg 40º. X - 9.8/(2 '400². zomaar²40º) X² ⇒  en (x) = 0.8391 x - 0.0000522X²

Oplossing B)

b) Het lanceringspunt wordt gekozen bij de oorsprong van het coördinatensysteem (0,0):

x (t) = x_of +v_os.T = 400'Cos 40º.T = 306.42. T.

en (t) = y_of +v_Oy.T -½g.T²= 400 'Sen 40º.T - 0.5 '9.8'T²= 257.12 T - 4.9.T²

Oplossing c)

c) Om de tijd te vinden dat het projectiel in de lucht duurt, is het klaar en (t) = 0, De lancering zijn wordt gemaakt op een vlak terrein:

Kan u van dienst zijn: wat is relatieve en absolute ruwheid?

0 = 257.12.T - 4.9.T²

T = 257.12/4.9 s = 52.473 s

De horizontale maximale reikwijdte vervangt deze waarde in x (t):

X_Maximaal = 306.42'52.47 m = 16077.7 m

Een andere manier om x te vinden_Maximaal Het doet direct y = 0 in de trajectvergelijking:

0 = 0.8391 x_Maximaal - 0.0000522 X²_Maximaal

x = 0.8391 /0.0000522 m = 16078.5m

Er is een klein verschil vanwege het afronden van decimalen.

D) Oplossing

d) Om de hoogte te weten wanneer x = 12000 m deze waarde rechtstreeks in de trajectvergelijking wordt vervangen:

en (12000) = 0.8391'12000 - 0.0000522'12000² M = 2552.4 m

Oefening opgelost 2

De positiefunctie van een object wordt gegeven door:

R (t) = 3T Je + (4 -5T²)) J M

Vinden:

a) De vergelijking voor het traject. Welke curve is?

b) De beginpositie en de positie wanneer t = 2 s.

c) de verplaatsing gemaakt na t = 2 s.

Oplossing

a) De positiefunctie is gegeven in termen van de eenheidsvectoren Je En J, die respectievelijk het adres op de assen bepalen X En En, daarom:

x (t) = 3t

en (t) = 4 -5T²

De trajectvergelijking en (x) Hij is opruimt T van x (t) en vervangen en (t):

T = x/3

en (x) = 4 -5. (x/3)² = 4 - 5x²/9 (gelijkenis)

b) De beginpositie is: R (2) = 4 J M ; De positie in T = 2 s is R (2) = 6 Je -16 J M

c) verplaatsing DR Het is de aftrekking van de twee positievectoren:

ΔR = R (2) - R (2) = 6 Je -16 J- 4 J = 6 Je - twintig J M

Oefening opgelost 3

De aarde heeft een straal r = 6300 km en het is bekend dat de periode van rotatie van zijn beweging rond zijn as één dag is. Vinden:

a) De vergelijking van het traject van een punt op het aardoppervlak en zijn positiefunctie.

b) De snelheid en versnelling van het punt.

Oplossing voor)

a) De positiefunctie voor elk punt in cirkelvormige baan is:

R (t) = r.Cos ωT Je + R.Sin ωT J

Je hebt de straal van de aarde R, maar niet de hoeksnelheid ω, maar deze kan worden berekend uit de periode, wetende dat het voor de cirkelvormige beweging geldig is om dat te zeggen:

Ω = 2π × Frequentie = 2π / periode

De bewegingsperiode is: 1 dag = 24 uur = 1440 minuten = 86400 seconden, daarom:

Ω =  2π / 86400 s = 0.000023148 ​​S^-1

Vervangen in de positiefunctie:

R (t) = r.Cos ωT Je + R. Sin ωT J = 6300 (COS 0.000023148T Je + Sin 0.000023148T J) Km

Het pad in een parametrische vorm is:

x (t) = 6300. Cos 0.000023148T

en (t) = 6300. Sin 0.000023148T

Oplossing B)

b) Voor de cirkelvormige beweging, de grootte van de lineaire snelheid v van een punt is gerelateerd aan hoeksnelheid W door:

v = ΩR = 0.000023148 ​​S^-1'6300 km = 0.1458 km/s = 145.8 m/s

Zelfs een constante beweging van 145.8 m/s, Er is een versnelling die wijst op het midden van de cirkelvormige baan, verantwoordelijk voor het in rotatie houden van het punt. Het is centripetale versnelling naar_C, gegeven door:

naar_C = V² / R = (145.8 m/s)² / 6300 × 10³ M = 0.00337 m/s².

Referenties

1. Giancoli, D. Natuurkunde. (2006). Principes met toepassingen. 6^e Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, l. 2007. Natuurkunde: een blik op de wereld. 6^ta Afgekort editie. Cengage leren. 23 - 27.
3. Resnick, r. (1999). Fysiek. Deel 1. Derde editie in het Spaans. Mexico. Continental Editorial Company s.NAAR. van C.V. 21-22.
4. Rex, a. (2011). Fundamentals of Physics. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14^e. ED. Volume1. 50 - 53.
6. Serway, r., Jewett, J. (2008). Natuurkunde voor wetenschap en engineering. Deel 1. 7^ma. Editie. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, r., Vulle, c. (2011). Fundamentals of Physics. 9^NA ED. Cengage leren. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Natuurkunde 10. Pearson Education. 133 - 149.