Variignon stelling

Figuur 1.- Varignons stelling bevestigt dat de som van het moment van krachten rond een bepaald punt gelijk is aan de tijd van het resultaat ten opzichte van dat punt. Bron: Wikimedia Commons/F. Zapata.

Wat is de stelling van Varignon?

Varignons stelling, in mechanica, stelt dat de som van de momenten die worden geproduceerd door een systeem van gelijktijdige krachten ten opzichte van een bepaald punt, gelijk is aan het moment van de resulterende kracht ten opzichte van hetzelfde punt.

Om deze reden staat deze stelling ook bekend als Het begin van de momenten.

Terwijl de eerste die het vermeldde, was de Nederlander Simon Stevin (1548-1620), de maker van de Hydrostatische paradox, de Franse wiskundige Pierre Varignon (1654-1722) was degene die hem vervolgens zijn definitieve vorm gaf.

Een voorbeeld van hoe de stelling van Varignon in mechanica werkt, is als volgt: Stel dat een eenvoudig systeem van twee coplanares en gelijktijdige krachten op een punt werkt F₁ En F₂, (Aangeduid met vetgedrukt vanwege zijn vectorkarakter). Deze krachten geven aanleiding tot een net of resulterende kracht, geroepen F_R.

Elke kracht oefent een koppel of moment uit met betrekking tot een punt of, dat wordt berekend door het vectorproduct tussen de positievector R_Op en de Strengh F, waar R_Op Het is gericht van of naar het punt van gelijktijdig p:

M_O1 = R_Op × F₁

M_O2 = R_Op × F₂

Gezien F_R = F₁ + F₂, Dus:

M_OF = R_Op × F₁ + R_Op × F₂ = M_O1 + M_O2

Maar hoe R_Op Het is dan een gemeenschappelijke factor die distributieve eigenschap toepast op het kruisproduct:

M_OF = R_Op × (F₁ + F₂) = R_Op × F_R                

Daarom is de som van de momenten of koppels van elke kracht ten opzichte van het punt of is het equivalent aan de tijd van de resulterende kracht ten opzichte van hetzelfde punt.

Verklaring en demonstratie

Een systeem zijn van n gelijktijdige krachten, gevormd door F₁, F₂, F₃.. F_N, wiens werklijnen zijn bedoeld op punt P (zie figuur 1), het moment van deze krachtensysteem M_OF, Met betrekking tot een punt of wordt gegeven door:

Kan u van dienst zijn: onstabiele balans: concept en voorbeelden

M_OF = R_Op × F₁ + R_Op × F₂ + R_Op × F₃ +.. R_Op × F_N = R_Op × (F₁ + F₂ + F₃ +.. F_N))

Demonstratie

Om de stelling aan te tonen, wordt de distributieve eigenschap van het vectorproduct tussen vectoren gemaakt.

Wees de krachten F₁, F₂, F₃.. F_N toegepast op punten op₁, NAAR₂, NAAR₃… NAAR_N en gelijktijdig op punt P. Het resulterende moment van dit systeem, ten opzichte van een punt of, genoemd M_OF, Het is de som van de momenten van elke kracht, ten opzichte van dat punt:

M_OF = ∑ R_Oai × F_Je

Waar de som gaat van i = 1 tot i = n, omdat er n krachten zijn. Aangezien dit gelijktijdige krachten zijn en omdat het vectorproduct tussen parallelle vectoren nietig is, gebeurt het dat:

R_Pai × F_Je = 0

Met de nul vector aangeduid als 0.

Het moment van een van de krachten met betrekking tot O, bijvoorbeeld die van geweld F_Je toegepast in een_Je, Het is zo geschreven:

M_{ik vernam} = R_Oai × F_Je

De positievector R_Oai  Het kan worden uitgedrukt als de som van twee vectorenpositie:

R_Oai = R_Op + R_Pai

Op deze manier, het moment met betrekking tot of kracht F_Je is:

M_{ik vernam} = (R_Op + R_Pai) × F_Je = (R_Op × F_Je) + (R_Pai × F_Je))

Maar de laatste term is nietig, zoals hierboven uitgelegd, omdat R_Pai staat op de lijn van werking van F_Je, daarom:

M_{ik vernam} = R_Op × F_Je

Wetende dat het moment van het systeem ten opzichte van Point of is de som van alle individuele momenten van elke kracht ten opzichte van dat punt, dan:

M_OF = ∑ M_{ik vernam} = ∑ R_Op × F_Je

Als R_Op Het is constant komt uit de som:

M_OF = R_Op × (∑ F_Je))

Maar ∑ F_Je Het is gewoon het resulterende net of de kracht F_R, Daarom wordt onmiddellijk geconcludeerd dat:

Kan u van dienst zijn: Leyden Bottle: onderdelen, werking, experimenten

M_OF = R_Op × F_R

Voorbeeld

Varignons stelling vergemakkelijkt de berekening van het moment van geweld F Wat betreft het punt of structuur dat in de figuur wordt getoond, als de kracht wordt afgebroken in zijn rechthoekige componenten en het moment van elk van hen wordt berekend:

Figuur 2.- Varignons stelling is van toepassing om het moment van kracht te berekenen rond of. Bron: f. Zapata.

Varignon stellingstoepassingen

Wanneer de kracht die voortvloeit uit een systeem bekend is, kan de stelling van Varignon worden toegepast om de som van elk van de momenten te vervangen die zijn geproduceerd door de krachten die deze op het moment van het resultaat vormen.

Als het systeem bestaat uit krachten op hetzelfde vlak en het punt waarmee u het moment wilt berekenen, behoort tot dat vlak, is het resulterende moment loodrecht.

Als bijvoorbeeld alle krachten in het XY -vlak zijn, is het moment gericht op de Z -as en blijft alleen nog om zijn grootte en de betekenis ervan te vinden, zoals het geval is van het hierboven beschreven voorbeeld.

In dat geval maakt de stelling van Varignon het mogelijk om het moment te berekenen dat voortvloeit uit het systeem via de sommatie. Het is erg handig in het geval van een systeem van drie dimensionale krachten, waarvoor de richting van het resulterende moment niet bekend is.

Om deze oefeningen op te lossen, is het handig.

Oefening opgelost

Bereken volgens de stelling van Varignon het moment van kracht F rond het punt of getoond in de figuur als de grootte van F 725 n is.

figuur 3.- Figuur voor de oefening opgelost. Bron: f. Zapata.

Oplossing

Om de stelling van Variignon toe te passen, ontbindt Force F In twee componenten, wiens respectieve momenten rondom of worden berekend en toegevoegd om het resulterende moment te verkrijgen.

Kan u van dienst zijn: rigide lichaam

F_X = 725 n ∙ cos 37 º = 579.0 n

F_En = - 725 n n ∙ Sen 37 º = −436.3 n

Evenzo is de positievector R Gericht van of naar A heeft de componenten:

R_X = 2.5m

R_En = 5.0 m

Figuur 4.- Kracht- en positiecomponenten. Bron: f. Zapata.

Het moment van elke component van de kracht ten opzichte van of vermenigvuldigt de kracht en loodrechte afstand.

Beide krachten hebben de neiging om de structuur in dezelfde richting te roteren, wat in dit geval de score -zin is, die willekeurig een positief teken is toegewezen:

M_Os = F_X∙ r_En ∙ Sin 90º = 579.0 n ∙ 5.0 m = 2895 n ∙ m

M_Oy = F_En∙ r_X ∙ sin (−90º) = −436.3 n ∙ 2.5 m ∙ (−1) = 1090.8 n ∙ m

Het resulterende moment met betrekking tot of is:

M_OF = M_Os + M_Oy = 3985.8 n ∙ m loodrecht op het vlak en in een koppel.

Referenties

1. Bedford, 2000. NAAR. Mechanica voor engineering: statisch. Addison Wesley. 
2. Bier, f. 2010. Statisch. McGraw Hill. 9NA. Editie.
3. Hibbeler, R. 1992. Mechanica voor ingenieurs. 6e. Editie. CECSA.
4. HK Engineering. Variignon stelling. Hersteld van: YouTube.com.
5. Wikipedia. Varignons Stelling (Mechanics). Opgehaald uit: in.Wikipedia.borg.