Euclid stelling

Wat is de stelling van Euclid?

Hij Euclid stelling Het toont de eigenschappen van een rechter driehoek door een lijn te tekenen die deze verdeelt in twee nieuwe rechthoeken die vergelijkbaar zijn met elkaar en op hun beurt vergelijkbaar zijn met de oorspronkelijke driehoek; Er is dus een evenredigheidsrelatie.

Euclides was een van de grootste wiskundigen en geometers van de ouderdom die verschillende demonstraties van belangrijke stellingen maakte. Een van de belangrijkste is degene die zijn naam draagt, die een brede toepassing heeft gehad.

Dit is zo geweest omdat, door die stelling, de geometrische relaties die in de rechthoek -driehoek bestaan, verklaart, waarbij dit verband houdt met hun projecties in de hypotenuse.

Formules en demonstratie

Euclid -stelling stelt voor dat in elke rechtse driehoek, wanneer een lijn wordt getrokken - die vertegenwoordigt op de hoogte die overeenkomt met het hoekpunt van de juiste hoek ten opzichte van de hypotenuse - twee rechthoeken worden gevormd uit de oorspronkelijke driehoeken van het origineel.

Deze driehoeken zullen vergelijkbaar zijn met elkaar en zullen ook vergelijkbaar zijn met de oorspronkelijke driehoek, wat betekent dat hun vergelijkbare zijden evenredig zijn met elkaar:

De hoeken van de drie driehoeken zijn congruent; Dat wil zeggen, wanneer gedraaid op 180 graden op zijn hoekpunt, valt een hoek samen op de andere. Dit houdt in dat iedereen gelijk zal zijn.

Op deze manier kunt u ook de gelijkenis verifiëren die bestaat tussen de drie driehoeken, voor de gelijkheid van zijn hoeken. Sinds de gelijkenis van driehoeken stelt Euclid de verhoudingen van deze uit twee stellingen vast:

• Hoogte -stelling.
• De stelling van de cateto's.

Deze stelling heeft een brede toepassing. In de oudheid werd het gebruikt om hoogten of afstanden te berekenen, wat een grote opmars voor trigonometrie vertegenwoordigt.

Kan u van dienst zijn: berekening van benaderingen met behulp van differentiëlen

Het wordt momenteel toegepast op verschillende gebieden die zijn gebaseerd op wiskunde, zoals engineering, fysica, chemie en astronomie, naast vele andere gebieden.

Hoogte -stelling

Deze stelling stelt vast dat in elke rechthoekige driehoek de hoogte uit de rechte hoek met betrekking tot de hypotenuse is getrokken, het geometrische proportionele gemiddelde (het kwadraat van de hoogte) is tussen de projecties van de coteto's die op de hypotenuse bepaalt.

Dat wil zeggen, het kwadraat van de hoogte zal gelijk zijn aan de vermenigvuldiging van de geprojecteerde benen die de hypotenusa vormen:

H_C² = m _* N

Demonstratie

Gegeven een ABC -driehoek, die rechthoek is in hoekpunt C, worden twee vergelijkbare rechthoeken, ADC en BCD gegenereerd; Daarom zijn hun overeenkomstige zijden evenredig:

Op zo'n manier die hoogte H_C Het komt overeen met het CD -segment, komt overeen met de hypotenuse ab = c, dus je moet:

Op zijn beurt komt dit overeen met:

De hypotenusa opruimen (h_C), Om de twee leden van gelijkheid te vermenigvuldigen, moet je:

H_{C *} H_{C =} M _* N

H_C² = m _* N

De waarde van de hypotenuse wordt dus gegeven door:

De stelling van de cateto's

Deze stelling stelt vast dat, in elke rechtse driehoek, de maat van elke cateto het geometrische proportionele gemiddelde (het vierkant van elke cateto) zal zijn tussen de maat van de hypotenuse (compleet) en de projectie van elk erop:

B² = c _* M

naar² = c_* N

Demonstratie

Gezien een ABC -driehoek, die rechthoek is in hoekpunt C, zodat de hypotenusa C is, worden de hoogte (h) van de categorieën A en B bepaald, die respectievelijk de segmenten m en n zijn, en die zijn aan De hypotenuse.

Aldus genereert de hoogte op de rechthoekige driehoek ABC twee vergelijkbare rechthoeken, ADC en BCD, zodat de overeenkomstige zijden evenredig zijn, zoals deze:

Kan u van dienst zijn: Hyperbolische paraboloïde: definitie, eigenschappen en voorbeelden

Db = n, wat de projectie is van de CB -cateto op de hypotenuse.

AD = M, wat de projectie is van de AC -cateto op de hypotenuse.

Vervolgens wordt de hypotenusa C bepaald door de som van de benen van zijn projecties:

C = M + N

Vanwege de gelijkenis van ADC- en BCD -driehoeken moet je:

Het bovenstaande is hetzelfde als:

Als je de "A" -cateto wist om de twee leden van gelijkheid te vermenigvuldigen, moet je:

naar _* A = C _* N

naar² = c _* N

De waarde van de cateto "a" wordt dus gegeven door:

Evenzo moet je vanwege de gelijkenis van ACB- en ADC -driehoeken:

Het bovenstaande is gelijk aan:

Als je de "B" -cateto wist om de twee leden van gelijkheid te vermenigvuldigen, moet je:

B _* B = C _* M

B² = c _* M

De waarde van de cateto "B" wordt dus gegeven door:

Relatie tussen Euclid -stellingen

Stelling met verwijzing naar de hoogte en de categorieën zijn gerelateerd aan elkaar omdat de maat van beide wordt gemaakt met betrekking tot de hypotenusa van de rechthoekige driehoek.

Door de relatie van Euclid -stellingen kan ook de hoogte van hoogte worden gevonden; Dat is mogelijk door de waarden van M en N van de categorie -stelling te wissen en worden vervangen in de Hoogte -stelling. Op deze manier wordt vervuld dat de hoogte gelijk is aan de vermenigvuldiging van de benen, gedeeld door de hypotenuse:

B² = c _* M

M = B² ÷ c

naar² = c _* N

n = a² ÷ c

In de hoogte van de hoogte wordt M en N vervangen:

H_C² = m _* N

H_C² = (B² ÷ c) _* (naar² ÷ c)

H_C = (B² _* naar²) ÷ c

Opgeloste oefeningen

voorbeeld 1

Gegeven de ABC -driehoek, rechthoek in A, bepaal de maat van AC en AD, als AB = 30 cm en Bd = 18 cm

Oplossing

In dit geval zijn er de maatregelen van een van de geprojecteerde benen (BD) en een van de Tarks van de oorspronkelijke driehoek (AB). Op die manier kunt u de categorie -stelling toepassen om de waarde van de BC -cateto te vinden.

Kan u van dienst zijn: correspondentieregel van een functie

Aab² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

De waarde van de CD -cateto kan worden gevonden wetende dat BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nu is het mogelijk om de waarde van de AC -cateto te bepalen en opnieuw de categorie -stelling toe te passen:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* vijftig

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Om de hoogtewaarde (AD) te bepalen, is de hoogte -stelling van toepassing, omdat de waarden van de geprojecteerde categorieën CD en BD bekend zijn:

ADVERTENTIE² = 32 _* 18

ADVERTENTIE² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Voorbeeld 2

Bepaal de waarde van de hoogte (H) van een MNL -driehoek, rechthoek in N, om de maatregelen van de segmenten te kennen:

NL = 10 cm

Mn = 5 cm

PM = 2 cm

Oplossing

U hebt de maat voor een van de geprojecteerde benen op de hypotenuse (PM), evenals de metingen van de oorspronkelijke driehoekcategorieën. Op die manier kunt u de categorie -stelling toepassen om de waarde van de andere geprojecteerde cateto (LN) te vinden:

NL² = PM _* Lm

(10)² = 5 _* Lm

100 = 5 _* Lm

PL = 100 ÷ 5 = 20

Aangezien de waarde van de categorieën en de hypotenuse al bekend is, kunnen door de relatie tussen de hoogteverslagen en de categorieën worden bepaald de waarde van de hoogte:

NL = 10

Mn = 5

LM = 20

H = (B² _* naar²) ÷ c.

H = (10² _* 5²))  ÷ (twintig)

H = (100 _* 25) ÷ (twintig)

H = 2500 ÷ twintig

H = 125 cm.