Chebyshov -stelling dat wil zeggen, toepassingen en voorbeelden

Hij Chebyshov Stelling (of ongelijkheid van Chebyshov) is een van de belangrijkste klassieke resultaten van de waarschijnlijkheidstheorie. Het maakt het mogelijk om de kans te schatten van een gebeurtenis beschreven in termen van een willekeurige variabele X, door ons een niveau te bieden dat niet afhangt van de verdeling van de willekeurige variabele maar van de variantie van x.

De stelling wordt genoemd ter ere van de Russische wiskundige.

Deze ongelijkheid, of die vanwege hun kenmerken worden de ongelijkheid van Chebyshov genoemd, wordt voornamelijk gebruikt om kansen te benaderen door de niveaus te berekenen.

Wat is de stelling van Chebyshov?

In de studie van de waarschijnlijkheidstheorie gebeurt het dat als de distributiefunctie van een willekeurige variabele x bekend is, de verwachte waarde kan worden berekend - of wiskundige hoop en (x) - en zijn variantie var (x), zolang deze Er bestaan ​​bedragen. Wederzijdse is echter niet noodzakelijkerwijs waar.

Dat wil zeggen, het kennen van E (x) en var (x) kan niet noodzakelijkerwijs de distributiefunctie van X verkrijgen, dus hoeveelheden zoals p (| x |> k) zijn voor sommige k> 0 erg moeilijk te verkrijgen. Maar dankzij de ongelijkheid van Chebyshov is het mogelijk om de kans op de willekeurige variabele te schatten.

De stelling van Chebyshov vertelt ons dat als we een willekeurige variabele x hebben op een voorbeeldruimte met een waarschijnlijkheidsfunctie P, en als k> 0, dan:

Kan u van dienst zijn: Acutangle Triangle

Toepassingen en voorbeelden

Onder de vele toepassingen die de stelling van Chebyshov bezit, kan het volgende worden vermeld:

1. Waarschijnlijkheidslimiet

Dit is de meest voorkomende toepassing en wordt gebruikt om een ​​hoger niveau te geven voor P (| x-e (x) | ≥k) waarbij k> 0, alleen met de variantie en hoop op de willekeurige variabele x, zonder de waarschijnlijkheidsfunctie te kennen.

voorbeeld 1

Stel dat het aantal producten dat een week in een bedrijf is gemaakt, een willekeurige variabele is met een gemiddelde van 50.

Als bekend is dat de variantie van een week van productie gelijk is aan 25, wat kunnen we zeggen over de kans dat deze week de productie meer dan 10 tot gemiddeld verschilt?

Oplossing

Het toepassen van de ongelijkheid van Chebyshov moet we:

Hieruit kunnen we verkrijgen dat de kans dat het aantal items in de productieweek meer dan 10 tot het gemiddelde overschrijdt, de meeste 1/4 is.

2. Demonstratie van limietstelling

De ongelijkheid van Chebyshov speelt een belangrijke rol bij het aantonen van de belangrijkste stellingen van limieten. Als voorbeeld hebben we het volgende:

Zwakke wet van grote aantallen

Deze wet stelt vast dat een opvolging x1, x2, ..., xn, ... van onafhankelijke willekeurige variabelen met dezelfde gemiddelde verdeling e (xi) = μ en variantie var (x) = σ², en een bekende gemiddelde steekproef van:

Dus voor k> 0 moet je:

Of gelijkwaardig:

Demonstratie

Eerst merken we het volgende op:

Als x1, x2, ..., xn zijn onafhankelijk, hieruit volgt dat:

Daarom is het mogelijk om het volgende te bevestigen:

Vervolgens moet je de stelling van Chebyshov gebruiken:

Het kan u van dienst zijn: Trigonometrische functies: Basic, in het Cartesiaanse vlak, voorbeelden, oefening

Ten slotte is de stelling het gevolg van het feit dat de juiste limiet nul is als N de neiging heeft om oneindig te zijn.

Opgemerkt moet worden dat deze test alleen is uitgevoerd voor het geval waarin de variantie van XI bestaat; dat wil zeggen, het loopt niet uiteen. We zien dus dat de stelling altijd waar is als E (xi) bestaat.

Chebyshov's limietstelling

Als x1, x2, ..., xn, ... het is een opeenvolging van onafhankelijke willekeurige variabelen zodanig dat er wat C0 is:

Demonstratie

Omdat de opeenvolging van varianties uniform beperkt is, hebben we die var (Sn) ≤ c/n, voor alle natuurlijke n. Maar we weten dat:

N tot oneindig maken, het is de volgende:

Aangezien een kans de waarde van 1 niet kan overschrijden, wordt het gewenste resultaat verkregen. Als gevolg van deze stelling zouden we het specifieke geval van Bernoulli kunnen vermelden.

Als een experiment onafhankelijk wordt herhaald met twee mogelijke resultaten (falen en succes), waarbij P de kans op succes is in elk experiment en X de willekeurige variabele is die het aantal verkregen successen vertegenwoordigt, dan moet u voor elke k> 0:

3. Steekproefgrootte

In termen van de variantie stelt de ongelijkheid van Chebyshov ons in staat om een ​​steekproefgrootte te vinden die voldoende is om ervoor te zorgen dat de waarschijnlijkheid dat | sn-u |> = k optreedt, is zo klein als gewenst, waardoor u een benadering van de benadering kunt hebben gemiddeld.

Precies, of het nu x1, x2, ... xn een monster van onafhankelijke willekeurige variabelen van n grootte is en veronderstel dat e (xi) = μ en zijn variantie σ². Dus vanwege de ongelijkheid van Chebyshov moet je:

Kan u van dienst zijn: Euler -nummer of nummer E: hoeveel OK, eigenschappen, applicaties

Wees nu Δ> 0 opgelost. We moeten:

Voorbeeld

Stel dat x1, x2, ... xn een steekproef zijn van onafhankelijke willekeurige variabelen met Bernoulli -verdeling, zodat ze waarde 1 nemen met waarschijnlijkheid p = 0.5.

Wat zou de steekproefomvang moeten zijn om ervoor te zorgen dat de waarschijnlijkheid dat het verschil tussen de rekenkundige gemiddelde SN en de verwachte waarde ervan (die meer dan 0,1 overschrijdt), kleiner is dan of gelijk is aan 0.,01?

Oplossing

We moeten (x) = μ = p = 0,5 en welke var (x) = σ²= P (1-P) = 0,25. Voor de ongelijkheid van Chebyshov moeten we voor elke k> 0:

Nu, met k = 0,1 en Δ = 0,01, moet u:

Op deze manier wordt geconcludeerd dat een steekproefgrootte van ten minste 2500 nodig is om ervoor te zorgen dat de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis | Sn - 0,5 |> = 0,1 minder is dan 0,01.

Chebyshov -type ongelijkheden

Er zijn verschillende ongelijkheden die verband houden met de ongelijkheid van Chebyshov. Een van de bekendste is de ongelijkheid van Markov:

In deze uitdrukking x is het een niet -negatieve willekeurige variabele met k, r> 0.

De ongelijkheid van Markov kan verschillende vormen aannemen. Bijvoorbeeld en een niet -negatieve willekeurige variabele (dus p (y> = 0) = 1) en veronderstel dat e (y) = μ bestaat. Stel ook dat (e (y))^R= μ_R Er is voor een geheel getal r> 1. Dus:

Een andere ongelijkheid is die van Gauss, die ons vertelt dat het krijgen van een unimodale X willekeurige variabele met mode op nul, dan voor k> 0,