Theorie van setskenmerken, elementen, voorbeelden, oefeningen

De Set Theory Het is een tak van de logische-methematica die verantwoordelijk is voor de studie van relaties tussen entiteiten die sets worden genoemd. De sets worden gekenmerkt door collecties van objecten van dezelfde aard te zijn. Deze objecten zijn de elementen van de set en kunnen zijn: getallen, letters, geometrische figuren, woorden die objecten vertegenwoordigen, de objecten zelf en anderen.

Het was Georg Cantor, tegen het einde van de 19e eeuw, die de reeks sets voorstelde. Terwijl andere opmerkelijke wiskundigen in de twintigste eeuw hun formalisering maakten: onder andere Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel.

Figuur 1. Venn -diagram van sets a, b en hun snijpunt a⋂ b. (Eigen uitwerking).

Venn -diagrammen zijn de grafische manier om een ​​set weer te geven en bestaat uit een gesloten platte figuur waarbinnen de elementen van de set zijn.

Figuur 1 toont bijvoorbeeld twee sets A en B, die elementen gemeen hebben, de elementen die gemeenschappelijk zijn voor A en B. Deze vormen een nieuwe set genaamd de intersectieset van A en B, die symbolisch als volgt is geschreven:

A ∩ B

[TOC]

Kenmerken

De set is een primitief concept zoals in de geometrie het concept van punt, recht of plat. Er is geen betere manier om het concept uit te drukken dan op voorbeelden te wijzen: 

De set en gevormd door de kleuren van de vlag van Spanje. Deze manier om de set uit te drukken wordt aangeroepen door begrip. Dezelfde set en geschreven door verlenging is:

E = rood, geel

In dit geval zijn rood en geel elementen van de set en. Opgemerkt moet worden dat de elementen tussen toetsen worden vermeld en niet worden herhaald. In het geval van de Spaanse vlag zijn er drie strepen kleuren (rood, geel, rood) waarvan er twee worden herhaald, maar de elementen worden niet herhaald wanneer de set wordt uitgedrukt.

Neem aan dat set V is gevormd door de eerste drie vocale letters:

V = a, e, i

De kracht van V, die wordt aangegeven door P (V) is de set van alle sets die kunnen worden gevormd met de elementen van V:

P (v) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i

Soorten sets

Eindige set

Het is een set waarin zijn elementen numeerbaar zijn. Voorbeelden van eindige sets zijn de letters van het Spaanse alfabet, de klinkers van het Spaans, de planeten van het zonnestelsel onder andere. Het aantal elementen van een eindige set wordt de kardinaliteit genoemd.

Oneindige set

Oneindig ensemble, iedereen die het aantal elementen van zijn elementen niet kan worden toegewezen, omdat ongeacht hoe groot het aantal elementen altijd mogelijk is om meer elementen te vinden.

Een Infinite Set -voorbeeld is de set natuurlijke getallen N, die uitgebreid als volgt wordt uitgedrukt:

Kan u van dienst zijn: Coplanares -punten: vergelijking, voorbeeld en opgeloste oefeningen

N = 1, 2, 3, 4, 5, .. . is duidelijk een oneindige set, omdat het niet uitmaakt hoe groot een natuurlijk aantal kan zijn, kan de volgende major altijd in een eindeloos proces vinden. Het is duidelijk dat de kardinaliteit van een oneindige set ∞ is.

Lege set

Het is de set die geen element bevat. De lege set V wordt aangeduid met Ø of door middel van een paar sleutels zonder elementen binnen:

V = = Ø.

De lege set is uniek, daarom moet het onjuist zijn om te zeggen "een lege set", de juiste vorm is om te zeggen "de lege set".

Onder de eigenschappen van de lege set is het dat het subset is van elke set:

Ø ⊂ a

Bovendien, als een set subset is van de lege set, is deze set noodzakelijkerwijs de leegte:

A ⊂ Ø ⇔ ⇔ A = Ø

Unitaire set

Het wordt de unitaire set genoemd die elke set die een enkel element bevat. De reeks natuurlijke satellieten van de aarde is bijvoorbeeld een eenheidset, waarvan de enige element de maan is. Set B van gehele getallen kleiner dan 2 en groter dan nul heeft alleen element 1, daarom is het een eenheidset.

Binaire set

Een set is binair als het slechts twee elementen heeft. Set bijvoorbeeld X, zodat x een reëel aantal x^2 = 2 = 2 is. Deze ingestelde door uitbreiding is als volgt geschreven:

X = -√2, +√2

universele set

De universele set is een set die andere sets van hetzelfde type of aard bevat. De universele set natuurlijke nummers is bijvoorbeeld de reeks reële getallen. Maar reële getallen zijn ook universeel van hele getallen en rationele cijfers.

Belangrijkste onderdelen

- Relaties tussen sets

In de sets kunt u verschillende soorten relatie tussen hen en hun elementen vaststellen. Als twee sets A en B exact dezelfde elementen hebben, onder hen, wordt een gelijke relatie als volgt aangegeven:

NAAR = B

Als alle elementen van een set tot een set B behoren, maar niet alle elementen van B behoren tot A, dan is er onder deze set een inclusie -relatie die als volgt wordt aangeduid:

A ⊂ b, maar b ⊄ a

De vorige uitdrukking luidt: A is subset van B, maar B is geen subset van een.

Om aan te geven dat sommige of sommige elementen tot een set behoren, wordt het symbool van verbondenheid gebruikt ∈, bijvoorbeeld om te zeggen dat X -element of elementen behoren tot de set A als volgt geschreven:

x ∈ A

Ja een element en behoort niet tot de set tot deze relatie is als volgt geschreven:

en ∉ a

De beloningrelatie wordt gegeven tussen de elementen van een set en de set, met de enige uitzondering van de power set, de set is de verzameling of set van alle mogelijke sets die kunnen worden gevormd met de elementen van de genoemde set.

Kan u van dienst zijn: factorisatie

Neem aan v = a, e, i, uw kracht is p (v) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i, in dat geval wordt de set v een element van de set p (v) en kan worden geschreven:

V ∈ P (v)

- Inclusie -eigenschappen

De eerste eigenschap van inclusie stelt vast dat elke set op zichzelf is vervat, of met andere woorden, die van zichzelf subset is:

A ⊂ A

De andere eigenschap van inclusie is transitiviteit: als A op zijn beurt subset van B en B is, is het subset van C, dan is A subset van C. Symbolisch is de transitiviteitsrelatie als volgt geschreven:

(A ⊂ b) ^ (b ⊂ c) => a ⊂ c

Hieronder is het Venn -diagram dat overeenkomt met de transitiviteit van inclusie:

Figuur 2. (A ⊂ b) ^ (b ⊂ c) => a ⊂ c

- Bewerkingen tussen sets

Kruispunt

De kruising is een bewerking tussen twee sets die resulteert in een nieuwe set die tot dezelfde universele set van de eerste twee behoort. In die zin is het een gesloten operatie.

Symbolisch is de snijwerk als volgt geformuleerd:

A⋂b = x / x∈A ^ x∈B

Een voorbeeld is als volgt: Stel A in van de letters van in het woord "elementen" en set B van de letters van het woord "herhaald", de kruising tussen a en b is als volgt geschreven:

A⋂b = e, l, m, n, t, s ⋂ r, e, p, t, i, d, o, s = e, t, s . De universele set van A, van B en ook van A⋂b is de set van de letters van het Spaanse alfabet.

Unie

De unie van twee sets is de set gevormd door de elementen die gemeenschappelijk zijn voor de twee sets en de niet -gemeenschappelijke elementen van de twee sets. De vakbondsbewerking tussen sets wordt symbolisch uitgedrukt als volgt:

A∪b = x/x∈A v x∈B

Verschil

De werking van de set tenminste de set wordt aangegeven door A-B. A-B is een nieuwe set gevormd door alle elementen die zich in A bevinden en die niet tot B behoren. Symbool is als volgt geschreven:

A - b = x/ x ∈ A ^ x ∉ b

figuur 3. A - b = x/ x ∈ A ^ x ∉ b

Symmetrisch verschil

Het symmetrische verschil is een bewerking tussen twee sets waarbij de resulterende set bestaat uit de elementen die niet gemeenschappelijk zijn voor de twee sets. Het symmetrische verschil wordt symbolisch als volgt weergegeven:

A⊕b = x/ x∈ (a-b) ^ x∈ (b-a)

Voorbeelden

voorbeeld 1

Het Venn -diagram is een grafische manier om de sets weer te geven. Set C van de letters van het woord set wordt bijvoorbeeld als volgt weergegeven:

Voorbeeld 2

Het wordt hieronder weergegeven via Venn -diagrammen dat, de set klinkers in het woord "set", een subset is van de set van de letters van het woord "set".

Kan u van dienst zijn: quota -bemonstering: methode, voor-, nadelen, voorbeelden

Voorbeeld 3

Set N Uit de letters van het Spaanse alfabet is het een eindige set, deze ingestelde door uitbreiding is als volgt geschreven:

N = A, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, W, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, W, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, x, y, z en zijn Kardinaliteit is 27.

Voorbeeld 4

Set V Uit de klinkers in het Spaans is het een subset van de set:

V ⊂ N Daarom is het een eindige set.

De eindige set V Uitgebreide manier waarop het zo is geschreven: V = a, e, i, o, u en de kardinaliteit is 5.

Voorbeeld 5

Gegeven de sets a = 2, 4, 6, 8 en b = 1, 2, 4, 7, 9 Bepaal a-b en b-a. 

A - B zijn de elementen waarvan ze niet in B zijn:

A - b = 6, 8

B - A zijn de elementen van B die niet in A zijn:

B - a = 1, 7, 9

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Schrijf symbolisch en ook bij uitbreiding van het bloemblaadje van natuurlijke getallen, zelfs lager dan 10.

Oplossing: P = x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0

P = 2, 4, 6, 8

Oefening 2

Neem aan dat het geheel wordt gevormd door de natuurlijke getallen die factoren van 210 zijn, en de set B die wordt gevormd door de natuurlijke neven en nichten lager dan 9. Bepaal beide sets bij uitbreiding en stel vast welke relatie er is tussen de twee sets.

Oplossing: Om de elementen van set A te bepalen, moet u beginnen met het vinden van de factoren van het natuurlijke getal 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Dan is Set A geschreven:

A = 2, 3, 5, 7

We houden verder met Set B, de neven en nichten kleiner dan 9. De 1 is geen neef omdat het niet voldoet aan de definitie van neef: "Een nummer is neef als en alleen als het precies twee delers de 1 en het nummer zelf heeft". De 2 is gelijkmatig en tegelijkertijd is neef omdat het voldoet aan de definitie van neef, de andere neven en nichten kleiner dan 9 zijn 3, 5 en 7. Dus die set B is:

B = 2, 3, 5, 7

Daarom zijn de twee sets hetzelfde: a = B.

Oefening 3

Bepaal de set waarvan de elementen x verschillen van x.

Oplossing: C = x / x ≠ x

Zoals elk element, nummer of object is gelijk aan zichzelf, kan Set C niet anders zijn dan de lege set:

C = Ø

Oefening 4

Wees de set van N van natuurlijke getallen en z de set van hele getallen. Bepaal n ⋂ z y n ∪ z z.

Oplossing: 

N ⋂ z = x ∈ Z / x ≤ 0 = (-∞, 0]

N ∪ z = z omdat n ⊂ z z.

Referenties

1. Garo, m. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
2. Haeussler, E. F., & Paul, r. S. (2003). Wiskunde voor administratie en economie. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, m., Estrada, r. (2005). Wiskunde 1 september. Drempelwaarde.
4. Kostbaar, c. T. (2005). Wiskundecursus 3o. Redactionele progreso.
5. Wiskunde 10 (2018). "Voorbeelden van eindige sets". Opgehaald uit: Mathematics10.netto
6. Wikipedia. Set Theory. Hersteld van: is.Wikipedia.com