Som associatieve eigenschap, vermenigvuldiging, voorbeelden, oefeningen

De associatief eigendom van de som vertegenwoordigt het associatieve karakter van de operatie toevoegt in verschillende wiskundige sets. Het relateert drie (of meer) elementen van deze sets, genaamd A, B en C, zodat het altijd is vervuld:

a + (b + c) = (a + b) + c

Op deze manier is het gegarandeerd dat, ongeacht hoe te groeperen om de operatie uit te voeren, het resultaat hetzelfde is.

Figuur 1. We gebruiken de associatieve eigenschap van de som vaak bij het uitvoeren van rekenkundige en algebraïsche bewerkingen. (Tekening: Freepik -compositie: F. Zapata)

Maar er moet worden opgemerkt dat associatieve onroerend goed niet synoniem is met commutatieve eigendommen. Dat wil zeggen, we weten dat de volgorde van de addends de som niet verandert of dat de volgorde van de factoren het product niet verandert. Dus voor de som kun je zo schrijven: a + b = b + a.

In de associatieve eigenschap is het echter anders, omdat de volgorde van de te toegevoegde elementen wordt gehandhaafd en welke veranderingen de bewerking is die eerst wordt uitgevoerd. Wat betekent dat het niet eerst uitmaakt (B+C) en aan dit resultaat toevoegen aan, om te beginnen met toevoegen aan B en aan het resultaat toevoegen C.

Veel belangrijke bewerkingen zoals de som zijn associatief, maar niet alle. Bijvoorbeeld in de aftrekking van reële getallen gebeurt het dat:

A - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ja a = 2, b = 3, c = 1, dan:

2- (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

[TOC]

Associatieve eigenschap van vermenigvuldiging

Zoals voor de som werd gedaan, geeft de associatieve eigenschap van de vermenigvuldiging aan dat:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Kan u van dienst zijn: som van polynomen, zoals wordt gedaan, voorbeelden, oefeningen

In het geval van de reeks reële getallen is het gemakkelijk om te verifiëren dat het altijd is. Bijvoorbeeld, met waarden a = 2, b = 3, c = 1, moet u:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟  3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

De reële getallen voldoen aan de associatieve eigenschap van zowel de som als de vermenigvuldiging. Aan de andere kant, in een andere set, zoals die van de vectoren, is de som associatief, maar het kruisproduct of vectorproduct is dat niet.

Toepassingen van de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging

Een voordeel dat de bewerkingen waarin de associatieve eigenschap wordt voldaan, is om op de meest handige manier te groeperen, zijn vervuld. Dit vergemakkelijkt de resolutie enorm.

Stel bijvoorbeeld dat er in een kleine bibliotheek 3 planken zijn met elk 5 entertainment. In elk entertainment zijn er 8 boeken. Hoeveel boeken zijn er in totaal?

We kunnen de bewerking als volgt uitvoeren: Total Books = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 boeken.

Of zo: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 boeken.

Figuur 2. Een toepassing van de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging is om het aantal boeken op elke plank te berekenen. Afbeelding gemaakt door f. Zapata.

Voorbeelden

-In de sets van natuurlijke, hele, rationele, reële en complexe getallen wordt de associatieve eigenschap van de som en vermenigvuldiging vervuld.

figuur 3. Voor reële getallen is de associatieve eigenschap van de som vervuld. Bron: Wikimedia Commons.

-Voor polynomen passen ze ook toe in deze activiteiten.

-In gevallen van aftrekbewerkingen, divisie en exponentiatie wordt associatieve eigendom niet vervuld in reële getallen of polynomen.

Kan u van dienst zijn: orthoedro: formules, gebied, volume, diagonaal, voorbeelden

-In het geval van matrices wordt aan de associatieve eigenschap bereikt voor de som en vermenigvuldiging, hoewel in het laatste geval de commutiviteit niet wordt voldaan. Dit betekent dat het, gezien matrices A, B en C, waar is dat:

(A x b) x c = a x (b x c)

Maar ... a x b ≠ b x a

Associatieve eigendom in vectoren

Vectoren vormen een andere set dan reële getallen of complexe nummers. De bewerkingen die zijn gedefinieerd voor de set vectoren zijn enigszins verschillend: er is som, aftrekking en drie soorten producten.

De som van vectoren voldoet aan de associatieve eigenschap, evenals cijfers, polynomen en matrices. Wat betreft de scalaire producten, klimmen per vector en kruis die tussen vectoren worden gemaakt, de laatste komt niet bijeen, maar het scalaire product, dat een ander soort werking tussen vectoren is, vervult het, rekening houdend met het volgende:

-Het product van een scalaire voor een vector resulteert in een vector.

-En door twee vectoren te beklimmen, is het een scalair.

Daarom, gezien de vectoren v, of En W, En bovendien is het mogelijk om te schrijven:

-Som van vectoren: v +((of + W ) = (v + of) + W

-Scalair product: λ (v • of ) = (λv) • of

De laatste is mogelijk dankzij wat v • of Het is een scalaire en λv Het is een vector.

Echter:

v × (of × W ) ≠ (v × of)×W

Polynomiale factorisatie door termen te groeperen

Deze applicatie is erg interessant, want zoals hierboven vermeld, helpt associatieve eigenschap bepaalde problemen op te lossen. De som van monomials is associatief en dit kan worden gebruikt om factor te factureren wanneer een voor de hand liggende gemeenschappelijke factor niet op het eerste gezicht verschijnt.

Kan u van dienst zijn: convexe polygoon: definitie, elementen, eigenschappen, voorbeelden

Stel bijvoorbeeld dat er rekening mee wordt gevraagd: X³ + 2X² + 3X +6. Deze polynoom mist een gemeenschappelijke factor, maar laten we eens kijken wat er gebeurt als het op deze manier is gegroepeerd:

X³ + 2x² + 3x +6 = (x³ + 2x²) + (3x +6)

De eerste haakjes heeft een gemeenschappelijke factor X²:

X³ + 2X² = X² (x+2)

In de tweede is de gemeenschappelijke factor 3:

3x +6 = 3 (x + 2)

Dus:

X³ + 2X² + 3X +6 = X²(x+ 2)+ 3 (x+ 2)

Nu is er een voor de hand liggende gemeenschappelijke factor, dat is x+2:

X²(x+ 2)+ 3 (x+ 2) = (x+ 2) (x²+3)

Opdrachten

- Oefening 1

Het gebouw van een school heeft 4 verdiepingen en in elk zijn er 12 klaslokalen met 30 bureaus binnen. Hoeveel bureaus heeft de school in totaal?

Oplossing

Dit probleem wordt opgelost door de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging toe te passen, laten we eens kijken:

Totaal aantal bureaus = 4 verdiepingen x 12 klaslokalen /vloer x 30 bureaus /klaslokaal = (4 x 12) x 30 bureaus = 48 x 30 = 1440 bureaus.

O indien voorkeur: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 bureaus

- Oefening 2

Gezien de polynomen:

A (x) = 5x³ + 2x² -7x + 1

B (x) = x⁴ +6x³ -5x

C (x) = -8x² +3x -7

Pas de associatieve eigenschap van de som toe om te vinden (x) + b (x) + c (x).

Oplossing

De eerste twee kunnen worden gegroepeerd en het resultaat voegt de derde toe:

A (x) + b (x) = [5x³ + 2x² -7x + 1] + [x⁴ +6x³ -5x] = x⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1

Polynoom C (x) wordt onmiddellijk toegevoegd:

[X⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1] + [-8x² +3x -7] = x⁴ + 11x³ - 6x² -9x -6

De lezer kan verifiëren dat het resultaat identiek is als het wordt opgelost door optie a (x) + [b (x) + c (x)]].

Referenties

1. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Wiskunde is leuk. Commutatieve, associatieve en districtswetten. Hersteld van: Mathisfun.com.
3. Wishuis. Definitie van associatieve eigendom. Hersteld van: Mathwarehouse.com.
4. Wetenschap. Associatieve en commutatieve eigenschap van toevoeging en vermenigvuldiging (met voorbeeld). Hersteld van: wetenschap.com.
5. Wikipedia. Associatief eigendom. Opgehaald uit: in.Wikipedia.borg.