Klassieke waarschijnlijkheidsberekening, voorbeelden, opgeloste oefeningen

De Klassieke waarschijnlijkheid Het is een bepaald geval van de berekening van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. Het wordt gedefinieerd als het quotiënt tussen de gebeurtenissen die gunstig zijn voor dit evenement en de totale mogelijke gebeurtenissen, met de voorwaarde dat elk van deze gebeurtenissen allemaal even waarschijnlijk is. Klassieke waarschijnlijkheid staat ook bekend als een a priori waarschijnlijkheid of theoretische waarschijnlijkheid.

De wens om op dingen te anticiperen, maakt altijd deel uit van de menselijke natuur: we vragen ons allemaal af of het de volgende dag zal regenen of dat een bepaald voetbalteam volgend seizoen al dan niet zal spelen in de eerste divisie. Er is archeologisch bewijs dat mensen ongeveer 40 gokken speelden.000 jaar.

Definitie van het concept van klassieke waarschijnlijkheid

Het eerste boek over de waarschijnlijkheden is echter te wijten aan de Nederlandse astronoom Christian Huygens die het noemde Redeneren gerelateerd aan het dobbelspel. Zoals we zien, is de klassieke waarschijnlijkheid zijn oorsprong in de kansspelen.

De dobbelstenen heeft een lange geschiedenis, het is een kubisch stuk waarvan de gezichten zijn genummerd met punten van één tot zes. Door slechts één eerlijke dobbelstenen te lanceren: wat is de kans om uit te komen, zeg, een vijf?

Het is heel eenvoudig: er is maar één gezicht tussen 6 gemarkeerd met vijf punten, daarom is de waarschijnlijkheid P:

P = 1/6

[TOC]

Berekening in klassieke waarschijnlijkheid

Deze manier om de waarschijnlijkheid van een evenement te berekenen is een toepassing van de Laplace-regel, aanvankelijk in 1812 vermeld door de Franse wiskundige Pierre de Laplace (1749-1827).

Laplace -regel wordt gebruikt in de klassieke waarschijnlijkheid om de kans op een gebeurtenis te berekenen. Bron: f. Zapata.

Wees een gebeurtenis waarvan we willen weten dat de waarschijnlijkheid van optreden P (a), dan:

P (a) = Aantal gevallen gunstig voor het evenement A / aantal mogelijke gevallen

Het resultaat van deze bewerking is altijd een positief getal tussen 0 en 1. Als een gebeurtenis een kans heeft om op te treden, betekent dit dat deze niet zal gebeuren.

Aan de andere kant, als de waarschijnlijkheid van optreden gelijk is aan 1, betekent dit dat het in welke vorm dan ook zal gebeuren en in elk geval de kans dat een gebeurtenis optreedt, toegevoegd met de kans dat het niet gebeurt, is gelijk aan 1 :

Hier hebben we aangegeven met de kans dat gebeurtenis A niet voorkomt via een balk op de letters.

Kan u van dienst zijn: 10 soorten algoritmen en hun kenmerken

Het is duidelijk dat in een wettelijke dobbelstenen elk van de 6 gezichten dezelfde kans heeft om te vertrekken, daarom moet de kans op het verkrijgen van een gezicht met 5 1/6 zijn.

Een belangrijk detail is als volgt: Om de Laplace -regel toe te passen, moet het aantal mogelijke gevallen eindig zijn, dat wil zeggen dat we ze moeten kunnen vertellen en een natuurlijk nummer moeten verkrijgen.

In het voorbeeld van de dobbelstenen zijn er 6 mogelijke gevallen en een enkele gunstige gebeurtenis. De set mogelijke gevallen wordt genoemd voorbeeldruimte.

Bij het toepassen van de Laplace -regel is het handig om de monsterruimte zorgvuldig te analyseren, inclusief alle mogelijke gebeurtenissen, dat wil zeggen, het moet compleet en netjes zijn, zodat er geen gebeurtenis ontsnapt om te worden verantwoord.

De voorbeeldruimte en de gebeurtenissen

De voorbeeldruimte wordt meestal aangegeven door de letter S of de Griekse letter ω (hoofdstad omega) en was een concept geïntroduceerd door Galileo.

Een DICE -speler vroeg de wijze omdat het moeilijker is om een ​​9 -lancering van drie dobbelstenen te verkrijgen dan een 10, toen berekende Galileo de mogelijke manieren om een ​​9 te verkrijgen. Ten slotte berekende hij de respectieve waarschijnlijkheden en ontdekte hij dat, in feite, P (9) < P (10).

Voorbeeldruimte met weinig elementen

Als de voorbeeldruimte uit weinig elementen bestaat, worden deze vermeld als een set. Stel bijvoorbeeld dat u de kans wilt vinden dat in een gezin met twee kinderen beide van hetzelfde geslacht zijn.

We kunnen de klassieke waarschijnlijkheid toepassen die de monsterruimte correct bepalen. Als m = vrouw en h = man, is de voorbeeldruimte van de kinderen:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Elk element van de voorbeeldruimte is een gebeurtenis, bijvoorbeeld, het evenement (M, M) betekent dat de twee kinderen van deze familie vrouwen zijn.

Met de steekproefruimte is het berekenen van de gevraagde waarschijnlijkheid heel eenvoudig, omdat er slechts 2 gunstige gevallen tussen 4 zijn, zodat beide kinderen van hetzelfde geslacht zijn: (M, M) en (H, H), daarom:

P (beide kinderen van hetzelfde geslacht) = 2/4 = 0.5

Voorbeeldruimte met veel elementen

Wanneer de steekproefruimte uit veel elementen bestaat, is het beter om een ​​algemene regel te geven om het te vinden. Als T bijvoorbeeld de nuttige levensduur van een team is, is de voorbeeldruimte:

S = T∕T ≥ 0

Dat het zo leest: "Alle waarden van t zodanig dat t groter is dan of gelijk is aan 0". Een gebeurtenis van deze ruimte kan zijn dat het apparaat een nuttige levensduur van t = 2 jaar heeft.

Kan u van dienst zijn: graad van een polynoom: hoe deze is bepaald, voorbeelden en oefeningen

Voorbeelden van klassieke waarschijnlijkheid

De klassieke waarschijnlijkheid wordt toegepast op voorwaarde dat de twee hierboven aangegeven gebouwen zijn vervuld, dat wil zeggen:

-Alle gebeurtenissen zijn even waarschijnlijk.

-De monsterruimte is eindig.

Daarom zijn er situaties waarin klassieke waarschijnlijkheid niet kan worden toegepast, zoals wanneer u wilt anticiperen of een nieuwe behandeling een bepaalde ziekte zal genezen, of de kans dat een machine defecte items produceert.

Aan de andere kant kan het in de volgende gevallen met succes worden toegepast:

Launch

Klassieke waarschijnlijkheid komt voort uit de interesse van mensen in gokken. Bron: Pixabay.

Zoals we hebben gezien, is de kans dat een bepaald gezicht zal uitkomen gelijk aan 1/6.

Neem een ​​brief uit een dek

We hebben een dek van 52 card van een Frans dek, bestaande uit vier stokken: harten, klavers, diamanten en picas. Dus de kans om een ​​hart te extraheren, wetende dat er 13 kaarten van elke stok zijn is:

P (hart) = 13/52

Lancering

Het is een typisch voorbeeld van klassieke waarschijnlijkheid, want bij het lanceren van een valuta is er altijd een kans gelijk aan ½ van het verkrijgen van gezicht of stempel.

Extraheer kleur knikkers uit een tas 

In een tas kunnen er gekleurde knikkers zijn, er zijn bijvoorbeeld rode knikkers, blauwe knikkers en V groene knikkers. De kans om een ​​rood te extraheren is:

P (r) = r / n

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Zodra een eerlijke dobbelstenen is gelanceerd. Bereken de volgende waarschijnlijkheden:

a) Teken een oneven nummer.

b) Laat een 2 of 5 naar buiten komen.

c) Bereik een waarde minder dan 4.

d) verkrijg een waarde minder dan of gelijk aan 4.

e) Bereik een andere waarde van 3

Oplossing voor

De voorbeeldruimte is s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, de oneven waarden zijn 1, 3 en 5, daarom van 6 mogelijke gevallen zijn er drie gunstige gevallen:

P (oneven) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Oplossing B

We willen een 2 of 5 extraheren, dat wil zeggen dat elk van deze gevallen gunstig is:

P (2 of 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Oplossing C

In dit geval zijn er 3 gunstige gebeurtenissen: krijg 1, 2 of 3:

P (minder dan 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Oplossing D

Hier is een extra gunstige gebeurtenis, omdat ze ons vragen om de lagere of gelijke waarden die 4, dan:

Kan u van dienst zijn: Acutangle Triangle

P (waarde minder dan of gelijk aan 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Oplossing e

Een andere lancering van 3 betekent dat een van de andere waarden uitkwam:

- Oefening 2

In een doos is er een blauwe, een groene bal, een rood, een geel en een zwart. Wat is de kans dat, bij het nemen van een bal gesloten met je ogen, deze geel is?

Oplossing

De "E" -gebeurtenis is om een ​​bal uit de doos te halen met de ogen gesloten (als deze met open ogen wordt gedaan, is de waarschijnlijkheid 1) en dat dit geel is.

Er is maar één gunstig geval, omdat er maar één gele bal is. De mogelijke gevallen zijn 5, omdat er 5 ballen in de doos zitten.

Daarom is de waarschijnlijkheid van de "E" -gebeurtenis gelijk aan P (E) = 1/5.

Zoals te zien is, als het evenement is om een ​​blauwe, groene, rode of zwarte bal uit te schakelen, is de kans ook gelijk aan 1/5. Daarom is dit een voorbeeld van klassieke waarschijnlijkheid.

Observatie

Als er 2 gele ballen in de doos waren geweest, P (E) = 2/6 = 1/3, terwijl de kans om een ​​blauwe, groene, rode of zwarte bal te verwijderen gelijk aan 1/6 zou zijn geweest.

Omdat niet alle gebeurtenissen dezelfde waarschijnlijkheid hebben, is dit dus geen voorbeeld van klassieke waarschijnlijkheid.

- Oefening 3

Wat is de kans dat, door een dobbelsteen te lanceren, het verkregen resultaat gelijk is aan 5?

Oplossing

Eén dobbelstenen heeft 6 gezichten, elk met een ander aantal (1,2,3,4,5,6). Daarom zijn er 6 mogelijke gevallen en slechts één geval is gunstig.

Dus de kans dat bij het starten van de dobbelstenen 5 gelijk is aan 1/6.

Nogmaals, de kans op het verkrijgen van een ander dobbelsteenresultaat is ook gelijk aan 1/6.

- Oefening 4

In een klaslokaal zijn er 8 jongens en 8 meisjes. Als de leraar willekeurig een student kiest in haar woonkamer, wat is dan de kans dat de gekozen student een meisje is?

Oplossing

Het "E" -gebeurtenis is om een ​​willekeurige student te kiezen. In totaal zijn er 16 studenten, maar omdat je een meisje wilt kiezen, zijn er 8 gunstige gevallen. Daarom p (e) = 8/16 = 1/2.

Ook in dit voorbeeld is de kans op het kiezen van een kind 8/16 = 1/2.

Dat wil zeggen, het is zo waarschijnlijk dat de gekozen student een meisje als een jongen is.

Referenties

1. Augustus, een. Waarschijnlijkheid. Universiteit van Puerto Rico. Hersteld van: documenten.UPRB.Edu.
2. Galindo, E. 2011. Statistieken: methoden en toepassingen. Redacteuren Procience.
3. Jiménez, r. 2010. Wiskunde II. 2e. Editie. Prentice Hall.
4. Triola, m. 2012. Elementaire statistieken. 11e. Editie. Addison Wesley.
5. Sangaku -wiskunde. Laplace -regel. Hersteld van: Sangakoo.com.