Convex Polygon -definitie, elementen, eigenschappen, voorbeelden

A convexe polygoon Het is een geometrische figuur in een vlak dat wordt gekenmerkt omdat het al zijn diagonalen binnen heeft en zijn hoeken minder dan 180º meten. Onder zijn eigenschappen zijn de volgende:

1) Het bestaat uit n opeenvolgende segmenten waarbij de laatste segmenten zich bij de eerste aansluiten. 2) Geen van de segmenten wordt zodanig gekruist dat het vlak in een interieur en een andere buitenkant afbeelt. 3) elk van de hoeken van het binnengebied is strikt lager dan een vlakke hoek.

Figuur 1. Polygonen 1, 2 en 6 zijn convex. (Opgesteld door Ricardo Pérez).

Een eenvoudige manier om te bepalen of een polygoon convex is of niet is om de lijn te overwegen die door een van zijn zijden gaat, die twee semiplanen bepaalt. Als op elke lijn die aan de ene kant passeert, de andere zijden van de polygoon zich in hetzelfde semiplane bevinden, is het dan een convexe polygoon.

[TOC]

Elementen van een polygoon

Elke polygoon bestaat uit de volgende elementen:

- Zijkanten

- Hoekpunten

De zijkanten zijn elk van de opeenvolgende segmenten waaruit de polygoon bestaat. In een polygoon kan geen van de segmenten die het vormen een open uiteinde hebben, in dat geval zou er een polygonale lijn zijn maar geen polygoon.

De hoekpunten zijn de vakbondspunten van twee opeenvolgende segmenten. In een polygoon is het aantal hoekpunten altijd gelijk aan het aantal zijden.

Als twee kanten of segmenten van een polygoonkruis zijn, dan heb je een kruispolygoon. Het kruisingspunt wordt niet beschouwd als een hoekpunt. Een kruis polygoon is een niet-convexe polygoon. De gecrashte polygonen zijn gekruiste polygonen en zijn daarom niet convex.

Het kan u van dienst zijn: analytische geometrie

Wanneer een polygoon al zijn zijden van dezelfde lengte heeft, is er dan een gewone polygoon. Alle reguliere polygonen zijn convex. 

Convexe en niet-convexe polygonen

Figuur 1 toont verschillende polygonen, sommige zijn convex en andere niet. Laten we ze analyseren:

Nummer 1 is een driezijdige polygoon (driehoek) en alle interne hoeken zijn minder dan 180º, daarom is het een convexe polygoon. Alle driehoeken zijn convexe polygonen.

Nummer 2 is een vierzijdige polygoon (vierhoek) waarbij geen van de zijkanten wordt onderschept en ook elk van de binnenhoeken minder is dan 180º is. Het is dan een vier -zijdige convexe polygoon (convex vierhoek).

Aan de andere kant is nummer 3 een vierzijdige polygoon, maar een van de binnenhoeken is groter dan 180º, dus het voldoet niet aan de convexiteitstoestand. Dat wil zeggen, het is een niet-convex-zijdige polygoon die een concave vierhoek wordt genoemd.

Het nummer 4 is een polygoon met vier segment (zijkanten), waarvan er twee worden onderschept. De vier binnenhoeken zijn minder dan 180º, maar naarmate twee zijden kruisen, zijn ze een niet-convexe kruispolygoon (kruis vierhoek).

Een ander geval is nummer 5. Dit is een vijfzijdige polygoon, maar omdat een van de binnenhoeken groter is dan 180º, is er dan een concave polygoon.

Ten slotte heeft het nummer 6, dat ook vijf zijden heeft, al zijn binnenhoeken minder dan 180º, dus het is een convexe polygoon met vijf zijdige (convex Pentagon).

Kan u van dienst zijn: bemonsteringsfout: formules en vergelijkingen, berekening, voorbeelden

Convexe polygon -eigenschappen

1- Een niet-gecruiste polygoon of eenvoudige polygoon verdeelt het vlak dat het in twee gebieden bevat. Het binnengebied en het buitengebied, als de polygoon de grens tussen de twee regio's.

Maar als bovendien de polygoon convex is, dan is er een innerlijke regio die eenvoudig gerelateerd is, wat betekent dat het nemen van twee punten van de binnenregio, deze altijd kan worden verenigd door een segment dat in zijn geheel tot de innerlijke regio hoort.

Figuur 2. Een convexe polygoon is gewoon gerelateerd, terwijl een concave dat niet is. (Opgesteld door Ricardo Pérez).

2- Alle binnenhoek van een convexe polygoon is minder dan een vlakke hoek (180º).

3- Alle interieurpunten van een convexe polygoon behoren altijd tot een van de semi-gedefinieerde door de lijn die door twee opeenvolgende hoekpunten gaat.

4- In een convexe polygoon zijn alle diagonalen volledig opgenomen in het binnenste polygoongebied.

5- De interieurpunten van een convexe polygoon behoren in zijn geheel tot de convexe hoeksector gedefinieerd door elke binnenhoek.

6- Elke polygoon waarin al zijn hoekpunten zich op een omtrek bevinden, is een convexe polygoon die cyclische polygoon wordt genoemd.

7- Elke cyclische polygoon is convex, maar niet elke convexe polygoon is cyclisch.

8- Elke niet-besneden polygoon (eenvoudige polygoon) die al zijn zijden van gelijke lengte heeft, is convex en staat bekend als reguliere polygoon.

Diagonalen en hoeken in convexe polygonen

9- Het totale aantal diagonalen van een convexe polygoon van N-zijden wordt gegeven door de volgende formule:

Het kan u van dienst zijn: Polybal Graphics

N = ½ n (n - 3)

Demonstratie: In een convexe polygoon van N -zijden van elk hoekpunt worden n - 3 diagonalen getekend, omdat het hoekpunt zelf en de twee aangrenzende zijn uitgesloten. Omdat er n hoekpunten zijn, worden ze getekend in totale n - 2) diagonalen, maar elke diagonaal werd tweemaal getekend, dus het aantal diagonalen (zonder herhaling) is n (n -2)/2.

10- De som van de binnenhoeken van een convexe polygoon van N-zijden wordt gegeven door de volgende relatie:

S = (N - 2) 180º

Demonstratie: N-3 diagonalen zijn afkomstig uit een hoekpunt dat N-2-driehoeken definieert. De som van de interne hoeken van elke driehoek is 180º. De totale som van de N-2-driehoeken is (n-2)*180º, die samenvalt met de som van de interne hoeken van de polygoon.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Cyclische zeshoek, het is een zeszijdige polygoon- en zes hoekpunten, maar alle hoekpunten zijn op dezelfde omtrek. Alle cyclische polygoon is convex.

Cyclische zeshoek.

Voorbeeld 2

Bepaal de waarde van de interne hoeken van een reguliere enegon.

Oplossing: Enegon is een 9 -zijdige polygoon, maar het regelt ook al zijn zijden en hoeken zijn hetzelfde.

De som van alle interne hoeken van een 9 -zijdige polygoon is:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º 

Maar er zijn 9 interne hoeken van gelijke maat α, dus de volgende gelijkheid moet worden vervuld:

S = 9 α = 1260º

Van waar het volgt dat de α -maat van elke interne hoek van de reguliere Enegon is:

α = 1260º/9 = 140º