Euler -nummer of nummer E hoeveel is waard, eigenschappen, applicaties

Hij Euler -nummer of nummer e Het is een goed bekende wiskundige constante die vaak voorkomt in tal van wetenschappelijke en economische toepassingen, samen met het aantal π en andere belangrijke getallen in de wiskunde.

Een wetenschappelijke calculator gooit de volgende waarde voor nummer E:

Figuur 1. Het nummer van Euler verschijnt vaak in de wetenschap. Bron: f. Zapata.

E = 2.718281828…

Maar er zijn bijvoorbeeld nog veel meer decimalen bekend:

E = 2.71828182845904523536…

En moderne computers hebben decimaal biljoen toegestaan ​​naar het nummer E.

Het is een nummer irrationeel, wat betekent dat het een oneindige hoeveelheid decimalen heeft zonder enig repetitief patroon (sequentie 1828 verschijnt twee keer aan het begin en herhaalt niet langer).

En het betekent ook dat het nummer E niet kan worden verkregen als het quotiënt van twee hele getallen.

[TOC]

Geschiedenis

Het nummer En Hij werd geïdentificeerd door wetenschapper Jacques Bernoulli in 1683 toen hij het probleem van samengestelde interesse bestudeerde, maar eerder was hij indirect verschenen in de werken van de Schotse wiskundige John Napier, die de logaritmen uitvond voor 1618.

Het was echter Leonhard Euler in 1727 die hem de naam E -naam gaf en intensief zijn eigenschappen bestudeerde. Daarom staat het ook bekend als de Euler -nummer en ook als een natuurlijke basis voor de gebruikte Neperiaanse logaritmen (een exponent).

Hoeveel is het nummer E waard?

Het nummer e vale:

E = 2.71828182845904523536…

De suspensieve punten betekenen dat er een oneindige hoeveelheid decimalen is en in feite zijn miljoenen van hen bekend met huidige computers.

Vertegenwoordigingen van nummer E

Er zijn verschillende manieren om E te definiëren die we hieronder beschrijven:

Het nummer E als limiet

Een van de verschillende manieren waarop het nummer E wordt uitgedrukt, is degene die de wetenschapper Bernoulli in zijn werk over de samengestelde interesse heeft gevonden:

Waarin u de waarde moet doen N Een heel groot aantal.

Het is gemakkelijk om met behulp van een rekenmachine te controleren dat wanneer N Het is erg groot, de vorige uitdrukking neigt naar de waarde van En hierboven gegeven.

Het kan u van dienst zijn: bijjectieve functie: wat is het, hoe wordt het gedaan, voorbeelden, oefeningen

Natuurlijk kunnen we onszelf afvragen hoe groot het kan worden gedaan N, Dus we proberen met ronde getallen, zoals deze bijvoorbeeld:

n = 1000; 10.000 of 100.000

In het eerste geval krijgt u E = 2.7169239… . In de tweede e = 2.7181459 ... en in de derde komt het veel dichter bij de waarde van En: 2.7182682. We kunnen dat al verschijnen met n = 1.000.000 of groter, de aanpak zal nog beter zijn.

In wiskundige taal, de procedure van het maken N Het komt dichterbij en meer bij een zeer grote waarde, het wordt genoemd Beperking tot oneindigheid En het wordt als volgt aangegeven:

Om de oneindigheid aan te duiden, wordt het symbool "∞" gebruikt.

Het nummer E als een bedrag

Het is ook mogelijk om nummer E te definiëren via deze bewerking:

De cijfers die in de noemer verschijnen: 1, 2, 6, 24, 120 ... komen overeen met de operatie N!, waar:

N! = n. (N-1).(N-2). (N-3) ..

En per definitie 0! = 1.

Het is gemakkelijk om te verifiëren dat hoe meer toevoegingen worden toegevoegd, hoe groter het aantal wordt bereikt En.

Laten we enkele tests doen met de rekenmachine, die steeds meer toevoegingen toevoegen:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Hoe meer termen ze aan de som worden toegevoegd, hoe meer het resultaat vergelijkbaar is met En.

Wiskundigen bedachten een compacte notatie voor deze bedragen die veel termen omvatten, met behulp van het somsymbool σ:

Deze uitdrukking wordt gelezen als "som van n = 0 tot oneindig van 1 tussen n factorname".

Het nummer e vanuit het geometrische oogpunt

Het nummer E heeft een grafische weergave gerelateerd aan het gebied onder de grafiek van de curve:

y = 1/x

Wanneer de waarden van X tussen 1 en E liggen, is dit gebied 1 waard, zoals geïllustreerd in de volgende figuur:

Figuur 2. Grafische weergave van nummer E: het gebied onder curve 1/x, tussen x = 1 en x = e o'Clock. Bron: f. Zapata.

Nummer E -eigenschappen

Sommige eigenschappen van nummer E zijn:

Kan u van dienst zijn: GROTE FUNCTIE: Hoe u het kunt identificeren, voorbeelden, oefeningen

-Het is irrationeel, met andere woorden, het kan niet eenvoudig worden verkregen door twee hele getallen te delen.

-Het nummer En Het is ook een Transcendent nummer, wat betekent dat En Het is geen oplossing van een polynoomvergelijking.

-Het is gerelateerd aan vier andere beroemde getallen op het gebied van wiskunde, namelijk: π, i, 1 en 0, door de identiteit van Euler:

En^πi + 1 = 0

-De oproepen complexe getallen kan worden uitgedrukt via E.

-Het vormt vandaag de basis van natuurlijke of Neperiaanse logaritmen (de oorspronkelijke definitie van John Napier verschilt een beetje).

-Het is het enige nummer zodanig dat zijn Neperian Logaritm 1 waard is, dat wil zeggen:

 ln e = 1

Toepassingen

Statistieken

Het getal e verschijnt zeer vaak op het gebied van waarschijnlijkheid en statistieken, die verschijnen in verschillende distributies, zoals de normale of Gaussiaanse, die van Poisson en anderen.

Engineering

In engineering is het frequent, omdat de exponentiële functie y = e^X Het is bijvoorbeeld aanwezig in mechanica en elektromagnetisme. Onder de vele toepassingen kunnen we citeren:

-Een kabel of ketting die aan de uiteinden hangt, neemt de vorm aan van de curve gegeven door:

y = (e^X + En^-X) /2

-Een aanvankelijk ontladen een condensor C, die in serie verbindt met een weerstand R en een spanningsbron V om te laden, verwerft een bepaalde belasting Q, afhankelijk van de tijd t gegeven door:

Q (t) = cv (1-e^-T/RC))

biologie

De exponentiële functie y = a.En^Bx, Met A en B -constante wordt het gebruikt om celgroei en bacteriegroei te modelleren.

Fysiek

In de nucleaire fysica worden het radioactieve verval en de bepaling van AGE's gemodelleerd door radiokoolstof gedateerd.

Economie

Bij de berekening van samengestelde rente ontstaat het aantal E van nature.

Stel dat u een bepaald bedrag heeft P_of, om het te investeren tegen een jaarlijkse rente.

Als het geld 1 jaar wordt achtergelaten, zul je na die tijd hebben:

P (1 jaar) = P_of + P_of.I = P_of (1+ i)

Na nog een jaar zonder het aan te raken, zul je hebben:

Kan u van dienst zijn: theoretische waarschijnlijkheid: hoe u het uit kunt krijgen, voorbeelden, oefeningen

P (2 jaar) = P_of + P_of.i + (p_of + P_of .i) i = p_of +2 p_of.i + p_of.Je²  = PO (1+i)²

En op deze manier door N Jaren:

P = P_of (1+i)^N

Onthoud nu een van de definities van E:

Het lijkt een beetje op de uitdrukking voor P, dus er moet een relatie zijn.

We zullen de nominale rente verdelen Je in N Tijdsperioden, op deze manier zal de samengestelde rente I/N zijn:

P = P_of [1+ (I/N)]^N

Deze uitdrukking lijkt een beetje meer over onze limiet, maar het is nog niet precies hetzelfde.

Na sommige algebraïsche manipulaties kan echter worden aangetoond dat het maken van deze variabele verandering:

h = n/i → i = n/h

Onze geld P wordt:

P = P_of [1+ (1/h)]^Hoi = P_of [1+ (1/h)]^HJe

En wat is er een van de sleutels, zelfs als het met de brief is geschreven H, Het is gelijk aan het argument van de limiet die het nummer E definieert, die mist alleen de limiet.

Laten we doen  H → ∞, en wat tussen de sleutels is, wordt omgezet in het nummer En. Dit betekent niet dat we oneindig groot moeten wachten om ons geld op te nemen.

Als we er goed uitzien, wanneer we het doen H = n/i En het verzorgen van ∞, wat we echt hebben gedaan, is om de rentevoet in zeer, zeer kleine periodes te verdelen: zeer klein:

I = n/h

Dit heet Continue kapitalisatie. In dit geval wordt de hoeveelheid geld gemakkelijk als volgt berekend:

P = P_of .En^Je

Waar ik de jaarlijkse rente is. Bijvoorbeeld door € 12 tot 9 % per jaar te storten, door continue kapitalisatie, heb je na een jaar:

P = 12 x e^{0.09 × 1} € = 13.€ 13

Met een winst van 1.13 €.

Referenties

1. Geniet van wiskunde. Samengestelde rente: periodieke compositie. Hersteld van: geniet van Matimaticas.com.
2. Figuera, j. 20000000000000000000. Wiskunde 1e. Diversifieerd. Co-bo edities.
3. Garcia, m. Het nummer e in de elementaire berekening. Hersteld van: wiskunde.Ciens.UCV.gaan.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, r. 2010. Berekening van een variabele. 9NA. Editie. McGraw Hill.