Euler -methode voor wat het gebruik is van procedure en oefeningen

Hij Euler -methode Het is de meest elementaire en eenvoudige van de procedures die worden gebruikt om geschatte numerieke oplossingen te vinden, tot een gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde, op voorwaarde dat de initiële toestand ervan bekend is.

Een gewone differentiaalvergelijking (EDO) is de vergelijking die een onbekende functie relateert van een enkele onafhankelijke variabele met zijn derivaten.

Opeenvolgende benaderingen volgens de methode van Euler. Bron: Oleg Alexandrov [Public Domain]

Als de grootste derivaat die in de vergelijking verschijnt van graad één is, dan is het een gewone differentiaalvergelijking van de eerste graad.

De meest algemene manier om een ​​eerste graad vergelijking te schrijven is:

met de initiële toestand:

x = x₀

y = y₀

[TOC]

Wat is de methode van Euler?

Het idee van de Euler -methode is om een ​​numerieke oplossing te vinden voor de differentiaalvergelijking in het interval tussen x₀ en x_F .

Ten eerste is het interval in N+1 punten het daar niet mee eens:

X₀, X₁, X₂, X₃…, X_N

Die als volgt worden verkregen:
X_Je= x₀+IH

Waarbij h de breedte of stap van de subintervallen is:

Hoe groter het nummer n, het resultaat zal nauwkeuriger zijn, maar een groter aantal punten zal nodig zijn om het interval te dekken waar we op zoek zijn naar de oplossing en de rekentijd groeit.

Met de initiële toestand is het ook mogelijk om de afgeleide in het begin te kennen:

en '(x_of) = f (x_of, En_of))

Deze afgeleide vertegenwoordigt de helling van de lijn die op het punt raakt naar de functiecurve y (x) op het punt:

Ao = (x_of, En_of))

Vervolgens wordt op het volgende punt een geschatte voorspelling van de waarde van de functie y (x) gemaakt:

en (x₁) ≈ en₁

En_1 = En_of +(X₁- X_of) F (x_of, En_of) = y_{of +} H F (x_of, En_of))

Het volgende geschatte punt van de oplossing die zou overeenkomen met:

NAAR₁ = (x₁, En₁))

De procedure wordt herhaald om de opeenvolgende punten te verkrijgen

Kan u van dienst zijn: logaritmische functie: eigenschappen, voorbeelden, oefeningen

NAAR₂, NAAR₃…, X_N

In de figuur die in het begin wordt getoond, vertegenwoordigt de blauwe curve de exacte oplossing van de differentiaalvergelijking, en de rode vertegenwoordigt de opeenvolgende geschatte punten verkregen door de Euler -procedure.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Je) Wees de differentiaalvergelijking:

Met de initiële toestand x = a = 0; En_naar= 1

Door de Euler -methode te gebruiken, krijgt u een geschatte oplossing van En In coördinaat x = b = 0.5, het onderverdeling van het interval [a, b] bij n = 5 delen.

Oplossing

Numerieke resultaten zijn als volgt samengevat:

Waar wordt geconcludeerd dat de oplossing en voor waarde 0.5 is 1.4851.

Opmerking: voor de realisatie van de berekeningen die het is gebruikt Smath Studio, Gratis gratis gebruiksprogramma.

Oefening 2

II) Doorgaan met de differentiaalvergelijking van oefening I), zoek de exacte oplossing en vergelijk deze met het resultaat verkregen door de Euler -methode. Zoek de fout of het verschil tussen het exacte resultaat en de benadering.

Oplossing

Met de initiële toestand x = a = 0; En_naar= 1
De exacte oplossing is niet erg moeilijk te vinden. Het is bekend dat de afgeleide van de Sen (X) -functie de COS (X) -functie is. Daarom zal de oplossing y (x) zijn:

en (x) = sin x + c

Om aan de initiële toestand te voldoen en (0) = 1, moet de constante C waard zijn 1. Vervolgens wordt het exacte resultaat vergeleken met de benadering:

Er wordt geconcludeerd dat in het berekende interval de aanpak drie significante nauwkeurigheidscijfers heeft.

Oefening 3

III) Overweeg de differentiaalvergelijking en de initiële voorwaarden hieronder:

en '(x) =- y²

Met de initiële toestand x₀ = 0; En₀ = 1

Gebruik de Euler -methode om geschatte waarden van de oplossing te vinden en (x) In de interval x = [0, 1.5]. Gebruik stap H = 0.1.

Oplossing

De methode van Euler is zeer aangegeven om te worden gebruikt met een spreadsheet. In dit geval zullen we de spreadsheet van gebruiken Geogebra, Een gratis en gratis gebruiksprogramma.

Het kan u van dienst zijn: samengestelde evenredigheid: uitleg, drie samengestelde regel, oefeningen

Drie kolommen (A, B, C) worden getoond in de spreadsheet van de figuur X , De tweede kolom vertegenwoordigt de variabele En, en de derde kolom het afgeleide En'.

Rij 2 bevat de beginwaarden van X, EN, EN' .

De waarde van waarde 0.1 Het is in de absolute positiecel geplaatst ($ D $ 4).

De initiële Y0 -waarde is in cel B2 en Y1 in cel B3. Om te berekenen en₁ De formule wordt gebruikt:

En_1 = En_of +(X₁- X_of) F (x_of, En_of) = y_{of +} H F (x_of, En_of))

Deze spreadsheet -formule zou nummer B3 zijn: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Evenzo zou Y2 in cel B4 zijn en de formule ervan wordt getoond in de volgende figuur:

De figuur toont ook de grafiek van de exacte oplossing, en punten A, B, ..., P van de geschatte oplossing door middel van de Euler -methode.

Newton Dynamics en Euler's methode

De klassieke dynamiek is ontwikkeld door Isaac Newton (1643 - 1727). De oorspronkelijke motivatie van Leonard Euler (1707 - 1783) om zijn methode te ontwikkelen was precies om de vergelijking van de tweede wet van Newton in verschillende fysieke situaties op te lossen.

De tweede wet van Newton wordt vaak uitgedrukt als een secundaire differentiaalvergelijking:

Waar X vertegenwoordigt op dit moment de positie van een object T. Dit object heeft een massa M en wordt onderworpen aan een kracht F. De functie F Het is gerelateerd aan kracht en massa als volgt:

 Hoewel de Euler -methode in principe is ontworpen om de eerste -graaftische differentiaalvergelijkingen op te lossen, is deze gemakkelijk uitbreidbaar naar het tweede geval, omdat deze gelijkwaardig is aan een systeem van twee eerste -gradenvergelijkingen.

Het kan u van dienst zijn: analytische geometrie

Om de Euler -methode toe te passen, zijn de initiële tijdwaarden vereist T, snelheid v en positie X.

De volgende tabel legt uit hoe beginnend bij beginwaarden T1, V1, x1 een benadering van de V2 -snelheid en de X2 -positie kan worden verkregen, op dit moment T2 = T1+AT, waarbij AT een kleine toename vertegenwoordigt en overeenkomt met de stap In de methode van Euler.

Oefening 4

Iv) Een van de fundamentele problemen in de mechanica is die van een blok van massa M vastgebonden aan een veer (of veer) van elastische constante k.

De tweede wet van Newton voor dit probleem zou zo zijn:

In dit voorbeeld zal het worden genomen om te vereenvoudigen m = 1 en k = 1. Zoek geschatte oplossingen voor de positie X En de snelheid v Volgens de methode van Euler in het tijdsinterval [0, π/2] het interval in 12 delen onderverdelen.

Neem 0 als een eerste moment, initiële snelheid 0 en beginpositie 1.

Oplossing

De numerieke resultaten worden in de volgende tabel weergegeven:

De afbeeldingen van de positie en de snelheid tussen de instanten 0 en 1 worden ook getoond.44.

Voorgestelde oefeningen voor thuis

Oefening 1

Gebruik een spreadsheet om een ​​geschatte oplossing te bepalen met behulp van de Euler -methode voor de differentiaalvergelijking:

en '= -exp (-y) met de beginvoorwaarden x = 0, y = -1 in het interval x = [0, 1]

Begin met een stap van 0,1. In grafiek het resultaat.

Oefening 2

Vind door een spreadsheet te gebruiken, numerieke oplossingen voor de volgende tweede graad vergelijking, waarbij en het een functie is van de onafhankelijke variabele t.

en "= - 1/y² met de beginvoorwaarde t = 0; y (0) = 0,5; en '(0) = 0

Zoek de oplossing in het interval [0,5; 1.0] met behulp van een stap van 0,05.

Grafiek het resultaat: en vs t; en 'vs t

Referenties

1. Eurler's methode.Uit Wikipedia genomen.borg
2. Euler Solver. Genomen van.Smaden.com