Booleaanse algebra geschiedenis, stellingen en postulaten, voorbeelden

Hij Booleaanse algebra o Boole's algebra is de algebraïsche notatie die wordt gebruikt voor de behandeling van binaire variabelen. Behandelt studies van elke variabele die slechts 2 mogelijke, complementaire en exclusieve resultaten met elkaar heeft. De variabelen wiens enige mogelijkheid waar of onwaar, correct of onjuist is, aan of uit, vormen bijvoorbeeld de basis van de studie van de Booleaanse algebra.

Boolean Algebra vormt de basis van digitale elektronica, waardoor het behoorlijk aanwezig is in de tijdelijkheid. Het wordt beheerst door het concept van logische poorten, waar de bewerkingen die bekend zijn in traditionele algebra opmerkelijk worden getroffen.

Bron: Pexels.com

[TOC]

Geschiedenis

De Booleaanse algebra werd in 1854 geïntroduceerd door de Engelse wiskundige George Boole (1815 - 1864), die van de tijd een zelfgewezen geleerde was. Zijn bezorgdheid kwam voort uit een bestaand geschil tussen Augustus van Morgan en William Hamilton, over de parameters die dit logische systeem definiëren.

George Boole betoogde dat de definitie van numerieke waarden 0 en 1 overeenkomt met, op het gebied van logica, met interpretatie Niets en universum respectievelijk.

De bedoeling van George Boole was om, door de eigenschappen van algebra, de uitdrukkingen van de propositionele logica te definiëren die nodig is om met binaire variabelen om te gaan.

In 1854 worden de belangrijkste delen van de Booleaanse algebra gepubliceerd in het boek "Een onderzoek naar de wetten van het denken waarop wiskundige theorieën van logica en waarschijnlijkheid zijn gebaseerd ”.

Deze nieuwsgierige titel zou later worden samengevat als "De wetten van het denken "(" De wetten van het denken "). De titel sprong bekend door de onmiddellijke aandacht die het had van de wiskundige gemeenschap van die tijd.

In 1948 paste Claude Shannon het toe in het ontwerp van circuits voor het schakelen. Dit diende als een inleiding tot de toepassing van de Booleaanse algebra binnen het gehele elektronische digitale schema.

Structuur

De elementaire waarden in dit type algebra zijn 0 en 1, die overeenkomen met respectievelijk false en waar. De fundamentele activiteiten in de Booleaanse algebra zijn 3:

- En conjunctie bewerking. Vertegenwoordigd door een punt ( . )). Synoniem van het product.

- Of of disjunctie werking. Vertegenwoordigd door een kruis ( +) .Synoniem van de som.

- Geen operatie of ontkenning. Vertegenwoordigd door het voorvoegsel niet (niet A). Het staat ook bekend als complement.

Als in een set een 2 wetten van interne samenstelling worden aangeduid als een product en som worden gedefinieerd ( .  + ), er wordt gezegd dat de lijst (a . + ) Het is een Booleaanse algebra als en alleen als de lijst voldoet aan de voorwaarde van het zijn van een distributief reticulum.

Het kan u van dienst zijn: rationele nummers: eigenschappen, voorbeelden en bewerkingen

Om een ​​distributief reticulum te definiëren, moeten aan de distributievoorwaarden tussen de gegeven bewerkingen worden voldaan:

. is distributief ten opzichte van de som +                   naar . (b + c) = (a . b) + (a . C)

+ is distributief ten opzichte van het product.                  A + (B . c) = (a +b) . (A + C)

De elementen die de set vormen, moeten binair zijn, dus waarden hebben van Universum of leegte.

Toepassingen

Het grootste applicatiescenario is de digitale branch, waar het dient om de circuits te structureren die de betrokken logische bewerkingen vormen. De kunst van de eenvoud van circuits om processen te optimaliseren, is het resultaat van de juiste toepassing en praktijk van Booleaanse algebra.

Uit de uitwerking van elektrische planken, door de overdracht van gegevens, tot het bereiken van programmering in verschillende talen, kunnen we vaak de algebra van Boole vinden in alle soorten digitale toepassingen.

Booleaanse variabelen zijn heel gebruikelijk bij de programmeerstructuur. Afhankelijk van de gebruikte programmeertaal zijn er structurele bewerkingen van de code die deze variabelen gebruiken. De voorwaardelijke en argumenten van elke taal laten Booleaanse variabelen toe om de processen te definiëren.

Postuleren

Er zijn stellingen die de structurele logische wetten van Booleaanse algebra regeren. Op dezelfde manier worden ze gepostuleerd om de mogelijke resultaten te kennen in verschillende combinaties van binaire variabelen, volgens de uitgevoerd operatie.

Som (+)

De operator Of wiens logisch element Union (U) is, wordt als volgt gedefinieerd voor binaire variabelen:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Product (.))

De operator En waarvan het logische element de kruising (∩ ∩) is, wordt als volgt gedefinieerd voor binaire variabelen:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Tegenover (niet)

De operator Niet wiens logisch element de complement (x) is 'wordt als volgt gedefinieerd voor binaire variabelen:

Niet 0 = 1

Niet 1 = 0

Veel van de postulaten verschillen van hun equivalenten in conventionele algebra. Dit komt door het domein van de variabelen. De toevoeging van universum -elementen in Booleaanse algebra (1 + 1) kan bijvoorbeeld niet het conventionele resultaat van 2 opleveren, omdat het niet tot de elementen van het binaire complex behoort.

Stellingen

Nul regel en eenheid

Elke eenvoudige bewerking waarbij een element met binaire variabelen betrokken is, wordt gedefinieerd:

0 + a = a

1 + a = 1

0 . A = 0

1 . A = A

Gelijke bevoegdheden of idemploynce

Bewerkingen tussen gelijke variabelen worden gedefinieerd als:

Kan u van dienst zijn: congruentie: congruente cijfers, criteria, voorbeelden, oefeningen

A + a = a

NAAR . A = A

Complementatie

Elke bewerking tussen een variabele en de aanvulling ervan wordt gedefinieerd als:

A + niet a = 1

NAAR . Niet a = 0

Involutie of dubbele ontkenning

Alle dubbele ontkenning zal worden beschouwd als de natuurlijke variabele.

Niet (niet a) = a

Commutatief

A + B = B + A; Zomer van de som.

NAAR . B = B . NAAR ; Productcommutiviteit.

Associatief

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Sum Associativity.

NAAR . (B . C) = (a . B) . C = A . B . C; Product -associativiteit.

Distributief

A + (B . C) = (a + b) . (A + c); Distribueer de som met betrekking tot het product.

NAAR . (B + c) = (a . B) + (a + c); Productverdeling met betrekking tot de som.

Absorptiewetten

Er zijn veel absorptiewetten tussen meerdere referenties, enkele van de bekendste zijn:

NAAR . (A + b) = a

NAAR . (Niet a + b) = a . B

Geen (a + b) = niet a . B

(A + B) . (A + niet b) = a

A + A . B = A

A + niet een . B = A + B

Geen + a . B = niet A + B

NAAR . B + A . Niet b = a

Morgan's stelling

Het zijn transformatiewetten, die paren van variabelen beheren die interageren tussen de gedefinieerde bewerkingen van de Booleaanse algebra ( + . )).

OPMERKING . B) = niet a + niet b

Niet (a +b) = niet a . Niet b

A + B = niet (niet A + niet B)

NAAR . B = niet (geen . Niet b)

Dualiteit

Alle postulaten en stellingen hebben de kracht van dualiteit. Dit houdt in dat door de variabelen en bewerkingen uit te wisselen, de resulterende propositie wordt geverifieerd. Dat wil zeggen, bij het uitwisselen van 0 voor 1 en en en of vice versa; Er wordt een uitdrukking gemaakt die ook volledig geldig zal zijn.

Bijvoorbeeld als u het postulaat neemt

1 . 0 = 0

En dualiteit wordt toegepast

0 + 1 = 1

Een ander perfect geldig postulaat wordt verkregen.

Karnaugh -kaart

Karnaugh's kaart is een diagram dat wordt gebruikt in Booleaanse algebra om de logische functies te vereenvoudigen. Het bestaat uit een twee -dimensionale regeling vergelijkbaar met de waarheidstabellen van propositionele logica. Real Tables -gegevens kunnen direct worden belichaamd op de Karnaugh -kaart.

De kaart van Karnaugh kan processen van maximaal 6 variabelen huisvesten. Voor functies met een groter aantal variabelen wordt het gebruik van software om het proces te vereenvoudigen aanbevolen.

Voorgesteld in 1953 door Maurice Karnaugh, werd het opgericht als een vast hulpmiddel op het gebied van Boole.

Voorbeelden

Booleaanse algebra dient om logische deuren in een circuit te verminderen, waar de prioriteit is om de complexiteit of het niveau van het circuit tot zijn minimaal mogelijke uitdrukking te brengen. Dit komt door de berekeningsvertraging die elke deur veronderstelt.

In het volgende voorbeeld zullen we de vereenvoudiging van een logische uitdrukking waarnemen tot de minimale uitdrukking, met behulp van de stellingen en postulaten van de Booleaanse algebra.

Niet (ab + a + b) . Niet (a + niet b)

Niet [a (b + 1) + b] . Niet (a + niet b); Rekening houdend met de A met gemeenschappelijke factor.

Kan u van dienst zijn: berekening van benaderingen met behulp van differentiëlen

Niet [a (1) + b] . Niet (a + niet b); Door stelling a + 1 = 1.

Niet (a + b) . Niet (a + niet b); Door stelling a . 1 = A

( OPMERKING . Niet b) . [ OPMERKING . Niet (niet b)];

Door stelling van Morgan niet (a + b) = niet een . Niet b

( OPMERKING . Niet b) .  ( OPMERKING . B); Door dubbele ontkenning stelling niet (niet a) = a

OPMERKING . Niet b . OPMERKING . B; Algebraïsche groep.

OPMERKING . OPMERKING . Niet b . B; Productcommutiviteit tot . B = B . NAAR

OPMERKING . Niet b . B; Door stelling a . A = A

OPMERKING . 0; Door stelling a . Niet a = 0

0; Door stelling a . 0 = 0

NAAR . B . C + niet a + a . Niet b . C

NAAR . C . (B + niet b) + niet a; Factoriseren (a . C) met gemeenschappelijke factor.

NAAR . C . (1) + niet a; Door stelling a + niet a = 1

NAAR . C + niet a; Door nul regel overheid en eenheid 1 . A = A

Geen + c ; Bij wet van Morgan tot + niet een . B = A + B

Voor deze oplossing moet de wet van Morgan worden uitgebreid om te definiëren:

Niet (niet a) . C + niet a = niet a + c

Omdat niet (niet a) = a door involutie.

Vereenvoudig de logische functie

OPMERKING . Niet b . Niet c + geen . Niet b . C + niet een . Niet C tot de minimale uitdrukking

OPMERKING . Niet b . (Niet c + c) + geen . Niet C; Factoriseren (geen . Niet b) met een gemeenschappelijke factor

OPMERKING . Niet b . (1) + geen . Niet C; Door stelling a + niet a = 1

(OPMERKING . Niet b) + (geen . Niet C);  Door nul regel overheid en eenheid 1 . A = A

Niet a (niet b + niet c); Behandeling niet met een gemeenschappelijke factor

OPMERKING . Niet b . C); Door wetten van Morgan niet (a . B) = niet a + niet b

Niet [a + (b . C)] Door wetten van Morgan niet (a . B) = niet a + niet b

Elk van de 4 gewaagde opties is een mogelijke oplossing om het circuitniveau te verminderen

Vereenvoudig de logische functie tot de minimale uitdrukking

( NAAR . Niet b .  C + A . Niet b . B . D+ geen . Niet b) . C

( NAAR . Niet b . C + A . 0 . D + geen . Niet b) . C; Door stelling a . Niet a = 0

( NAAR . Niet b . C + 0 + niet a . Niet b) . C; Door stelling a . 0 = 0

( NAAR . Niet b . C + niet een . Niet b) . C; Door stelling a + 0 = a

NAAR . Niet b . C . C + niet een . Niet b . C; Door distributiviteit van het product ten opzichte van de som

NAAR . Niet b . C + niet een . Niet b . C; Door stelling a . A = A

Niet b . C (a + niet a) ; Factoriseren (niet B . C) met gemeenschappelijke factor

Niet b . C (1); Door stelling a + niet a = 1

Niet b . C; Door nul regel overheid en eenheid 1 . A = A

Referenties

1. Booleaanse algebra en zijn J -applicaties. Eldon Whitesitt. Continental Editorial Company, 1980.
2. Wiskunde en engineering in informatica. Christopher J. Van Wyk. Instituut voor computerwetenschappen en technologie. National Bureau of Standards. Washington, D. C. 20234
3. Wiskunde voor informatica. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elementen van abstracte analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Afdeling Wiskunde. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Inleiding tot logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Universiteit krant.