Kepler wetten uitleg, oefeningen, experimenteren

De Kepler -wetten Over de planetaire beweging werden geformuleerd door de Duitse astronoom Johannes Kepler (1571-1630). Kepler leidde ze af op basis van het werk van zijn leraar Deense astronoom Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe heeft de gegevens gedurende meer dan 20 jaar zorgvuldig samengesteld uit de planetaire bewegingen, met verrassende nauwkeurigheid en nauwkeurigheid, als er rekening mee wordt gehouden dat de telescoop op het moment dat de telescoop was uitgevonden nog niet. De geldigheid van uw gegevens is vandaag nog steeds geldig.

Figuur 1. De banen van de planeten volgens de wetten van Kepler. Bron: Wikimedia Commons. Wilg/cc door (https: // creativeCommons.Org/licenties/door/3.0)

[TOC]

Kepler's 3 wetten

De wetten van Kepler bepalen:

-Eerste wet: Alle planeten beschrijven elliptische banen met de zon in een van de schijnwerpers.

-Tweede wet of wet van hetzelfde: Een lijn gericht van zon naar elke planeet (focale radio), veeg gelijke gebieden in gelijke tijden.

Figuur 2. Wet van de gebieden. Bron: Wikimedia Commons. Gonfer/cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)

-Derde wet: Het kwadraat van de tijd dat een orbitale planeet rond de zon kost, is evenredig met de kubus van de gemiddelde afstand tot de zon.

Zijn T zei tijd, gebeld Omlooptijd, En R De gemiddelde afstand, dan:

T² is evenredig met r³

T = k r³

Dit betekent dat het quotiënt T²/ R³ Het is hetzelfde voor alle planeten, waardoor het mogelijk is om de orbitale straal te berekenen, als de orbitale periode bekend is.

Wanneer T Het wordt in jaren uitgedrukt en R In astronomische eenheden ua*, is de evenredigheidsconstante K = 1 waard:

T²= r³

*Een astronomische eenheid is gelijk aan 150 miljoen kilometer, wat de gemiddelde afstand is tussen de aarde en de zon. De orbitale periode van de aarde is 1 jaar.

De universele zwaartekrachtwet en de derde wet van Kepler

De universele zwaartekrachtwet stelt vast dat de omvang van de zwaartekrachtenkracht tussen twee massaobjecten M En M respectievelijk wiens centra een afstand zijn gescheiden R, Het wordt gegeven door:

F = g mm /r²

G is de universele zwaartekrachtconstante en de waarde ervan is g = 6.674 x 10 ^-elf N.M²/kg² .

Nu zijn de banen van de planeten elliptisch met een zeer kleine excentriciteit.

Dit betekent dat de baan niet veel weggaat van een cirkel, behalve in sommige gevallen zoals de dwerg pluto. Als we de banen naar de cirkelvormige vorm benaderen, is de versnelling van de beweging van de planeet:

naar_C = V²/R

Gezien F = MA, hebben:

G mm /r² = m.v²/R

Hier v Het is de lineaire snelheid van de planeet rond de zon, statische en massa veronderstelling M, terwijl de planeet is M. Dus:

Kan u van dienst zijn: belangrijke cijfers: regels, voorbeelden, opgeloste oefeningen

Dit verklaart dat de planeten het verst van de zon een lagere orbitale snelheid hebben, omdat deze afhankelijk is van 1/√r.

Aangezien de afstand die de planeet reist ongeveer de lengte van de omtrek is: l = 2πr en het duurt een gelijke tijd t, de orbitale periode, wordt deze verkregen:

V = 2πr /t

Het egaliseren van beide uitdrukkingen voor v Een geldige uitdrukking voor t wordt verkregen², Het vierkant van de orbitale periode:

En dit is precies de derde wet van Kepler, omdat in deze uitdrukking de haakjes 4π² /GM Het is daarom constant T² is evenredig met afstand R verheven tot de kubus.

De definitieve vergelijking voor de orbitale periode wordt verkregen door vierkante wortel te extraheren:

Het berekenen van de massa van de zon

Hoeveel is de massa van de zon? Het is mogelijk om erachter te komen via deze vergelijking. We weten dat de orbitale periode van de aarde een jaar is en de orbitale straal 1 UA is, gelijk aan 150 miljoen kilometer, dus we hebben alle benodigde gegevens.

In onze vorige vergelijking zijn we duidelijk M, maar niet voordat je alle waarden omzet in het internationale systeem van eenheden als:

1 jaar = 3.16 x 10⁷ seconden.

1 UA = 150 miljoen km = 1.5 x10^elf M.

En door de gegevens in de vergelijking te vervangen, verkrijgen we een vrij succesvolle schatting van de zon van de zon in 2.0 x 10 ³⁰ kg.

Opdrachten

Hoewel Kepler alleen de planeten in gedachten had toen hij zijn beroemde wetten heeft afgeleid, zijn deze ook geldig voor de beweging van satellieten en de andere lichamen van het zonnestelsel, zoals we daarna zullen zien.

- Oefening 1

Wetende dat de baan van Jupiter 5 is.19 keer groter dan die van de aarde, vind de orbitale periode van Jupiter.

Oplossing

Volgens de definitie van de astronomische eenheid is Jupiter van de zon 5.19 UA daarom volgens de derde wet van Kepler:

T²= r³= (5.19)³ jaar

Daarom T = (5.19)^3/2  Jaren = 11.8 jaar

- Oefening 2

Halley Comet bezoekt elke 75 de zon.3 jaar. Vinden:

a) de belangrijkste semi -heren van zijn baan.

b) de maat van het apelium, als het perihelium 0 meet 0.568 UA.

Oplossing

Halley Comet bezoekt elke 75 de zon.3 jaar. Vinden:

a) de belangrijkste semi -heren van zijn baan.

b) de maat van het apelium, als het perihelium 0 meet 0.568 UA.

Oplossing voor

Wanneer een planeet of een andere ster het dichtst bij de zon ligt, wordt gezegd dat deze in de Perihelio, En wanneer het verder is, in lof. In het speciale geval van een cirkelvormige baan is R in de derde wet van Kepler de straal van de baan.

Kan u van dienst zijn: Antoine -constanten: formules, vergelijkingen, voorbeelden

In de elliptische baan is het hemelse lichaam echter min of meer weg van de zon, omdat het semi -major "a" het gemiddelde tussen de aprotess en het perihelium is:

figuur 3. Aflio en Perihelio. Bron: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public Domain

Daarom vervangen we R door A in Kepler's derde wet, die resulteert voor Halley in:

T²= A³→ a = (t)²³ → a = (75.3) ²³ UA = 17.832 UA

Oplossing B

A = ½ (Perihelio + Apelio)

17.832 = ½ (0.568+ Aflio) → Aflio = 2 x 17.832 - 0.568 UA = 35.10 UA.

Experiment

Analyseer de beweging van de planeten vereist weken, maanden en zelfs jaren van zorgvuldige observatie en registratie. Maar in het laboratorium kan een heel eenvoudig experiment worden uitgevoerd om te bewijzen dat de wet van Kepler's gelijken is vervuld.

Hiervoor is een fysiek systeem vereist waarin de kracht die de beweging regelt centraal staat, voldoende voorwaarde voor de wet van de gebieden die moeten worden vervuld. Een dergelijk systeem bestaat uit een massa gebonden aan een lang touw, met het andere uiteinde van de vaste draad aan een ondersteuning.

Het deeg scheidt een kleine hoek van zijn evenwichtspositie en wordt een lichte impuls afgedrukt, zodat het een ovale (bijna elliptische) beweging op het horizontale vlak uitvoert, alsof het een planeet rond de zon is.

Op de door de slinger beschreven curve kunnen we bewijzen dat het gelijke gebieden in gelijke tijden veegt, ja:

-We beschouwen vectorradio's variërend van het midden van de aantrekkingskracht (initiële evenwichtspunt) tot de positie van de massa.

-En wij barmos tussen twee opeenvolgende momenten van gelijke duur, in twee verschillende delen van de beweging.

Hoe langer de slingerdraad en hoe lager de hoek die van de verticaal afwijkt, de netto herstelkracht zal horizontaaler zijn en de simulatie lijkt op de zaak van de beweging met centrale kracht in een vlak.

Dan benadert de beschreven ovaal een ellips, zoals die welke de planeten reizen.

Materialen

-Intextensible thread

-1 deeg of metalen bal geverfd wit dat fungeert als slinger linzen

-Liniaal

-Transportband

-Fotocamera met automatische stroboscoopschijf

-Steunt

-Twee bronnen van verlichting

-Een vel papier of zwart karton

Het kan u van dienst zijn: Big Crunch Theory: History, Principles, Data for and Against

Procedure

De assemblage van de figuur is nodig om foto's te maken van meerdere flitsen van de slinger naarmate het traject volgt. Om dit te doen, moet je de camera net boven de slinger en het Automatic Strobe -album voor de lens plaatsen.

Figuur 4. Pendulumassemblage om te controleren of het gelijke gebieden in gelijke tijden veegt. Bron: PSSC Laboratory Guide.

Op deze manier worden afbeeldingen verkregen op regelmatige tijdsintervallen van de slinger, bijvoorbeeld elke 0.1 of elke 0.2 seconden, waardoor de tijd die nodig was om van het ene punt naar het andere te gaan weten.

U moet ook de massa van de slinger handig verlichten, waardoor de lichten aan beide kanten worden gelegd. De linzen moet wit worden geverfd om het contrast op de achtergrond te verbeteren, dat bestaat uit een uitgebreid zwart papier op de grond.

Nu moet je controleren of de slinger in gelijke tijden gelijke gebieden veegt. Hiervoor wordt een tijdsinterval gekozen en de punten die door de slinger in het genoemde interval worden bezet, zijn op papier gemarkeerd.

Op de afbeelding wordt een lijn getrokken van het midden van het ovaal naar deze punten en dus hebben we de eerste van de gebieden die door de slinger worden geveegd, wat ongeveer een elliptische sector is zoals die hieronder wordt getoond:

Figuur 5. Gebied van een elliptische sector. Bron: f. Zapata.

Berekening van het elliptische sectiegebied

De hoeken worden gemeten met de transportband θ_of En θ₁, En deze formule wordt gebruikt om S te vinden, het gebied van de elliptische sector:

S = F (θ₁) - F (θ_of))

Met F (θ) gegeven door:

Let daar op naar En B Ze zijn respectievelijk de semi -senijes groter en klein. De lezer moet alleen maar zorgen om de semi -mess en hoeken zorgvuldig te meten, omdat er online rekenmachines zijn om deze uitdrukking gemakkelijk te evalueren.

Als u er echter op staat om de berekening met de hand te maken, moet u onthouden dat de hoek θ in graden wordt gemeten, maar op het moment van het invoeren van de gegevens naar de rekenmachine moeten de waarden worden uitgedrukt in radianen.

Vervolgens moet u nog een paar punten markeren waarin de slinger hetzelfde tijdsinterval heeft geïnvesteerd en het overeenkomstige gebied tekenen, de waarde berekenen met dezelfde procedure.

Verificatie van de wet van gelijke gebieden

Ten slotte blijft het verifiëren dat de wet van de gebieden is vervuld, dat wil zeggen dat in gelijke tijden gelijke gebieden vegen.

Wijken de resultaten een beetje af van wat verwacht? U moet er rekening mee houden dat alle maatregelen gepaard gaan met hun respectieve experimentele fout.

Referenties

1. Keisan online calculator. Oppervlak van een calculator van elliptische sector. Hersteld van: Keisan.Casio.com.
2. Openentax. Kepler's wet van planetaire beweging. Opgehaald uit: OpenStax.borg.
3. PSSC. Laboratoriumfysica. Redactioneel teruggekeerd. Hersteld van: boeken.Google.co.
4. Palen, s. 2002. Astronomie. Schaum -serie. McGraw Hill.
5. Pérez r. Eenvoudig systeem met centrale kracht. Hersteld van: Francesphysics.Blogspot.com
6. Stern, D. De drie Kepler -wetten van de planetaire beweging. Hersteld van: phy6.borg.