Hiërarchie van operaties

Hiërarchie van wiskundige bewerkingen. Bron: f. Zapata.

Wat is de hiërarchie van operaties?

De Hiërarchie van operaties Wiskunde bestaat uit een reeks regels die de prioriteit van de verschillende bewerkingen in een berekening vaststellen. Sommige bewerkingen moeten eerst en later worden uitgevoerd om het juiste resultaat te garanderen.

Het is gebruikelijk dat er in dezelfde berekening symbolen zijn van groepering, bedragen, aftrekking, vermenigvuldigingen, divisies en krachten, en dan is het de moeite waard om te vragen welke van ze allemaal begint.

Bijvoorbeeld in de volgende bewerking:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)²

Welk deel ervan wordt eerst gemaakt?

Om dubbelzinnigheden te voorkomen, hebben wiskundigen vastgesteld dat elke operatie een ander niveau of hiërarchie heeft die de volgorde van de realisatie ervan aangeeft, hoewel dezelfde berekening niet noodzakelijkerwijs alle niveaus bevat.

In het voorgestelde voorbeeld is de eerste bewerking om haakjes te elimineren, de bewerking op te lossen die erin wordt aangegeven en vervolgens het vierkant uit te voeren, vervolgens de vermenigvuldigingen en uiteindelijk de bedragen uit te voeren:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Met een beetje oefening en wat geheugen helpt het niet moeilijk om altijd het juiste resultaat te verkrijgen in een wiskundige bewerking.

Bewerkingsniveaus: PEMDAS

De hiërarchie van operaties bestaat uit 4 niveaus:

• Eerste level:  PArmentese en andere groepsborden (indien aanwezig)
• Tweede verdieping: ENXponenten en wortels
• Derde niveau: MUltiplicaties en DIvisies
• Vierde niveau:  NAARDicties en SUltracties

Merk op dat de initialen van elke bewerking vetgedrukt worden gemarkeerd: P-E-MD-AS het woord vormen Pemdas.

Dit woord dient als een herinnering voor de volgorde waarin bewerkingen moeten.

Zodra de hiërarchie is vastgesteld, zal een reeks indicaties worden gegeven om te werken met de tekenen van groepering en ten slotte veel voorbeelden en opgeloste oefeningen die elk uitlegde punt verduidelijken.

Bewerkingen met en zonder tekenen van groepering

Om operaties uit te voeren met en zonder tekenen van groepering, zijn deze aanwijzingen om in gedachten te houden:

• De symbolen of tekenen van groepering worden gebruikt om berekeningen te vergemakkelijken, waarbij een specifieke volgorde voor elke bewerking wordt uitgedrukt. Het begint met het oplossen van de bewerkingen in het meest interne teken, dat meestal een haakjes is, dan degene die volgt en uiteindelijk de buitenste. De meest gebruikte groepsborden zijn: haakjes (), beugels [] en toetsen .
• Er moet te allen tijde rekening worden gehouden met de wet van de tekens en moet u van toepassing zijn op het type bewerking dat wordt uitgevoerd:
  • Een groep groep voorafgegaan door een + teken wordt geëlimineerd zonder dat het nodig is om de tekenen van de inhoud te wijzigen. Voorbeeld: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Wanneer de tekenen van groep voorafgegaan door een bord worden geëlimineerd, moet u de tekenen van de inhoud wijzigen. Voorbeeld: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Cruz "×" symbolen en gemiddelde hoogte "∙".
• Als groepen haakjes zonder enig teken ertussen verschijnen, is dit een vermenigvuldiging, of als er een nummer naast een haakjes verschijnt, vermenigvuldigt het de inhoud. Voorbeelden: (−5) (4) = −20 en 7 (5+1) = 42.
• Voor zowel vermenigvuldiging als verdeling stelt de wet van de tekens dat:
  • Het product of de verhouding van twee aantallen gelijk teken is altijd positief. Voorbeeld: (−3) × (−4) = 12
  • Wanneer u het product of de verhouding hebt van twee aantallen verschillende tekens, is het resultaat altijd negatief. Voorbeeld: (−48) ÷ 6 = −8
• Wanneer de bewerking geen tekenen van groepering heeft, wordt deze volgorde gevolgd: eerst worden de exponenten en wortels opgelost als dat zijn, dan de vermenigvuldigingen en divisies en uiteindelijk de bedragen en de aftrekkingen.
• Bewerkingen met dezelfde hiërarchie worden van links naar rechts uitgevoerd.

Kan u van dienst zijn: quota -bemonstering: methode, voor-, nadelen, voorbeelden

Stap voor stap voorbeelden

Voorbeelden van het gebruik van de hiërarchie van rekenkundige bewerkingen om operaties op te lossen

Voorbeeld 1: bewerkingen zonder borden te groeperen

Los de volgende bewerkingen op zonder tekenen van groepering:

a) 3 + 5 - 4 + 14

Deze bewerking bestaat alleen uit bedragen en aftrekking, die op hetzelfde niveau zijn en bijvoorbeeld tegelijkertijd kunnen werken:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

b) −8 + 3 × 4 + 31

Hier moet de vermenigvuldiging 3 × 4 = 12 eerst worden opgelost, dan gaan we verder met het toevoegen van welke resultaten ervan:

−8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

C) 3³ - 44 + 2

De bewerking bevat een vermogen, dus deze is eerst opgelost 3³ = 27 En dan welke resultaten:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 −4² + 10 ÷ 2 - 26

Deze bewerking bevat kracht, vermenigvuldiging, divisie en aftrekking. Power 4² = 16 gaat eerst:

4 × 3−4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26

Volg vervolgens de vermenigvuldiging en divisie 4 × 3 = 12 en 10 ÷ 2 = 5

4 × 3−16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12−16 + 5 - 26

En het resultaat wordt toegevoegd:

12−16 + 5 - 26 = - 25

Voorbeeld 2: bewerkingen met tekenen van groepering

Los de volgende bewerkingen op met groeperingssymbool, rekening houdend met dat de bewerking die het symbool omsluit, moet eerst worden uitgevoerd en vervolgens de wet van de borden toepassen.

a) 4 × 2 (3+6) ÷ 3

De haakjes moet eerst worden geëlimineerd. Bij het oplossen van de bewerking die het symbool bevat, wordt deze verkregen:

4 × 2 (3+6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

Op deze manier wordt een operatie met product en quotiënt verkregen. Merk op dat de 2 die aan de haakjes voorafgaat, ook een product symboliseert, hoewel het vermenigvuldigingssymbool niet verschijnt, daarom kan het worden geschreven:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Deze bewerkingen hebben dezelfde prioriteit, dus ze worden tegelijkertijd opgelost, beginnend van links naar rechts:

Kan u van dienst zijn: gespreide functie: kenmerken, voorbeelden, oefeningen

= 72 ÷ 3 = 24

b) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Hier wordt de bewerking uitgevoerd binnen de haakjes en bereken de kracht:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Dan wordt de aangegeven divisie uitgevoerd:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Eindelijk de bedragen en aftrekking:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

In deze bewerking wordt de haakjes eerst opgelost, omdat deze het meest interne groepssymbool is:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20]

Nu is er een kracht in de beugel, die een negatief geheel getal met zich meebrengt. Het is bekend dat als de basis negatief is en de exponent vreemd is, het resultaat negatief is, dus het meest handig is om deze bewerking op te lossen:

4 5 - [6 + (−2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Vervolgens wordt de wet van tekens toegepast op het quotiënt (−8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 en de volgende overblijfselen:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

In de volgende stap wordt de beugel geëlimineerd en merkt hij op dat deze wordt voorafgegaan door een negatief teken, wat betekent dat de inhoud van de tekenen in de beugel zou moeten veranderen:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Opgemerkt wordt dat er een divisie in de beugel is die nog niet is uitgevoerd en moet worden uitgevoerd, omdat de sleutels, als een groepssymbool, wijst dat deze bewerking prioriteit heeft:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

Kan u van dienst zijn: opmerkelijke producten

Nogmaals, de bewerking tussen de sleutels heeft prioriteit:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Aangezien er geen symbool is tussen 4 en de hoeveelheid tussen de toetsen, is het een vermenigvuldiging:

4 - 17 = - 68

Opgeloste oefeningen

Bepaal het resultaat van de volgende bewerkingen:

a) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10-22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Oplossing voor

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12−16 + 86 = 82

Oplossing B

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Referenties

1. Baldor, een. 2007. Praktische theoretische rekenkunde. Redactionele groep Patria s.NAAR. van C.V.
2. Geniet van wiskunde. De volgorde van PEMDAS -operaties. Hersteld van: geniet van Matimaticas.com
3. Monterey Institute. Volgorde van bewerkingen. Hersteld van: Montereyinstitute.borg.
4. Chihuahua Technological University. Wiskunde nivellering cursus. Hersteld van: www.utch.Edu.mx.