Homotecia

De Homotecia Het is een geometrische verandering in het vlak waar, vanaf een vast punt dat centrum (O) wordt genoemd, afstanden worden vermenigvuldigd met een gemeenschappelijke factor. Op deze manier komt elk punt P overeen met een ander punt van de transformatie, en deze zijn afgestemd op het punt of.

Dan is homotecia een correspondentie tussen twee geometrische figuren, waarbij de getransformeerde punten homothetisch worden genoemd, en deze worden uitgelijnd met een vast punt en met parallelle segmenten met elkaar.

Verklaring en formule

Homotecia is een transformatie die geen congruent beeld heeft, omdat ze uit een figuur een of meer cijfers van meer of minder grootte zullen verkrijgen dan de oorspronkelijke figuur; dat wil zeggen, homotecia transformeert een polygoon in een ander soortgelijk.

Om Homotecia te laten vervullen, moeten punt -tot -punt en rechte lijn overeenkomen, zodat paren van homologe stippen zijn uitgelijnd met een derde vast punt, dat het centrum van Homotecia is.

Evenzo moeten de paren lijnen die zich verenigen evenwijdig zijn. De relatie tussen dergelijke segmenten is een constant genaamd Homotecia (k) reden; Op zo'n manier dat Homotecia kan worden gedefinieerd als:

Om dit soort transformatie te maken, begint een willekeurig punt, dat het centrum van Homotecia zal zijn.

Vanaf dit punt worden lijnsegmenten getekend voor elk hoekpunt van de figuur die moet worden getransformeerd. De schaal waarop de reproductie van het nieuwe figuur wordt gemaakt, wordt gegeven om de reden voor Homotecia (K).

Homotecia -eigenschappen

Een van de belangrijkste eigenschappen van Homotecia is dat om de reden voor Homotecia (K) alle homothetische figuren vergelijkbaar zijn. Onder andere uitstekende eigenschappen zijn de volgende:

Het kan u van dienst zijn: samengestelde evenredigheid: uitleg, drie samengestelde regel, oefeningen

- Het Homotecia Center (O) is het enige dubbele punt en het transformeert zichzelf; dat wil zeggen, het varieert niet.

- De lijnen die door het centrum gaan, worden zichzelf (ze zijn dubbel), maar de punten die het vormen zijn niet dubbel.

- De lijnen die niet door het midden gaan, worden omgezet in parallelle lijnen; Op deze manier blijven de Homotecia -hoeken gelijk.

- Het beeld van een segment door een centrum homotecia of en reden k, is een segment evenwijdig aan en heeft k maal zijn lengte. Zoals te zien in de volgende afbeelding, zal een AB -segment voor Homotecia bijvoorbeeld een ander A'B -segment zijn ', zodat AB parallel zal zijn aan A'b' en de k zal zijn:

- Homotetische hoeken zijn congruent; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maatregel. Daarom is het beeld van een hoek een hoek die dezelfde amplitude heeft.

Aan de andere kant moet Homotecia worden gevarieerd, afhankelijk van de waarde van zijn reden (k), en de volgende gevallen kunnen optreden:

- Als de constante k = 1, zijn alle punten vastgesteld omdat ze zichzelf transformeren. De homothetische figuur valt dus samen met het origineel en de transformatie zal de identiteitsfunctie worden genoemd.

- Als k ≠ 1, is het enige vaste punt het centrum van Homotecia (O).

- Als k = -1 wordt homotecia een centrale symmetrie (c); Dat wil zeggen, een rotatie zal optreden rond C, onder een hoek van 180^of.

- Als k> 1, zal de grootte van de getransformeerde figuur groter zijn voor de grootte van het origineel.

Kan u van dienst zijn: irrationele getallen: geschiedenis, eigenschappen, classificatie, voorbeelden

- JA 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- JA K < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Soorten homotecia

Homotecia kan ook worden ingedeeld in twee typen, afhankelijk van de waarde van zijn reden (k):

Directe homotecia

Treedt op als de constante k> 0; Dat wil zeggen, homotetische punten zijn aan dezelfde kant ten opzichte van het midden:

De evenredigheidsfactor of gelijkenisverhouding tussen directe homothetische figuren zal altijd positief zijn.

Omgekeerde homotecia

Treedt op als de constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

De evenredigheidsfactor of gelijkenisverhouding tussen de inverse homothetische figuren zal altijd negatief zijn.

Samenstelling

Wanneer verschillende bewegingen achtereenvolgens worden uitgevoerd totdat een cijfer gelijk is aan het origineel, treedt er een samenstelling van bewegingen op. De samenstelling van verschillende bewegingen is ook een beweging.

De samenstelling tussen twee homotecia resulteert in een nieuwe homotecia; Dat wil zeggen, er is een homotecia -product waarin het centrum zal worden afgestemd op het midden van de twee oorspronkelijke transformaties, en de reden (k) is het product van de twee redenen.

Dus in de samenstelling van twee homoties h₁(OF₁, k₁) en h₂(OF₂, k₂), De vermenigvuldiging van uw redenen: K₁ X K₂ = 1 zal resulteren in een homotecia van reden k₃ = K₁ X K₂. Het centrum van deze nieuwe homotecia (of₃) bevindt zich op de lijn of₁ OF₂.

Het kan u van dienst zijn: tegenovergestelde hoeken door het hoekpunt (met een opgeloste oefening)

Homotecia komt overeen met een platte en onomkeerbare verandering; Als twee homotecia van toepassing zijn die hetzelfde centrum en reden hebben, maar met een ander teken, wordt het oorspronkelijke figuur verkregen.

Homotecia -voorbeelden

1. Eerste voorbeeld

Breng een homotecia aan op de gegeven polygoon van het midden (O), gelegen op 5 cm van punt A en wiens reden is k = 0,7.

Oplossing

Elk punt wordt gekozen als het centrum van Homotecia, en hieruit worden ze verhandeld door de hoekpunten van de figuur:

De afstand van het midden (O) tot het punt A is OA = 5; Hiermee kunt u de afstand van een van de homotetische punten (OA ') bepalen, ook wetende dat K = 0,7:

Oa '= k x oa.

Oa '= 0,7 x 5 = 3,5.

Het proces kan voor elk hoekpunt worden gedaan, of u kunt ook de homothetische polygoon tekenen die zich herinnert dat de twee polygonen parallelle zijden hebben:

Ten slotte wordt de transformatie als volgt gezien:

2. Tweede voorbeeld

Breng een homotecia aan op de gegeven polygoon van het midden (O), gelegen 8,5 cm van punt C en wiens en reden K = -2.

Oplossing

De afstand van het midden (O) tot punt C is OC = 8,5; Met deze gegevens is het mogelijk om de afstand van een van de homotetische punten (oc ') te bepalen, ook wetende dat k = -2:

Oc '= k x oc.

Oc '= -2 x 8.5 = -17

Na het tekenen van de segmenten van de hoekpunten van de getransformeerde polygoon, bevinden de initiële punten en hun homotetica zich aan de tegenovergestelde uiteinden ten opzichte van het midden: