Inverse trigonometrische functies, afgeleide, voorbeelden, oefeningen

De Inverse trigonometrische functies, Zoals de naam al aangeeft, zijn ze de overeenkomstige omgekeerde functies van de sinus, cosinus, raaklijn, cotangent, droog- en oogstfuncties.

Inverse trigonometrische functies worden aangegeven met dezelfde naam als de overeenkomstige directe trigonometrische functie plus het voorvoegsel BOOG. Dus:

1.- Arcsen (X) Het is de omgekeerde trigonometrische functie van de functie Sin (x)

2.- Arccos (x) Het is de omgekeerde trigonometrische functie van de functie Cos (x)

3.- Arctan (x) Het is de omgekeerde trigonometrische functie van de functie Tan (x)

4.- Arccot ​​(x) Het is de omgekeerde trigonometrische functie van de functie COT (x)

5.- Arcsec (x) Het is de omgekeerde trigonometrische functie van de functie Sec (x)

6.- Arccsc (x) Het is de omgekeerde trigonometrische functie van de functie CSC (x)

Figuur 1. Arcsen -functies (x) (in rood) en arccos (x) (in blauw). Bron: Wikimedia Commons.

De functie θ = arcsen (x) Het resulteert in een eenheidsboog θ (of hoek in radianen θ) zoals dat sin (θ) = x.

Dus bijvoorbeeld arcsen (√3/2) = π/3 Omdat zoals bekend is, is de borst van π/3 radialen gelijk aan √3/2.

[TOC]

Hoofdwaarde van inverse trigonometrische functies

Zodat een wiskundige functie f (x) inverse g (x) = f heeft^-1(x) Het is noodzakelijk dat deze functie is Injectief, Wat betekent dat elke waarde en de aankomstset van de functie f (x) afkomstig is van één en slechts een X -waarde.

Het is duidelijk dat deze vereiste niet wordt voldaan door een trigonometrische functie. Om het punt te verduidelijken, laten we opmerken dat de waarde y = 0,5 op de volgende manieren kan worden verkregen uit de sinusfunctie:

• sin (π/6) = 0,5
• sin (5π/6) = 0,5
• sin (7π/6) = 0,5

En nog veel meer, omdat de sinusfunctie periodiek is met periode 2π.

Het kan u van dienst zijn: veelvouden van 8: wat zijn en uitleg

Om inverse trigonometrische functies te definiëren, is het noodzakelijk om het domein van hun overeenkomstige directe trigonometrische functies te beperken, zodat zij voldoen aan de injectiviteitsvereiste.

Dit beperkte domein van directe functie is het hoofdbereik of de tak van de overeenkomstige omgekeerde functie.

Figuur 2. Arctan -functies (x) (in rood) en arccot ​​(x) (in blauw). Bron: Wikimedia Commons.

Tabel van domeinen en bereiken van omgekeerde trigonometrische functies

figuur 3. Arcsec (x) (in rood) en arccsc (x) (in blauw) functies (in blauw). Bron: Wikimedia Commons.

Afgeleid van omgekeerde trigonometrische functies

Om de derivaten van de omgekeerde trigonometrische functies te verkrijgen, worden de eigenschappen van de derivaten toegepast, met name die van een omgekeerde functie.

Als we voor f (y) aan de functie aangeven en door f^-1(x) aan de omgekeerde functie, is de afgeleide van de omgekeerde functie gerelateerd aan de afgeleide van de directe functie door de volgende relatie:

[F^-1(x)] '= 1/ f' [f^-1(X)]

Bijvoorbeeld: als x = f (y) = √y de directe functie is, zal het inverse zijn

y = f^-1(x) = x². Laten we de regel van de omgekeerde afgeleide toepassen op dit eenvoudige geval om te zien dat deze regel is vervuld:

[X²] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ en^-½ = 2 en^½ = 2 (x²))^½ = 2x 

Welnu, we kunnen deze truc beoordelen om die afgeleid te vinden van omgekeerde trigonometrische functies.

We nemen bijvoorbeeld θ = arcsen (x) Als de directe functie, dan zal de omgekeerde functie zijn sin (θ) = x.

[arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sen (θ)²) =…

… = 1 / √ (1 - x²)) .

Op deze manier kunnen al die afgeleid van de omgekeerde trigonometrische functies worden verkregen, die hieronder worden getoond:

Figuur 4. Tabel van die afgeleid van omgekeerde trigonometrische functies. Bron: Wikimedia Commons.

Deze derivaten zijn geldig voor elk Z -argument dat tot complexe getallen behoort en zijn daarom ook geldig voor elk echt argument X, omdat z = x + 0i.

Kan u van dienst zijn: vierhoekig: elementen, eigenschappen, classificatie, voorbeelden

Voorbeelden

- voorbeeld 1

Vind Arctan (1).

Oplossing

De arctan (1) is de eenheidsboog (hoek in radianen) ፀ zodanig dat de tan (ፀ) = 1. Die hoek is ፀ = π/4 omdat SO (π/4) = 1. Dan arctan (1) = π/4.

- Voorbeeld 2

Bereken arcsen (cos (π/3)).

Oplossing

De hoek π/3 radialen is een opmerkelijke hoek waarvan de cosinus ½ is, zodat het probleem wordt gereduceerd tot het vinden van arcsen (½).

Dus het gaat erom de hoek te vinden waarvan de sinus ½ geeft. Die hoek is π/6, omdat Sen (π/6) = Sen (30º) = ½. Daarom arcsen (cos (π/3)) = π/6. 

Opdrachten

- Oefening 1

Zoek het resultaat van de volgende uitdrukking:

SEC (arcan (3)) + CSC (arccot ​​(4))

Oplossing

We beginnen α = arcan (3) en β = arcot (4) te noemen. Dus de uitdrukking die we moeten berekenen is als volgt:

SEC (α) + CSC (β)

De expressie α = arcan (3) is gelijk aan het zeggen van dit te zeggen (α) = 3.

Aangezien de raaklijn het tegenovergestelde been op de aangrenzende been is, is een rechthoekige driehoek van cateto tegen α van 3 eenheden en een aangrenzende categorie van 1 eenheid gebouwd, zodat SO (α) = 3/1 = 3.

In een rechthoekige driehoek wordt de hypotenuse bepaald door de stelling van Pythagoras. Met deze waarden is het √10, zodat:

Sec (α) = hypotenuse / aangrenzende cateto = √10 / 1 = √10.

Evenzo is β = arcot (4) gelijk aan te stellen dat COT (β) = 4.

Een rechthoekige driehoek van cateto grenzend aan β van 4 eenheden en een tegenovergestelde cateto van 1 eenheid is gebouwd, zodat COT (β) = 4/1.

De driehoek wordt onmiddellijk voltooid om zijn hypotenuse te vinden dankzij de stelling van Pythagoras. In dit geval bleek het √17 eenheden te hebben. Dan wordt de CSC (β) = hypotenuse / tegenover Cateto = √17/1 = √17 berekend.

Het kan u van dienst zijn: y = 3Sen (4x) functieperiode

Onthouden dat de uitdrukking die we moeten berekenen is: 

SEC (arcan (3)) + CSC (arcot (4)) = sec (α) + CSC (β) = ..

… = √10 + √17 = 3.16 + 4.12 = 7,28.

- Oefening 2

Vind de oplossingen van:

Cos (2x) = 1 - sen (x)

Oplossing

Het is noodzakelijk dat alle trigonometrische functies in hetzelfde argument of hoek worden uitgedrukt. We zullen de identiteit van de dubbele hoek gebruiken:

Cos (2x) = 1 - 2 sen²(X)

Dan wordt de oorspronkelijke uitdrukking gereduceerd tot:

1 - 2 Sen²(x) = 1 - sin x

Eenmaal vereenvoudigd en gefactoriseerd, wordt het uitgedrukt als:

sin (x) (2 sen (x) - 1) = 0

Die aanleiding geeft tot twee mogelijke vergelijkingen: sin (x) = 0 met oplossing x = 0 en een andere vergelijking sen (x) = ½ met x = π/6 als oplossing.

De oplossingen voor de verhoogde vergelijking zijn: x = 0 of x = π/6.

- Oefening 3

Zoek de oplossingen van de volgende trigonometrische vergelijking:

cos (x) = sin²(X)

Oplossing

Om deze vergelijking op te lossen, is het handig om een ​​enkel type trigonometrische functie te plaatsen, dus we zullen de fundamentele trigonometrische identiteit gebruiken, zodat de oorspronkelijke vergelijking als volgt opnieuw wordt geschreven:

cos (x) = 1 - cos²(X)

Als we y = cos (x) noemen, kan de uitdrukking worden herschreven als:

En² + en - 1 = 0

Het is een tweede graad vergelijking in en wiens oplossingen zijn:

y = (-1 ± √5) / 2

Dan zijn de waarden van x die de oorspronkelijke vergelijking vervullen:

x = arcos ((-1 ± √5) / 2)

De echte oplossing is het positieve teken x = 0.9046 rad = 51,83º.

De andere oplossing is complex: x = (π - 1.06 i) rad.

Referenties

1. Hazewinkel, m. 1994. Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. 
2. Mobiele partner. Inverse trigonometrische functies. Hersteld van: Matemovil.com
3. Universe -formules. Inverse trigonometrische functies. Hersteld van: UniversOFormulas.com
4. Weisstein, Eric W. Trigonometrische functies uitvinden. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com
5. Wikipedia. Trigonometrische functies uitvinden. Opgehaald uit: in.Wikipedia.com