Veelvoorkomende factorisatie voorbeelden en oefeningen

De Veel voorkomende factorisatie van een algebraïsche expressie bestaat uit het bepalen van twee of meer factoren waarvan het product gelijk is aan de voorgestelde uitdrukking. Op deze manier begint, op zoek naar de gemeenschappelijke factor, het factorisatieproces altijd.

Hiervoor wordt waargenomen als er een aanwezigheid is van een gemeenschappelijke term, die zowel letters als getallen kan zijn. In het geval van letters worden de gemeenschappelijke literalen als een gemeenschappelijke factor beschouwd voor alle termen die de minste exponent hebben, en voor de getallen wordt de maximale gemeenschappelijke deler (MCD) van alle coëfficiënten berekend.

Figuur 1. In gemeenschappelijke factorisatie worden literalen en coëfficiënten gezocht die gemeenschappelijk zijn. Bron: Pixabay/F. Zapata.

Het product van beide gemeenschappelijke factoren, op voorwaarde dat het verschilt van 1, zal de gemeenschappelijke factor van de uitdrukking zijn. Eenmaal gevonden, door verdeeldheid van elke term tussen genoemde factor, wordt de uiteindelijke factorisatie vastgesteld.

Hier is een voorbeeld van hoe het te doen, door dit trinomiaal te factureren:

4x⁵-12x³+8x²

Het is te zien dat alle termen de letterlijke "x" bevatten, wiens minste kracht x is². Wat betreft de numerieke coëfficiënten: 4, -12 en 8 zijn allemaal veelvouden van 4. Daarom is de gemeenschappelijke factor 4x².

Zodra de factor is gevonden, wordt elke term van de oorspronkelijke uitdrukking ertussen verdeeld:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Ten slotte wordt de uitdrukking herschreven als het product van de gemeenschappelijke factor en de som van de resultaten van de vorige bewerkingen, zoals deze:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

[TOC]

Hoe te factureren wanneer er geen gemeenschappelijke factor is

Als de gemeenschappelijke factor niet duidelijk is, zoals in het vorige voorbeeld, is het nog steeds mogelijk om de uitdrukking te factureren en de uitdrukking zorgvuldig te observeren, om te zien of het mogelijk is om een ​​van de volgende methoden te implementeren:

Het kan u van dienst zijn: Polybal Graphics

Verschil van twee perfecte vierkanten

Het is een binomiale uitdrukking van vorm:

naar² - B²

Dat kan een factor zijn door de toepassing van het opmerkelijke product:

naar² - B² = (a+b) ⋅ (a-b)

De procedure is de volgende:

-Extraheer eerst de vierkantswortel van elk van de perfecte vierkanten.

-Vorm vervolgens het product tussen de som van deze wortels en het verschil ervan, zoals aangegeven.

Perfect vierkant trinomiaal

De trinomials van de vorm:

X² ± 2A⋅x + a²

Ze factoren door het opmerkelijke product:

(x+a)² = x² ± 2A⋅x + a²

Om deze factorisatie toe te passen, moet worden bevestigd dat het trinomiale in feite twee perfecte vierkanten heeft en dat de resterende term het dubbele product is van de vierkante wortels van deze waarden.

Trinomial van de X -vorm² + MX + N

Als de trinomiale te factureren geen twee perfecte vierkanten heeft, wordt geprobeerd het te schrijven als het product van twee termen:

X² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Waar moet het worden vervuld wanneer:

N = a⋅b

M = A+B

Factorisatie door voorwaarden te groeperen

Soms heeft de uitdrukking om factor geen gemeenschappelijke factor te zijn, noch komt deze overeen met een van de hierboven beschreven gevallen. Maar als het aantal van de voorwaarden zelfs is, kan deze procedure worden geprobeerd:

-Groepsparen die een gemeenschappelijke factor hebben.

-Elk paar op een gemeenschappelijke factor afleggen, zodat de termen tussen haakjes gelijk zijn, dat wil zeggen, zodat op zijn beurt de haakjes een gemeenschappelijke factor is. Als het met de gekozen groep dat niet is, moet je proberen met een andere combinatie om het te vinden.

-De gezochte factorisatie is het product van de voorwaarden binnen de haakjes voor de gemeenschappelijke factoren van elk paar.

De voorbeelden die zullen helpen om de besproken zaken te verduidelijken.

Voorbeelden

Factor de volgende algebraïsche uitdrukkingen:

a) 6ab² - 18²B³

Dit is een voorbeeld van een gemeenschappelijke factor. Beginnend met het letterlijke deel zijn letters A en B aanwezig in de twee termen. Voor de variabele "a" is de kleine exponent 1 en staat in term 6ab², terwijl voor de letter "B" de minor exponent B is B².

Kan u van dienst zijn: inverse trigonometrische functies: waarde, derivaten, voorbeelden, oefeningen

Dan, AB² Het is een gemeenschappelijke factor in de oorspronkelijke uitdrukking.

Wat de cijfers betreft, er zijn 6 en -18, de laatste is een veelvoud van 6, aangezien -18 = -(6 × 3). Daarom is de 6 een numerieke coëfficiënt van de gemeenschappelijke factor, die vermenigvuldigde met het letterlijke deel is:

6ab²

Nu wordt elke oorspronkelijke term gedeeld door deze gemeenschappelijke factor:

• 6ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²B³) ÷ 6ab² = -3ab

Ten slotte wordt de oorspronkelijke uitdrukking herschreven als een product tussen de gemeenschappelijke factor en de algebraïsche som van de termen die in de voorgaande stap worden gevonden:

6ab² - 18²B³ = 6ab² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

Deze uitdrukking is een verschil met perfecte vierkanten, dus door het extraheren van vierkante wortels naar beide termen, wordt respectievelijk verkregen:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

De oorspronkelijke uitdrukking wordt geschreven als het product van de som van deze vierkante wortels door zijn verschil:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

C) Z² + 6z + 8

Het is een trinomiale van de X -vorm² + MX + N, omdat 8 geen perfect vierkant van een ander heel getal is, dus je moet twee nummers A en B vinden zodat ze tegelijkertijd voldoen:

• naar.B = 8
• A + B = 6

Door Tanteo, dat wil zeggen, testen, zijn de gezochte getallen 4 en 2, sinds::

4 × 2 = 8 en 4 + 2 = 6

Dus:

Z² + 6z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

De lezer kan distributieve eigenschap aan de rechterkant van de gelijkheid controleren, dat beide uitdrukkingen equivalent zijn.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Deze uitdrukking is een kandidaat voor factorisatie door termen te groeperen, omdat er geen gemeenschappelijke factor is voor het blote oog en ook een paar termen heeft.

Het is als volgt gegroepeerd, wetende dat de volgorde van de toevoegingen de som niet verandert:

Kan u van dienst zijn: Obsusangle Triangle

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Elke haakjes heeft zijn eigen gemeenschappelijke factor:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

De definitieve gemeenschappelijke factor werd al onthuld: het is de haakjes die in beide termen wordt herhaald (2x -3y).

Nu kan het weer een factor zijn:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Daarom:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Nogmaals, de lezer kan de distributieve eigenschap op het recht van gelijkheid toepassen, om gelijkheid te bevestigen.

Opgeloste oefeningen

Factorize:

a) en² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3e⁴ + naar³ + 15a + 5

Oplossing voor

Het is een perfect vierkant trinomiaal, het begint door de vierkantswortel van de perfecte vierkante termen te vinden:

√ (en²) = y

√ 25 = 5

Er wordt geverifieerd dat de term van het centrum het dubbele product van deze twee is:

10y = 2. 5. En

En de gezochte factorisatie is:

En² - 10y + 25 = (y-5)²

Oplossing B

De uitdrukking is ook een perfect vierkant trinomiaal:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

De centrale term is geverifieerd:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Eindelijk:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Oplossing C

Het probleem is een trinomiaal van type X² + Mx + n:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

De juiste cijfers zijn 7 en -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Oplossing D

3e⁴ + naar³ + 15a + 5 = (3a⁴ + naar³) + (15a + 5)

De gemeenschappelijke factor van (3e⁴ + naar³) Dat³ en die van (15a + 5) is 5, als volgt gegroepeerd:

(3e⁴ + naar³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Figuur 2. Factorisatie -oefeningen om te oefenen. Bron: f. Zapata.

Referenties

1. Baldor, een. 2005. Algebra. Culturele thuislandgroep.
2. Larson, r. 2012. Voorzetting. 8e. Editie. Cengage leren.
3. Wiskunde. Factorisatie. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com.
4. Wiskunde. Polynoomfactorisatie. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com.
5. Stewart, J. 2007. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
6. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.