Onafhankelijke gebeurtenissen demonstratie, voorbeelden, oefeningen

Twee Evenementen zijn onafhankelijk, Wanneer de kans dat een van hen zal gebeuren, niet wordt beïnvloed door het feit dat de andere voorkomt -of niet gebeurt -om te overwegen dat deze gebeurtenissen willekeurig plaatsvinden.

Deze omstandigheid wordt altijd gegeven dat het proces dat wordt gegenereerd door het resultaat van gebeurtenis 1, op geen enkele manier de kans op de mogelijke resultaten van gebeurtenis 2 verandert. Maar als dit niet het geval is, wordt gezegd dat de gebeurtenissen afhankelijk zijn.

Figuur 1. Gekleurde knikkers worden vaak gebruikt om de kans op onafhankelijke gebeurtenissen te verklaren. Bron: Pixabay.

Een situatie van onafhankelijke gebeurtenissen is als volgt: Stel dat twee dobbelstenen van zes kanten worden gegooid, één blauw en de andere roze. De kans op een 1 in de blauwe dobbelstenen is onafhankelijk van de kans dat een 1 -of niet uitkomt - in de roze dobbelstenen.

Een ander geval van twee onafhankelijke evenementen is om twee keer achter elkaar een munt te lanceren. Het resultaat van de eerste lancering is niet afhankelijk van het resultaat van de tweede en vice versa.

[TOC]

Demonstratie van twee onafhankelijke gebeurtenissen

Om te controleren of twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn, zullen we het concept van geconditioneerde waarschijnlijkheid van de ene gebeurtenis met betrekking tot een andere definiëren. Hiervoor is het noodzakelijk om onderscheid te maken tussen exclusieve evenementen en inclusieve evenementen:

Twee gebeurtenissen zijn exclusief indien mogelijk waarden of elementen van gebeurtenis A, hebben niets gemeen met de waarden of elementen van gebeurtenis B.

Daarom is in twee exclusieve gebeurtenissen de set van het snijpunt van A met B de leegte:

Exclusieve evenementen: A∩b = Ø

Integendeel, als de gebeurtenissen inclusief zijn, kan het gebeuren dat men het gevolg is van de gebeurtenis A ook samenvalt met die van een andere B, als A en B verschillende gebeurtenissen zijn. In dit geval:

Inclusieve gebeurtenissen: A∩b ≠ Ø

Dit leidt ertoe dat we de geconditioneerde waarschijnlijkheid van twee inclusieve gebeurtenissen definiëren, met andere woorden, de kans op het optreden van gebeurtenis A, op voorwaarde dat gebeurtenis B optreedt:

P (a¦b) = p (a∩b)/p (b)

Daarom is geconditioneerde waarschijnlijkheid de waarschijnlijkheid die zich voordoet aan en B gedeeld door de waarschijnlijkheid die op voorkomt B. De waarschijnlijkheid die is gebaseerd op een:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Criteria om te weten of twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn

Vervolgens zullen we drie criteria geven om te weten of twee evenementen onafhankelijk zijn. Het is voldoende dat een van de drie is vervuld, zodat de onafhankelijkheid van gebeurtenissen wordt aangetoond.

1.- Als de waarschijnlijkheid die zal optreden zolang B gelijk is aan de waarschijnlijkheid van A, dan zijn dit onafhankelijke gebeurtenissen:

Het kan u van dienst zijn: Eigendom van Algebra Lock: Demonstration, Voorbeelden

P (a¦b) = p (a) => a is onafhankelijk van b

2.- Als de waarschijnlijkheid die B wordt gegeven, gelijk is aan de waarschijnlijkheid van B, hebben ze onafhankelijke gebeurtenissen:

P (b¦a) = p (b) => b is onafhankelijk van een

3.- Als de waarschijnlijkheid die zich voordoet aan en B, gelijk is aan het product van de waarschijnlijkheid die optreedt voor de waarschijnlijkheid die B optreedt, dan zijn deze onafhankelijke gebeurtenissen. De wederkerige is ook waar.

P (a∩b) = p (a) p (b) a en b zijn onafhankelijke gebeurtenissen.

Voorbeelden van onafhankelijke gebeurtenissen

De rubberzolen geproduceerd door twee verschillende leveranciers worden vergeleken. De monsters van elke fabrikant worden onderworpen aan verschillende proeven waaruit ze worden geconcludeerd of ze al dan niet binnen de specificaties zijn. 

Figuur 2. Verscheidene rubberzolen. Bron: Pixabay.

De resulterende samenvatting van de 252 monsters is als volgt:

Fabrikant 1; 160 voldoen aan specificaties; 8 voldoen niet aan de specificaties.

Fabrikant 2; 80 voldoen aan specificaties; 4 voldoen niet aan de specificaties.

Evenement A: "Het monster is van de fabrikant 1".

Evenement B: "Dat het monster voldoet aan de specificaties".

Het is gewenst om te weten of deze gebeurtenissen A en B of niet onafhankelijk zijn, waarvoor we een van de drie criteria toepassen die in de vorige sectie worden genoemd.

Criteria: P (BPED) = P (B) => B is onafhankelijk van een

P (B) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Conclusie: gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk.

Stel dat een evenement C: "dat de show afkomstig is van de fabrikant 2"

Wordt het evenement B onafhankelijk van evenement C?

We passen een van de criteria toe.

Criteria: P (B¦c) = P (B) => B is onafhankelijk van C

P (b¦c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = P (B)

Daarom is volgens de beschikbare gegevens de kans dat een willekeurig gekozen rubberzool voldoet aan de specificaties, onafhankelijk van de fabrikant. 

Een onafhankelijke gebeurtenis veranderen in een afhankelijke

Laten we eens kijken naar het volgende voorbeeld om onderscheid te maken tussen gebeurtenissen personen ten laste E onafhankelijk. 

We hebben een tas met twee witte chocoladeballen en twee zwarte ballen. De kans om een ​​witte of zwarte bal te krijgen is hetzelfde in de eerste poging.

Stel dat het resultaat een witte bal was. Als de geëxtraheerde bal in de tas wordt aangevuld, wordt de oorspronkelijke situatie herhaald: twee witte ballen en twee zwarte ballen.

Dus in een tweede gebeurtenis of extractie zijn de mogelijkheden om een ​​witte bal of een zwarte bal te verwijderen identiek aan die van de eerste keer. Het zijn daarom onafhankelijke gebeurtenissen.

Maar als de witte bal niet wordt aangevuld in het eerste evenement omdat we het hebben gegeten, zijn er in de tweede extractie grotere mogelijkheden om een ​​zwarte bal te krijgen. De kans dat in een tweede extractie opnieuw wit wordt verkregen, verschilt van die van de eerste gebeurtenis en wordt geconditioneerd door het vorige resultaat.

Kan u van dienst zijn: Scaleno Triangle

Opdrachten

- Oefening 1

In een doos hebben we de 10 knikkers in figuur 1 geplaatst, waarvan 2 groen, 4 blauw en 4 wit zijn. Ze gaan twee willekeurige knikkers kiezen, een eerste en een daarna. Er wordt gevraagd om de
Waarschijnlijkheid dat geen van hen blauw is, onder de volgende voorwaarden:

a) Met vervanging, dat wil zeggen, terug naar de doos het eerste marmer voor de tweede selectie. Geef aan of ze onafhankelijke of afhankelijke gebeurtenissen zijn.

b) Zonder vervanging, zodat het eerste geëxtraheerd marmer uit de doos is op het moment van het maken van de tweede selectie. Wijs op dezelfde manier of ze afhankelijk zijn of onafhankelijke gebeurtenissen zijn.

Oplossing voor

We berekenen de kans dat het eerste geëxtraheerde marmer niet blauw is, wat 1 minder is, de kans dat het blauw p (a) is, of direct dat het niet blauw is, omdat het groen of wit uitkwam:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (geen blauw) = 1 - (2/5) = 3/5

O goed:

P (groen of wit) = 6/10 = 3/5.

Als het marmer wordt teruggestuurd, is alles weer zoals voorheen. In deze tweede extractie is er ook 3/5 waarschijnlijkheid dat het geëxtraheerde marmer niet blauw is.

P (geen blauw, geen blauw) = (3/5). (3/5) = 9/25.

De gebeurtenissen zijn onafhankelijk, omdat het geëxtraheerde marmer terugkeerde naar de doos en de eerste gebeurtenis geen invloed heeft op de kans op het optreden van de tweede.

Oplossing B

Voor de eerste extractie is hetzelfde in de vorige sectie doorgaan. De kans dat het niet blauw is, is 3/5.

Voor de tweede extractie hebben we 9 knikkers in de tas, omdat de eerste niet terugkeerde, maar het was niet blauw, daarom worden 9 knikkers en 5 niet -blauw in de tas achtergelaten:

P (groen of wit) = 5/9.

P (geen be blauw) = P (eerst geen blauw). P (tweede niet -blauw /eerst was niet blauw) = (3/5) . (5/9) = 1/3

In dit geval gaat het niet om onafhankelijke gebeurtenissen, omdat de eerste gebeurtenis voorwaarden de tweede.

- Oefening 2

Een winkel heeft 15 shirts in drie maten: 3 klein, 6 medium en 6 groot. 2 shirts zijn willekeurig geselecteerd.

a) Welke waarschijnlijkheid beide geselecteerde shirts zijn klein, als men eerst wordt verwijderd en zonder de partij te vervangen?

b) Wat waarschijnlijk, beide geselecteerde shirts zijn klein, als men eerst wordt verwijderd, wordt de tweede vervangen en wordt de tweede verwijderd?

Het kan u van dienst zijn: echte echte variabele functie en de grafische weergave ervan

Oplossing voor

Hier zijn twee evenementen:

Evenement A: Het eerste geselecteerde shirt is klein

Evenement B: Het tweede geselecteerde shirt is klein

De waarschijnlijkheid van de gebeurtenis A is: P (A) = 3/15

De waarschijnlijkheid die van gebeurtenis B komt, is: P (B) = 2/14, omdat een shirt al was geëxtraheerd (14), maar het is ook gewenst om het evenement te ontmoeten naar het eerste geëxtraheerde shirt, moet klein zijn en daarmee zijn er 2 Klein.

Met andere woorden, de kans op A en B zal het product van waarschijnlijkheden zijn: is:

P (A en B) = P (BPED) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

Daarom is de kans op gebeurtenis A en B gelijk aan het product dat de gebeurtenis is, vanwege de kans op gebeurtenis B als de gebeurtenis is gegeven.

Het zou genoteerd moeten worden dat:

P (b¦a) = 2/14

De waarschijnlijkheid die van gebeurtenis B is, ongeacht of het evenement al dan niet wordt gegeven, zal zijn:

P (b) = (2/14) Als de eerste klein was, of p (b) = 3/14 als de eerste niet klein was.

Over het algemeen kan het volgende worden geconcludeerd:

P (BPED) is niet gelijk aan P (B) => B is niet onafhankelijk van een

Oplossing B

Er zijn weer twee evenementen:

Evenement A: Het eerste geselecteerde shirt is klein

Evenement B: Het tweede geselecteerde shirt is klein

P (a) = 3/15

Onthoud wat het resultaat is, het shirt is vervangen uit de partij en verwijdert opnieuw willekeurig een shirt. De waarschijnlijkheid die van gebeurtenis B was, als de gebeurtenis A werd gegeven:

P (b¦a) = 3/15

De kans dat gebeurtenissen A en B zullen krijgen, zal zijn:

P (A en B) = P (BPED) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

Let daar op: 

P (brij) is gelijk aan p (b) => b is onafhankelijk van een.

- Oefening 3

Overweeg twee onafhankelijke gebeurtenissen A en B. Het is bekend dat de kans dat gebeurtenis plaatsvindt, 0,2 is en de kans dat gebeurtenis B optreedt, is 0,3. Wat zal de kans zijn dat beide gebeurtenissen zich voordoen?

Oplossing 2

Wetende dat de gebeurtenissen onafhankelijk zijn, is het bekend dat de kans dat beide gebeurtenissen zich voordoen het product is van individuele kansen. Het is te zeggen,

P (a∩b) = P (a) P (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Merk op dat het een veel lagere kans is dan de kans dat elke gebeurtenis optreedt, ongeacht het resultaat van de andere. Of met andere woorden, veel minder dan individuele kansen.

Referenties

1. Berenson, m. 1985. Statistieken voor administratie en economie. Inter -American S.NAAR. 126-127.
2. Monterrey Institute. Waarschijnlijkheid van onafhankelijke gebeurtenissen. Hersteld van: Monterreyinstitute.borg
3. Mats professor. Onafhankelijke gebeurtenissen. Hersteld van: YouTube.com
4. Superprof. Soorten gebeurtenissen, afhankelijke gebeurtenissen. Hersteld van: superprof.is
5. Virtuele tutor. Waarschijnlijkheid. Opgehaald uit: Vitutor.netto
6. Wikipedia. Onafhankelijkheid (waarschijnlijkheid). Hersteld van: Wikipedia.com