Wiskundige hoop formule, eigenschappen, voorbeelden, oefening

De Wiskundige hoop of verwachte waarde van de willekeurige variabele X, het wordt aangeduid als E (X) en wordt gedefinieerd als de som van het product tussen de waarschijnlijkheid van een willekeurige gebeurtenis en de waarde van deze gebeurtenis.

In wiskundige vorm wordt het als volgt uitgedrukt:

μ = e (x) = ∑ x_Je. P (x_Je) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Figuur 1. Wiskundige hoop wordt veel gebruikt op de aandelenmarkt en verzekeringsveld. Bron: Pixabay.

Waar x_Je Het is de waarde van de gebeurtenis en P (x_Je) de kans op voorkomen ervan. De sommatie strekt zich uit tot alle toegelaten waarden x. En als deze eindig zijn, convergeert de samenvatting de waarde E (x), maar als de som niet convergeert, mist de variabele eenvoudig de verwachte waarde.

Als het gaat om een ​​continue variabele X, De variabele kan oneindige waarden hebben en de integralen vervangen de samenvattingen:

Hier vertegenwoordigt f (x) de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie.

Over het algemeen is wiskundige hoop (die een gewogen gemiddelde is) niet gelijk aan het rekenkundige of gemiddelde gemiddelde, tenzij het discrete distributies zijn waarin elke gebeurtenis even waarschijnlijk is. Dus, en alleen dan:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Je

Waarbij n het aantal mogelijke waarden is.

Het concept is zeer nuttig op financiële markten en verzekeringsmaatschappijen, waarbij zekerheden vaak ontbreken, maar dat zijn ze waarschijnlijk.

[TOC]

Eigenschappen van wiskundige hoop

Een van de belangrijkste eigenschappen van wiskundige hoop zijn de volgende:

- Teken: Als X positief is, dan zal E (X) dat ook zijn.

- Verwachte waarde van een constante: De verwachte waarde van een echte constante k Het is de constante.

E (k) = k

- Lineariteit in de som: De hoop van een willekeurige variabele die op zijn beurt is dat de som van twee variabelen X Y Y de som van de hoop is.

Kan u van dienst zijn: ordelijk paar

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Vermenigvuldiging door een constante: Als de willekeurige variabele vorm is kx, waar k Het is een constante (een reëel getal), het gaat uit de verwachte waarde.

E (kx) = k e (x)

- Verwachte waarde van het product en de onafhankelijkheid tussen variabelen: Als een willekeurige variabele het product is van de willekeurige variabelen x y, die onafhankelijk zijn, dan is de verwachte waarde van het product het product van de verwachte waarden.

EX.Y) = e (x).HOI)

- Willekeurige variabele Y = ax + b: De vorige eigenschappen worden toegepast.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Over het algemeen, ja Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Je)). P [G (x_Je)]

- Bestel in de verwachte waarde: Ja x ≤ y, dan:

E (x) ≤ e (y)

Omdat er de verwachte waarden van elk van hen zijn.

Wiskundige hoop in weddenschappen

Toen de beroemde astronoom Christian Huygens (1629-1695) de hemel niet observeerde, was hij toegewijd aan het bestuderen van onder andere de kans in gokken. Hij was het die het concept van wiskundige hoop introduceerde in zijn werk van 1656 getiteld: Redeneren over gokken.

Figuur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) was een briljante en veelzijdige wetenschapper, aan wie we het verwachte waardeconcept verschuldigd zijn.

Huygens ontdekte dat weddenschappen op drie manieren konden worden geclassificeerd, volgens de verwachte waarde:

-Games met voordeel: e (x)> 0

-Eerlijke weddenschappen: e (x) = 0

-Nadelenspel: e (x) < 0

Het probleem is dat de wiskundige hoop in een spel niet altijd gemakkelijk te berekenen is. En wanneer u het resultaat kunt, is het soms teleurstellend voor degenen die vragen of ze al dan niet willen wedden.

Laten we een poging doen met een eenvoudige weddenschap: gezicht of kruis en degene die verliest betaalt een koffie van 1 $. Wat is de verwachte waarde van deze weddenschap?

Kan u van dienst zijn: wat is de richtlijn? (Geometrie)

Welnu, de kans om duur te zijn is ½, net als er een kruis uitkomt. De willekeurige variabele is om $ 1 te winnen of $ 1 te verliezen, de winst wordt aangeduid met Sign + en het verlies met teken -.

We organiseren de informatie in een tabel:

We vermenigvuldigen de waarden van de kolommen: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ en uiteindelijk worden de resultaten toegevoegd. De som is 0 en het is een eerlijk spel, waarin deelnemers worden verwacht dat ze winnen of verliezen.

Franse roulette en loterij zijn games met een nadeel waarin de meeste traigators verliezen. Later is er een iets meer complexe weddenschap in de sectie Opgeloste oefeningen.

Voorbeelden 

Hier zijn enkele eenvoudige voorbeelden waarbij het concept van wiskundige hoop intuïtief is en het concept verduidelijkt:

voorbeeld 1

We zullen beginnen met het lanceren van een eerlijke dobbelstenen. Wat is de verwachte lanceringswaarde? Nou, als de dobbelstenen eerlijk is en 6 gezichten heeft, laat de kans dat elke waarde (x = 1, 2, 3 ... 6) 1/6 achterlaat:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

figuur 3. Bij de lancering van een eerlijke dobbelstenen is de verwachte waarde geen mogelijke waarde. Bron: Pixabay.

De verwachte waarde is in dit geval gelijk aan het gemiddelde, omdat elk gezicht dezelfde kans heeft om uit te komen. Maar E (x) is geen mogelijke waarde, omdat geen enkel gezicht waard is 3.5. Dit is in sommige distributies perfect mogelijk, hoewel het resultaat in dit geval niet veel helpt.

Laten we eens kijken naar een ander voorbeeld met de lancering van twee munten.

Voorbeeld 2

Twee eerlijke munten worden in de lucht gegooid en definiëren de willekeurige variabele x als het aantal verkregen gezichten. De gebeurtenissen die kunnen optreden zijn de volgende:

Kan u van dienst zijn: 90 divisors: wat zijn en uitleg

-Er komt geen gezicht uit: 0 gezichten die gelijk zijn aan 2 kruisen.

-1 gezicht en 1 zegel of kruis komen uit.

-2 gezichten komen uit.

Laat C een gezicht en een afdichting zijn, de monsterruimte die deze gebeurtenissen beschrijft, is als volgt:

S_M = Seal-iso; Seal-Cara; Gezicht-yel; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

De kansen op gebeurtenissen gebeuren:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (C) + P (C).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (C) = ½ . ½ = ¼

De tabel is gebouwd met de verkregen waarden:

Volgens de definitie die in het begin wordt gegeven, wordt wiskundige hoop berekend als:

μ = e (x) = ∑ x_Je. P (x_Je) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Waarden vervangen:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dit resultaat wordt als volgt geïnterpreteerd: als een persoon voldoende tijd heeft om een ​​groot aantal experimenten te doen die de twee munten lanceren, wordt verwacht dat deze een gezicht krijgt in elke lancering.

We weten echter dat de releases waarin 2 postzegels uitkomen, perfect mogelijk zijn.

Oefening opgelost

Bij de lancering van twee eerlijke valuta's wordt de volgende weddenschap gemaakt: als er 2 gezichten uitkomen, verdienen ze $ 3, als 1 gezicht wordt gewonnen, maar als er twee postzegels uitkomen, moet u $ 5 betalen. Bereken de verwachte winst van de weddenschap.

Figuur 4. Volgens de weddenschap verandert wiskundige hoop door twee eerlijke munten te lanceren. Bron: Pixabay.

Oplossing

De willekeurige variabele X is de waarden die het geld in de weddenschap inneemt en de waarschijnlijkheden werden berekend in het vorige voorbeeld, daarom is de tabel van de weddenschap:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Aangezien de verwachte waarde 0 is, is het een eerlijk spel, dus hier wordt verwacht dat de gokker niet wint en niet verliest. De gokhoeveelheden kunnen echter worden gewijzigd om de weddenschap te transformeren in een spel met een voordeel of een spel met een nadeel.

Referenties

1. Brase, c. 2009. Bedenkbare statistieken. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Inleiding tot het concept van verwachte waarde of wiskundige hoop op een willekeurige variabele. Hersteld van: persoonlijk.ons.is.
3. Statistieken Librheetxts. Verwachte waarde van discrete willekeurige variabelen. Opgehaald uit: statistieken.Librhetxts.borg.
4. Triola, m. 2010. Elementaire statistieken. 11e. ED. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Waarschijnlijkheid en statistieken voor wetenschap en engineering. 8e. Editie. Pearson Education.