Eerste klas vergelijkingen formule, hoe ze op te lossen, bijvoorbeeld oefeningen

De Eerste graad of lineaire vergelijkingen Met een onbekend zijn die die kunnen worden uitgedrukt als de som van twee termen, op de volgende manier:

Ax + B = 0

Waar A en B, met naar ≠ 0, zijn reële getallen R of ook complexen C. Om het op te lossen, worden termen omgezet, wat betekent dat het veranderen van termen van de ene naar de andere gelijkheid.

Figuur 1. Een lineaire vergelijking is y = mx + c vorm met y = 0. Bron: Pxhere.

Om het onbekende te wissen, wordt de term +b omgezet, die naar de rechterkant van gelijkheid moet gaan met een gewijzigd teken.

Ax = -b

Dan wordt de waarde van X op deze manier gewist:

x = - b/a

Als voorbeeld zullen we de volgende vergelijking oplossen:

6x - 5 = 4

We transponeren de term -5 naar de rechterkant met een gewijzigd teken:

6x = 4 + 5

Dit komt overeen met het toevoegen van 5 aan beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking:

6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9

En nu wissen we het onbekende "x":

x = 9/6 = 3/2

Die gelijkwaardig is aan het delen van beide zijden van gelijkheid door 6. We kunnen dus het volgende beoordelen om de oplossing te verkrijgen:

-Dezelfde hoeveelheid kan beide zijden van gelijkheid in een vergelijking worden toegevoegd of afgetrokken, zonder deze te wijzigen.

-U kunt ook vermenigvuldigen (of verdelen) met hetzelfde bedrag voor alle termen, zowel links als rechts van de vergelijking.

-En als beide leden van een vergelijking tot dezelfde macht stijgen, wordt gelijkheid ook niet gewijzigd.

[TOC]

Hoe u eerste graad vergelijkingen oplossen

De oplossing van een eerste graad vergelijking staat ook bekend als de wortel van hetzelfde. Het is de waarde van x die de oorspronkelijke uitdrukking omzet in een gelijkheid. Bijvoorbeeld in:

5x = 8x - 15

Als we x = 5 in deze vergelijking vervangen, wordt dit verkregen:

5⋅5 = 8⋅5 - 15

25 = 40 - 15

25 = 25

Aangezien de eerste graad lineaire vergelijkingen op veel manieren komen, die soms niet duidelijk zijn, zijn er een reeks algemene regels die verschillende algebraïsche manipulaties omvatten, om de waarde van het onbekende te vinden:

-Ten eerste, als er bewerkingen worden aangegeven, moeten deze worden uitgevoerd.

-Groeperende symbolen zoals haakjes, vierkante beugels en sleutels, als ze bestaan, moeten worden onderdrukt door de juiste tekens te handhaven.

-De termen worden omgezet om al diegenen te plaatsen die het onbekende bevatten aan een enkele kant van gelijkheid, en degenen die het niet aan de andere bevatten.

-Dan worden alle vergelijkbare termen verminderd om de vorm te bereiken Ax = -b.

-En de laatste stap is om het onbekende te wissen.

Grafische interpretatie

De eerste graad vergelijking die aan het begin is verhoogd, kan worden afgeleid van de vergelijking van de lijn Y = Mx+C, met y = 0. De waarde van X die resulteert komt overeen met de kruising van de lijn met de horizontale as.

In de volgende figuur heb je drie lijnen. Beginnend met de groene lijn, wiens vergelijking is:

Kan u van dienst zijn: factorisatie

y = 2x - 6

Y = 0 maken in de lijn van de lijn wordt de eerste graad -vergelijking verkregen:

2x - 6 = 0

Waarvan de oplossing x = 6/2 = 3 is. Wanneer we de grafiek nu beschrijven, is het gemakkelijk om te beseffen dat de lijn in feite naar de horizontale as snijdt bij x = 3.

De blauwe lijn snijdt de x -as op x = 5, wat de oplossing is voor de vergelijking -x + 5 = 0. Ten slotte, de lijn waarvan de vergelijking y = 0 is.5x + 2 gesneden naar de x -as op x = -4, wat gemakkelijk wordt gewaarschuwd voor de eerste graadvergelijking:

0.5 x + 2 = 0

x = 2/0.5 = 4

Figuur 2. Drie lijnen waarvan de kruispunten met de horizontale as overeenkomen met lineaire vergelijkingen. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen   

Hele vergelijkingen

Zij zijn degenen in wiens termen er geen noemers zijn, bijvoorbeeld:

21 - 6x = 27 - 8x

De oplossing is:

-6x + 8x = 27 - 21

2x = 6

X = 3

Fractionele vergelijkingen

Deze vergelijkingen bevatten ten minste één verschillende noemer van 1. Om ze op te lossen, is het raadzaam.

De volgende vergelijking is fractioneel type:

De noemers zijn 6, 8 en 12 en hun minimale gemeenschappelijke veelvoud, aangeduid als m.C.M (6, 8,12) is het minste van de getallen die deze noemers bevatten.

Omdat deze cijfers klein zijn, is het niet moeilijk om dat m te zien.C.M (6, 8,12) = 24. Dit resultaat wordt gemakkelijk verkregen door getallen uit te drukken als een product van priemgetallen of hun krachten, laten we eens kijken:

6 = 3.2

8 = 2³

12 = 2²⋅3

Het minimale gemeenschappelijke veelvoud wordt bepaald door de gemeenschappelijke en niet -common factoren van 6, 8 en 12 te vermenigvuldigen met de grootste exponent, dan:

MCM (6,8,12) = 2³ ⋅3 = 8 × 3 = 24

Aangezien het minimale gewone veelvoud beschikbaar is, moet het worden vermenigvuldigd door elk van de voorwaarden van de vergelijking:

Op deze manier worden de noemers onderdrukt en is er een vergelijking met producten, gemakkelijker op te lossen:

4 (x+5) -3 (2x+3) = 2 (1-5x)

We maken gebruik van distributieve eigenschap:

4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x

Alle termen die de onbekende "x" bevatten, zijn gegroepeerd aan de linkerkant van gelijkheid, waardoor de onafhankelijke of numerieke voorwaarden van de rechterkant achterblijven:

4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20

8x = -9

x = - 9/8

Letterlijke vergelijkingen

Het zijn lineaire vergelijkingen met een onbekende, die echter vergezeld gaan van letterlijke coëfficiënten (letters). Deze letters worden behandeld, net zoals het zou worden gedaan met de cijfers. Een voorbeeld van een letterlijke vergelijking van de eerste graad is:

-3AX + 2a = 5x - B

Deze vergelijking is op dezelfde manier opgelost alsof de onafhankelijke termen en coëfficiënten numeriek waren:

-3ax - 5x = - b - 2a

Facturing van het onbekende "X":

x (-3a - 5) = - b - 2a

x = ( - b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)

Eerste graad vergelijkingen Systemen 

Vergelijkingssystemen bestaan ​​uit een reeks vergelijkingen met twee of meer onbekenden. De systeemoplossing bestaat uit waarden die gelijktijdig voldoen aan vergelijkingen en om deze ondubbelzinnig te bepalen, moet er een vergelijking zijn voor elke onbekenden.

Kan u van dienst zijn: vectoralgebra

De algemene vorm van een systeem van M Lineaire vergelijkingen met N Onbekends is:

naar_elfX₁ + naar₁₂X₂ +… naar_1nX_N = B₁
naar_eenentwintigX₁ + naar₂₂X₂ +… naar_2nX_N = B₂
..
naar_M1X₁ + naar_M2X₂ +… naar_MnX_N = B_M

Als het systeem een ​​oplossing heeft, wordt gezegd dat dit zo is bepaald compatibel, Als er een oneindige set waarden is die voldoet, is het dat dan onbepaalde compatibel, En ten slotte, als het geen oplossing heeft, dan is het onverenigbaar.

In de resolutie van lineaire vergelijkingssystemen worden verschillende methoden gebruikt: reductie, vervanging, egalisatie, grafische methoden, Gauss-Jordan-eliminatie en het gebruik van determinanten zijn een van de meest gebruikte. Maar er zijn andere algoritmen om de oplossing te bereiken, handiger voor systemen met veel vergelijkingen en onbekenden.

Een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden is:

8x - 5 = 7y - 9
6x = 3y + 6

De oplossing van dit systeem wordt later ingediend in de sectie Opgeloste oefeningen.

Lineaire vergelijkingen met absolute waarde

De absolute waarde van een reëel getal is de afstand tussen de locatie op de nummerlijn en de 0 van hetzelfde. Een afstand zijn, is de waarde altijd positief.

De absolute waarde van een nummer wordt aangegeven door modulebars: │x│. De absolute waarde van een positief of negatief getal is bijvoorbeeld altijd positief:

│+8│ = 8

│-3│ = 3

In een vergelijking met absolute waarde is het onbekende tussen modulebars. Overweeg de volgende eenvoudige vergelijking:

│x│ = 10

Er zijn twee mogelijkheden, de eerste is dat X een positief getal is, in welk geval we hebben:

x = 10

En de andere mogelijkheid is dat X in dit geval een negatief getal is:

X = -10

Dit zijn de oplossingen van deze vergelijking. Laten we nu een ander voorbeeld bekijken:

│x+6│ = 11

Het bedrag in de balken kan dan positief zijn:

x+6 = 11

x = 11 -6 = 5

Of kan negatief zijn. In dat geval:

-(x+6) = 11

-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11+6 = 17

En de waarde van het onbekende is:

x = -17

Deze absolute waardevergelijking heeft daarom twee oplossingen: x₁ = 5 en x₂ = -17. We kunnen verifiëren dat beide oplossingen leiden tot gelijkheid in de oorspronkelijke vergelijking:

│5+6│ = 11

│11│ = 11

EN

│-17+6│ = 11

│-11│ = 11

Eenvoudige opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Los het volgende systeem van lineaire vergelijkingen op met twee onbekenden:

8x - 5 = 7y -9
6x = 3y + 6

Oplossing

Naarmate dit systeem wordt verhoogd, is het geschikt voor het gebruik van de vervangingsmethode, omdat in de tweede vergelijking het onbekende X Het is bijna klaar voor goedkeuring:

x = (3y + 6)/6

Kan u van dienst zijn: algebraic

En u kunt onmiddellijk de eerste vergelijking vervangen, die vervolgens een eerste -graafvergelijking wordt met onbekende "y":

8 [(3y + 6)/6] - 5 = 7y - 9

De noemer kan worden onderdrukt als elke term wordt vermenigvuldigd met 6:

6 . 8⋅ [(3y + 6)/6] - 6.5 = 6 .7y- 6 . 9

8⋅ (3y + 6) - 30 = 42y - 54

Distributieve eigendommen toepassen in de eerste termijn op het recht van gelijkheid:

24y + 48 -30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54

De vergelijking kan worden vereenvoudigd, omdat alle coëfficiënten veelvouden van 6 zijn:

4y + 3 = 7y - 9

-3y = -12

y = 4

Met dit resultaat gaan we naar de goedkeuring van X:

x = (3y +6)/6 → x = (12 +6)/6 = 3

- Oefening 2

Los de volgende vergelijking op:

Oplossing

In deze vergelijking verschijnen producten en volgen ze de instructies die in het begin worden gegeven, ze moeten eerst worden ontwikkeld:

3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12

Vervolgens worden alle voorwaarden die de onbekenden bevatten aan de linkerkant van gelijkheid gedragen, en aan de rechterkant zullen de onafhankelijke voorwaarden zijn:

3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14

-48x = -2

x = 1/24

- Oefening 3

Door de drie binnenhoeken van een driehoek toe te voegen, wordt 180º verkregen. De grootste overschrijdt het kind in 35º, en dit is op zijn beurt groter dan 20º het verschil tussen het grootste en medium. Wat zijn de hoeken?

Oplossing

We zullen "X" naar de grote hoek, "Y" naar het medium en "Z" naar het kind noemen. Wanneer de verklaring stelt dat de som van hen 180º is, kunt u schrijven:

x + y + z = 180

Dan weten we dat de oudste het kind in 35º overschrijdt, we kunnen dit schrijven:

X = Z + 35

Ten slotte is het kind groter dan 20 º ten opzichte van het verschil tussen het grootste en medium:

Z = x - y + 20

We hebben een systeem van 3 vergelijkingen en 3 onbekenden:

x + y + z = 180

X = Z + 35

Z = x - y + 20

Door de eerste vergelijking te wissen, heb je:

Z = 180 - x - y

Overeenkomen met de derde:

180 - x - y = x - y + 20

Het onbekenden doorgeven aan de linkerkant zoals altijd:

-x - y - x + y = 20 - 180

De "y" is geannuleerd en blijft:

-2x = - 160

X = 80º

De tweede vergelijking is de waarde van z:

Z = x - 35 = 80 - 35 = 45º

En de waarde van en is van de eerste of derde:

y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º

Referenties

1. Baldor. 1977. Elementaire algebra. Venezolaanse culturele edities.
2. Monterey Institute. Vergelijkingen, ongelijkheden en absolute waarde. Hersteld van: Montereyinstitute.borg.
3. Online leraar. Classificatie van lineaire of eerste -gradende vergelijkingen. Hersteld van: professor inline.Klet.
4. Hoffman, J. Selectie van wiskundeproblemen. Deel 2.
5. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
6. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.