Binomiaal distributieconcept, vergelijking, kenmerken, voorbeelden

De binomiale verdeling Het is een waarschijnlijkheidsverdeling waardoor de kans op gebeurtenis optreden wordt berekend, op voorwaarde dat ze zich voordoen onder twee modaliteiten: succes of falen.

Deze denominaties (succes of falen) zijn volledig willekeurig, omdat ze niet noodzakelijkerwijs goede of slechte dingen betekenen. Tijdens dit artikel zullen we de wiskundige vorm van de binomiale verdeling aangeven en vervolgens wordt de betekenis van elke term in detail uitgelegd.

Figuur 1. De lancering van een dobbelstenen is een fenomeen dat kan worden gemodelleerd door binomiale verdeling. Bron: Pixabay.

[TOC]

Vergelijking

 De vergelijking is als volgt:

Met x = 0, 1, 2, 3 .. .n, waar:

- P (x) is de kans om precies te hebben X successen tussen N Pogingen of proeven.

- X Het is de variabele die het fenomeen van belang beschrijft, overeenkomend met het aantal successen.

- N Het aantal pogingen

- P Het is de kans op succes in 1 poging

- Q Het is daarom de kans op falen in 1 poging Q = 1 - P

Het bewonderingssymbool "!”Het wordt gebruikt voor faculteitnotatie, zodat:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Enzovoort.

Concept

De binomiale verdeling is zeer geschikt om situaties te beschrijven waarin een gebeurtenis plaatsvindt of niet opkomt. Als het gebeurt, is het een succes en zo niet, dan is het een mislukking. Bovendien moet de kans op succes altijd constant zijn.

Er zijn fenomenen die aan deze omstandigheden voldoen, bijvoorbeeld de lancering van een valuta. In dit geval kunnen we zeggen dat "succes" is om een ​​gezicht te krijgen. De kans is ½ en verandert niet, ongeacht hoe vaak de valuta wordt gelanceerd.

De lancering van een eerlijke dobbelstenen is een ander goed voorbeeld, en categoriseer in goede stukken en defecte stukken een bepaalde productie en verkrijg een rood in plaats van een zwart.

Kan u van dienst zijn: Systeem van vergelijkingen: oplossingsmethoden, voorbeelden, oefeningen

Kenmerken

We kunnen de kenmerken van de binomiale verdeling als volgt samenvatten:

- Elke gebeurtenis of observatie, wordt geëxtraheerd uit een oneindige populatie zonder vervanging of een eindige populatie door vervanging.

- Slechts twee opties worden beschouwd, wederzijds exclusief: succes of falen, zoals uitgelegd in het begin.

- De kans op succes moet constant zijn in elke waarneming die wordt gemaakt.

- Het resultaat van een evenement is onafhankelijk van een andere gebeurtenis.

- Het gemiddelde van de binomiale verdeling is N.P

- De standaardafwijking is:

De vorige voorbeelden voldoen aan deze voorwaarden, hoewel er bepaalde beperkingen zijn om toe te passen.

Voorbeeld van toepassing

Laten we een eenvoudig evenement nemen, dat kan zijn om 2 gezichten 5 te krijgen door 3 keer een eerlijke dobbelstenen te lanceren. Wat zijn de kansen die in 3 lanceringen 2 gezichten van 5 worden verkregen?

Er zijn verschillende manieren om dit te bereiken, bijvoorbeeld dat:

- De eerste twee releases zijn 5 en de laatste niet.

- De eerste en de laatste zijn 5 maar niet die van het medium.

- De laatste twee lanceringen zijn 5 en de eerste niet.

Neem als een voorbeeld de eerste volgorde beschreven en bereken de waarschijnlijkheid van het optreden ervan. De kans om een ​​5 gezicht te verkrijgen in de eerste lancering is 1/6, en ook in de tweede, omdat ze onafhankelijke gebeurtenissen zijn.

De kans om een ​​ander gezicht van 5 te verkrijgen in de laatste lancering is 1 - 1/6 = 5/6. Daarom is de kans dat deze reeks zal verschijnen, het product van waarschijnlijkheden:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Hoe zit het met de andere twee sequenties? Ze hebben identieke waarschijnlijkheid: 0.023.

En omdat we in totaal 3 succesvolle sequenties hebben, zal de totale waarschijnlijkheid zijn:

P (2 gezichten 5 in 3 lanceringen) = Aantal mogelijke sequenties x waarschijnlijkheid van een bepaalde reeks = 3 x 0.023 = 0.069.

Laten we nu de binomiale proberen, waarin het is gedaan:

Kan u van dienst zijn: Mackinder Box

X = 2 (krijg 2 zijden van 5 in 3 lanceringen is succes)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Opgeloste oefeningen

Er zijn verschillende manieren om de binomiale verdelingsoefeningen op te lossen. Zoals we hebben gezien, kunnen de eenvoudigste worden opgelost om te vertellen hoeveel succesvolle opvolgingen er bestaan ​​en zich vervolgens vermenigvuldigen met de respectieve waarschijnlijkheden.

Wanneer er echter veel opties zijn, worden de cijfers groter en hebben het de voorkeur om de formule te gebruiken.

En als de cijfers nog hoger zijn, zijn er jongens van de binomiale verdeling. Op dit moment zijn ze echter achterhaald ten gunste van de vele soorten rekenmachines die de berekening vergemakkelijken.

Oefening 1

Een paar heeft kinderen met een kans van 0,25 om bloed van het type te hebben of. Het echtpaar heeft in totaal 5 kinderen. Antwoord: a) past deze situatie in een binomiale verdeling?, b) Wat is de kans dat precies 2 van hen van het type zijn of?

Oplossing

a) De binomiale verdeling wordt aangepast, omdat deze voldoet aan de voorwaarden die in eerdere secties zijn vastgesteld. Er zijn twee opties: het hebben van type of "succes" bloed, terwijl het niet "falen" is, en alle observaties zijn onafhankelijk.

b) U hebt de binomiale verdeling:

Waarin de volgende waarden worden vervangen:

x = 2 (verkrijg 2 kinderen met type O bloed)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Voorbeeld 2

Een universiteit stelt dat 80% van de studenten van het universitaire basketbalteam afgestudeerd. Een onderzoek onderzoekt het academische record van 20 studenten die behoren tot het basketbalteam dat zich lang geleden heeft ingeschreven aan de universiteit.

Van deze 20 studenten eindigden 11 de race en 9 verlieten de studies.

Figuur 2. Bijna alle studenten die voor het universitaire team spelen, slagen erin om af te studeren. Bron: Pixabay.

Als de verklaring van de universiteit waar is, zou het aantal studenten dat basketbal speelt en dat erin slagen om af te studeren tussen 20 N = 20 En P = 0,8. Wat is de kans dat precies 11 van de 20 spelers afstuderen?

Kan u van dienst zijn: hoeken in de omtrek: typen, eigenschappen, opgeloste oefeningen

Oplossing

In de binomiale verdeling:

De volgende waarden moeten worden vervangen:

X = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Voorbeeld 3

De onderzoekers voerden een onderzoek uit om te bepalen of er significante verschillen waren in afstudeercijfers tussen medische studenten die zijn toegelaten via speciale programma's en medische studenten toegelaten via de reguliere toelatingscriteria.

Het bleek dat het afstudeerpercentage 94% was voor studenten die werden toegelaten via speciale programma's (op basis van gegevens uit de gegevens van de Journal of the American Medical Association)).

Als 10 van de studenten van de speciale programma's willekeurig worden geselecteerd, zoek dan de kans dat ten minste 9 van hen zijn afgestudeerd.

b) Zou het ongebruikelijk willekeurig zijn om 10 studenten uit de speciale programma's te selecteren en te verkrijgen dat slechts 7 van hen zijn afgestudeerd?

Oplossing

De waarschijnlijkheid die een student heeft toegelaten via een speciaal programma -afgestudeerden is 94/100 = 0.94. Ze zijn gekozen N = 10 Studenten van de speciale programma's en u wilt de kans ontdekken dat ten minste 9 van hen afstuderen.

De volgende waarden worden vervangen in de binomiale verdeling:

X = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Dit is de kans dat precies 9 worden afgestudeerd, maar ze kunnen ook precies 10 afstuderen:

 P (ten minste 9 afgestudeerd) = P (9) + P (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

B)
Ja het is ongebruikelijk, omdat de verkregen kans vrij klein is.

Referenties

1. Berenson, m. 1985. Statistieken voor administratie en economie. Inter -American S.NAAR.
2. MathWorks. Binomiale verdeling. Hersteld van: is.MathWorks.com
3. Mendenhall, W. 1981. Statistieken voor administratie en economie. 3e. editie. Iberoamerica redactionele groep.
4. Moore, D. 2005. Basisstatistieken toegepast. 2e. Editie.
5. Triola, m. 2012. Elementaire statistieken. 11e. ED. Pearson Education.
6. Wikipedia. Binomiale verdeling. Hersteld van: is.Wikipedia.borg