Algebraïsche derivaten

Wat zijn algebraïsche derivaten?

De algebraïsche derivaten Ze bestaan ​​uit de studie van het derivaat in het specifieke geval van algebraïsche functies. De oorsprong van het idee van afgeleide dateert uit het oude Griekenland. De ontwikkeling van dit idee werd gemotiveerd door de noodzaak om twee belangrijke problemen op te lossen, één in de natuurkunde en één in de wiskunde.

In de fysica lost de derivaat het probleem op van het bepalen van de momentane snelheid van een bewegend object. In de wiskunde maakt het mogelijk om de raaklijn op een gegeven punt op een bepaald punt te vinden.

Hoewel er echt veel meer problemen zijn die worden opgelost door het derivaat te gebruiken, evenals de generalisaties ervan, kwamen de resultaten die later kwamen tot de introductie van hun concept.

De pioniers van differentiële calculus zijn Newton en Leibniz. Voordat we de formele definitie geven, zullen we het idee achter zich ontwikkelen, vanuit het wiskundige en fysieke standpunt.

De afgeleide als in afwachting van de raaklijn naar een curve

Stel dat de grafiek van een y = f (x) -functie een continue grafiek is (zonder spikes of hoekpunten of scheidingen), en ofwel a = (a, f (a)) een vast punt erover. We willen de raaklijnvergelijking vinden met de functie f op punt a.

Laten we nog een punt p = (x, f (x)) van de grafiek nemen, dicht bij punt A. Een droogleiding is een lijn die naar de grafiek van een curve snijdt in een of meer punten.

Om de raaklijn te verkrijgen die we willen, is het alleen nodig om de helling te berekenen omdat we al een punt van de lijn hebben: het punt a.

Als we het punt P door de grafiek verplaatsen en we het meer en meer naderen om A te wijzen, zal de eerder genoemde droge lijn de raaklijn naderen die u wilt vinden. De limiet nemen wanneer "P neigt naar een", zullen beide lijnen samenvallen, daarom ook hun hellingen.

De helling van de Secant -lijn wordt gegeven door

Om te zeggen dat P dicht bij A staat, is gelijk aan te zeggen dat "X" "A" benadert. Aldus zal de helling van de raaklijn naar de grafiek van F op punt A gelijk zijn aan:

De vorige uitdrukking wordt aangegeven door f '(a) en wordt gedefinieerd als de afgeleide van een functie f op punt "a". We zien dat analytisch de afgeleide van een functie op een punt een limiet is, maar geometrisch is het de helling van de lijn die op het punt raakt op het punt.

Kan u van dienst zijn: Willekeurige variabele: concept, typen, voorbeelden

Nu zullen we dit idee zien vanuit het oogpunt van de natuurkunde. We zullen dezelfde uitdrukking van de vorige limiet bereiken, hoewel door een ander pad, waardoor de unanimiteit van de definitie wordt verkregen.

De afgeleide als onmiddellijke snelheid van een bewegend object

Laten we eens kijken naar een kort voorbeeld van wat onmiddellijke snelheid betekent. Wanneer bijvoorbeeld wordt gezegd dat een auto om een ​​bestemming te bereiken het met een snelheid van 100 km per uur deed, betekent het dat hij in een uur 100 km reisde.

Dit betekent niet noodzakelijkerwijs dat de auto gedurende het hele uur altijd 100 km was, de vecimeter van de auto in sommige momenten minder of meer kan markeren. Als hij de behoefte had om bij een verkeerslicht te staan, was de snelheid op dat moment 0 km. Na een uur was de route echter 100 km.

Dit is wat bekend staat als de gemiddelde snelheid en wordt gegeven door het quotiënt van de afgelegde afstand tussen de verstreken tijd, zoals we zojuist hebben gezien. De momentane snelheid is ondertussen degene die de Velocimeter -naald van een auto op een bepaald moment (tijd) markeert.

Laten we dit nu eens zien. Stel dat een object langs een lijn beweegt en dat deze verplaatsing wordt weergegeven door middel van de vergelijking s = f (t), waarbij de variabele t de tijd meet en de variabele is de verplaatsing, rekening houdend met het begin op het moment t = 0, op welk moment het ook nul is, dat wil zeggen f (0) = 0.

Deze functie f (t) staat bekend als positiefunctie.

Een uitdrukking voor de onmiddellijke snelheid van het object wordt op een vast moment gezocht. Met deze snelheid zullen we het aangeven door V (A).

Zij het elk moment in de buurt van direct "a". In het tijdsinterval tussen "A" en "T" wordt de positieverandering gegeven door F (T) -f (A).

De gemiddelde snelheid in dit tijdsinterval is:

Dat is een benadering van onmiddellijke snelheid V (a). Deze aanpak zal beter zijn, omdat T dichter bij "a" komt. Daarom,

Laten we opmerken dat deze uitdrukking gelijk is aan die verkregen in het vorige geval, maar vanuit een ander perspectief. Dit is wat bekend staat als de afgeleide van een F -functie op een punt "a" en wordt aangeduid door f '(a), zoals hierboven vermeld.

Kan u van dienst zijn: wetten van exponenten

Merk op dat het maken van de verandering h

Beide uitdrukkingen zijn equivalent, maar soms moet het meer worden gebruikt voor de ene in plaats van de andere, afhankelijk van de zaak.

Het wordt dan meer in het algemeen gedefinieerd die op elk moment "X" van een functie F is afgeleid

De meest gebruikelijke notatie om de afgeleide van een functie y = f (x) weer te geven, is degene die we zojuist hebben gezien (f 'o y'). Een andere veelgebruikte notatie is echter de notatie van Leibniz die wordt weergegeven als een van de volgende uitdrukkingen:

Gezien het feit dat het derivaat in wezen een limiet is, kan het al dan niet bestaan, omdat de limieten niet altijd bestaan. In het geval het bestaat, wordt gezegd dat de functie in kwestie op het gegeven punt onderscheidbaar is.

Algebraïsche functie

Een algebraïsche functie is een combinatie van polynomen door bedragen, aftrekkingen, producten, quotiënten, krachten en radicalen.

Een polynoom is een uitdrukking van vorm

P_N= A_NX^N+ naar_N-1X^N-1+ naar_N-2X^N-2+… + A₂X²+ naar₁x+a₀

Waar n een natuurlijk nummer is en alles_Je, Met i = 0,1, ..., n zijn rationele getallen en_N≠ 0. In dit geval wordt gezegd dat de mate van deze polynoom n is.

Hierna volgen voorbeelden van algebraïsche functies:

Hier zijn de exponentiële, logaritmische en trigonometrische functies niet opgenomen. De afleidingregels die we hieronder zullen zien, zijn geldig voor functies in het algemeen, maar we zullen deze beperken en toepassen in het geval van algebraïsche functies.

Derrying -regels

Afgeleid van een constante

Stelt dat de afgeleide van een constante nul is. Dat wil zeggen, als f (x) = c, dan f '(x) = 0. De afgeleide van constante functie 2 is bijvoorbeeld gelijk aan 0.

Afgeleid van een kracht

If f (x) = x^N, vervolgens f '(x) = nx^N-1. Bijvoorbeeld x derivaat³ Het is 3x². Als gevolg hiervan wordt verkregen dat de afgeleide van de identiteitsfunctie f (x) = x f '(x) = 1x is^1-1= x⁰= 1.

Een ander voorbeeld is als volgt: laat f (x) = 1/x², vervolgens f (x) = x^-2 en f '(x) = -2x^-2-1= -2x^-3.

Deze eigenschap is ook geldige wortels, omdat de wortels rationele krachten zijn en het bovenstaande ook kan worden toegepast in dat geval. De afgeleid van een vierkantswortel wordt bijvoorbeeld gegeven door

Het kan u van dienst zijn: schatting per intervallen

Afgeleid van een som en een aftrekking

Als f en g differentabele functies zijn in x, dan is de som f+g ook en wordt vervuld dat (f+g) '(x) = f' (x)+g '(x) (x) (x).

Evenzo moet u (f -g) '(x) = f' (x) -g '(x). Met andere woorden, de afgeleide van een som (aftrekken) is de som (of aftrekking) van de derivaten.

Voorbeeld

If h (x) = x²+X-1 dan

H '(x) = (x²)+(x) '-(1)' = 2x+1-0 = 2x+1.

Product afgeleid van een product

Als f en g differentabele functies zijn in x, dan is het FG -product ook onderscheidbaar in X en wordt dat vervuld

(fg) '(x) = f' (x) g (x)+f (x) g '(x).

Als gevolg hiervan heeft het als C een constante is en F een differentabele functie in X is, dan is CF ook onderscheidbaar in x y (cf) '(x) = cf' (x).

Voorbeeld

If f (x) = 3x (x²+1), dan

f '(x) = (3x)' (x²+1)+(3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1)+3x [(x²) '+(1)]

= 3 (1) (x²+1)+3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1)+3x (2x) = 3x²+3+6x²

= 9x²+3.

Afgeleid van een quotiënt

Als f en g onderscheidbaar zijn in x en g (x) ≠ 0, dan is f/g ook differentabel in x, en het wordt dat vervuld

Voorbeeld: If h (x) = x³/(X²-5x), dan

H '(x) = [(x³) '(X⁵-5x)-(x³) (X⁵-5x) ']/ (x⁵-5x)²= [(3x²) (X⁵-5x)- (x³) (5x⁴-5)]/ (x⁵-5x)².

Kettingregel

Met deze regel kan de samenstelling van functies afleiden. Het stelt het volgende vast: als y = f (u) onderscheidbaar is in u en u = g (x) kan worden gedifferentieerd in x, dan is de samengestelde functie f (g (x)) te onderscheiden in x, en het is vervuld dat dat [F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F G (X))]] '= f' (g (x)) g '(x).

Dat wil zeggen, de afgeleide van een samengestelde functie is het product van de derivaat van de externe functie (externe derivaat) door de afgeleide interne functie (interne derivaat).

Voorbeeld

If f (x) = (x⁴-2x)³, Dus

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(X⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Er zijn ook resultaten om het omgekeerde derivaat van een functie te berekenen, evenals de generalisatie naar derivaten van hogere orde. Toepassingen zijn uitgebreid. Onder hen worden hun winst in optimalisatie en minimale functies benadrukt.

Referenties

1. Alarcon, s., González, m., & Quintana, h. (2008). Differentiële calculus. Itm.
2. Cabrera, V. M. (1997). 4000 berekening. Redactionele progreso.
3. Castaño, h. F. (2005). Wiskunde voorafgaand aan de berekening. Universiteit van Medellin.
4. Eduardo, n. NAAR. (2003). Inleiding tot berekening. Umbrale edities.
5. Bronnen, een. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot berekening. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, s. EN., & Varberg, D. EN. (2007). Berekening. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differentiële calculus (Tweede ed.)). Barquisimeto: Hypotenusa.
8. Thomas, g. B., & Weir, m. D. (2006). Berekening: verschillende variabelen. Pearson Education.