Unitaire cirkel trigonometrische functies en toepassingen

Hij Eenheidscirkel Het is een straalcirkel gelijk aan 1, die meestal is gericht op punt (0,0) van het Cartesiaanse coördinatensysteem XY. Het wordt gebruikt om gemakkelijk de trigonometrische redenen van de hoeken door rechthoeken te definiëren.

De unitaire cirkelvergelijking gericht op oorsprong is:

X² + En² = 1

Figuur 1. De eenheidscirkel. Bron: Wikimedia Commons.

In figuur 1 hebben we de eenheidscirkel, waarin elke kamer zich in een kwadrant bevindt. De kwadranten zijn genummerd met Romeinse nummers en worden anti -horair geteld.

In het eerste kwadrant is er een driehoek. De categorieën, in rood en in blauwe maat respectievelijk 0.8 en 0.6, terwijl de hypotenuse in groene meet 1, omdat het een radio is.

De acute hoek α is een centrale hoek in standaardpositie, wat betekent dat zijn hoekpunt samenvalt met het punt (0,0) en de initiële zijde met de positieve X -as. De hoek wordt gemeten in strijd met de klokken en op het punt is deze een positief teken toegewezen.

Welnu, in de eenheidscirkel zijn de coördinaten van coseno en de sinus van α respectievelijk de x- en y -coördinaten van punt B, die in het getoonde voorbeeld 0 zijn.8 en 0.6.

Van deze twee zijn ze gedefinieerd:

• Tg α = sin α/cos α = 0.6/0.8 = 0.75
• Sec α = 1/ cos α = 1/0.8 = 1.25
• schade α = 1 / sin α = 1/0.6 = 1.66 ..
• ctg α = 1/tg = 0.8/0.6 = 1.33 ..

[TOC]

Unitaire cirkelaanvragen

Als we onszelf beperken tot rechthoeken, zouden trigonometrische redenen alleen worden toegepast op acute hoeken. Met behulp van de eenheidscirkel wordt de berekening van trigonometrische redenen echter uitgebreid tot elke hoek α.

Figuur 2.- Hoeken in de kwadranten en de referentiehoek in de eenheidscirkel. Bron: f. Zapata.

Hiervoor is het noodzakelijk om het concept van referentiehoek α te definiëren_R:

Kan u van dienst zijn: eindige set: eigenschappen, voorbeelden, opgeloste oefeningen

Referentiehoek

Laat α een hoek in standaardpositie zijn (degene waarvan Eerste kant valt samen met de positieve x -as), de referentiehoek α_R Het is een van de eindzijde en de X -as. Figuur 2 toont de referentiehoek voor hoeken in I, II, III en IV Quadrant.

Voor elk kwadrant wordt de referentiehoek als volgt berekend:

-Eerste kwadrant: α_R = α

-Tweede kwadrant: α_R = 180º - α

-Derde kwadrant: α_R = α - 180º

-Vierde kwadrant: α_R = 360º - α

Merk op dat de eerste kwadranthoek α samenvalt met zijn referentiehoek. Welnu, de trigonometrische redenen voor hoek α zijn dezelfde als hun referentiehoek, met de tekens volgens degenen die de kwadranten hebben waarin de terminale kant van α valt.

Met andere woorden, de trigonometrische redenen die Coseno en de borst van de hoek α samenvallen met de coördinaten van punt P, volgens figuur 2.

In de volgende figuur zien we de trigonometrische redenen van enkele opmerkelijke invalshoeken, zoals afgeleid uit de eenheidscirkel.

figuur 3. Coördinaten van enkele opmerkelijke punten in de eenheidscirkel. Bron: Wikimedia Commons.

De redenen waarom Coseno en borst van een hoek in het I -kwadrant zijn, zijn allemaal positief. Voor α = 60º hebben we de coördinaten (1/2; √3/2), die respectievelijk overeenkomen met COS 60º en SEN 60º.

De coördinaten van α = 120º zijn (-1/2; √3/2), omdat de X-coördinaat in het tweede kwadrant is, is de X-coördinatie negatief.

Lay -out van de grafieken van cosinus en sinus

Met behulp van de eenheidscirkel en de coördinaten van de P -punten erop, is het mogelijk om de grafieken van de functies te tekenen van de functies Cos t en sen t, zoals we hieronder zullen zien.

Kan u van dienst zijn: hoekige verplaatsing

Hiervoor bevinden zich verschillende posities van punt P (t) in de eenheidscirkel. We beginnen met de grafiek van de functie f (t) = sen t.

We kunnen zien dat wanneer we van t = 0 naar t = π/2 (90º) gaan, de waarde van sen t verhoogt tot 1, wat de maximale waarde is.

Aan de andere kant, van t = π/2 tot t = 3π/2 De waarde van sin t neemt af van 1, door 0 door T = π naar het minimum van -1 bij T = 3π/2.

De figuur toont de grafiek van de eerste cyclus van f (t) = sen t die overeenkomt met de eerste terugkeer naar de eenheidscirkel, deze functie is periodieke periode 2π.

Figuur 4. Figuur van de grafiek van f (t) = sen t voor een cyclus. Bron: Zill, D. Algebra, trigonometrie en analytische geometrie.

Een analoge procedure kan worden uitgevoerd om de grafiek van de functie f (t) = cos t te verkrijgen, zoals weergegeven in de volgende animatie:

Figuur 5. Grafieken van de sinus- en cosinusfuncties van de eenheidscirkel. Bron: Wikimedia Commons.

Seno en Coseno functioneren eigenschappen

-Beide functies zijn continu in de set reële en ook periodieke getallen, van periode 2π.

-Het domein van functies f (t) = sen t en f (t) = cos t zijn allemaal reële getallen: (-∞, ∞).

-Voor de borst of sinus en cosinusroute heb je het interval [-1,1]. De beugels geven aan dat -1 en 1 zijn inbegrepen.

- De sin t nullen zijn de waarden die overeenkomen met nπ met N geheel getal, terwijl de nullen van cos t zijn [(2n+1)/2] met n ook geheel.

-De functie f (t) = sin t is vreemd, heeft symmetrie ten opzichte van de oorsprong, terwijl de cos t -functie zelfs is, de symmetrie is met betrekking tot de verticale as.

Kan u van dienst zijn: willekeurige selecties met of zonder vervanging

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Gegeven cos t = - 2/5, wat de horizontale coördinaat is van punt P (t) in de eenheidscirkel in het tweede kwadrant, verkrijg de overeenkomstige verticale coördinaat sen t.

Oplossing

Omdat p (t) tot de eenheidscirkel behoort, waarin wordt vervuld dat:

X² + En² = 1

Daarom:

y = ± √ 1 - x²

Omdat p (t) in het tweede kwadrant zit, zal de positieve waarde worden genomen. De verticale coördinaat van punt P (t) is y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Oefening 2

Een wiskundig model voor temperatuur T In graden fahrenheit op elke dag, T Uren na middernacht wordt het gegeven door:

T (t) = 50 + 10 sen [(π /12) × (t - 8)]

Met T begrepen tussen 0 en 24 uur. Vinden:

a) de temperatuur om 8 uur.

b) Uren waarin T (t) = 60 ºF

c) Maximale en minimale temperaturen.

Oplossing voor

We vervangen t = 8 in de gegeven functie:

T (8) = 50 + 10 sen [(π/12) × (t-8)] = 50 + 10 sen [(π/12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Oplossing B

50 + 10 sen [(π/12) × (T-8)] = 60

Het is een trigonometrische vergelijking en je moet het onbekende "t" wissen:

10 sen [(π/12) × (t -8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π/12) × (t-8)] = 1

We weten dat sen π/2 = 1, daarom moet het borstargument 1 zijn:

(π/12) × (T-8) = π/2

T-8 = 6

t = 14 h

Er wordt geconcludeerd dat 14 uur na middernacht de temperatuur 60 ° is, dat wil zeggen de 14.00 uur. Er is geen ander uur gedurende de dag (24 uur) waarin dit gebeurt.

Oplossing C

De maximale temperatuur komt overeen met de waarde waarin Sen [(π/12) × (T-8)] = 1 en 60 ºF is. Aan de andere kant treedt het minimum op als Sen [(π/12) × (t -8)] = -1 en 40 ºF is.

Referenties

1. Figuera, j. 199999. Wiskunde. 1e. Diversifieerd. Bolivarian collegiale edities.
2. Hoffman, J. Selectie van wiskundeproblemen. Deel 4.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Wiskunde is leuk. Eenheidscirkel. Hersteld van: van: MathsisFun.com.
5. Wikipedia. Trigonometrie -identiteiten en formules. Hersteld van: is.Wikipedia.borg.
6. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.