Benaderingsberekening met behulp van differentiëlen

Een benadering in de wiskunde is een getal dat niet de exacte waarde van iets is, maar zo dicht bij dit is dat zo nuttig wordt beschouwd als de exacte waarde van de genoemde exacte waarde.

Wanneer in wiskunde benaderingen worden uitgevoerd, is het omdat het handmatig moeilijk (of soms onmogelijk) is om de precieze waarde te kennen van wat u wilt.

De belangrijkste tool bij het werken met benaderingen is het verschil van een functie. Het verschil van een F -functie, aangegeven door Δf (x), is niets meer dan de afgeleide van de functie f vermenigvuldigd door de verandering in de onafhankelijke variabele, dat wil zeggen Δf (x) = f '(x)*Δx.

Soms worden df en dx gebruikt in plaats van Δf en Δx.

Benaderingen met differentiaal

De formule die wordt toegepast om een ​​benadering uit te voeren door het differentiaal komt alleen voort uit de definitie van de afgeleide van een functie als een limiet.

Deze formule wordt gegeven door:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Hier is duidelijk dat Δx = x-x0 daarom x = x0+Δx. Hiermee kan de formule worden herschreven als

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Opgemerkt moet worden dat "x0" geen willekeurige waarde is, maar dat het zo'n waarde is dat f (x0) gemakkelijk bekend is; Bovendien is "f (x)" slechts de waarde die we willen benaderen.

Zijn er betere benaderingen?

Het antwoord is ja. De vorige is de eenvoudigste van de benaderingen die "lineaire aanpak" worden genoemd.

Voor benaderingen van betere kwaliteit (de fout gemaakt is lager), worden polynomen met meer derivaten genaamd "Taylor Polynomials" gebruikt, evenals andere numerieke methoden zoals onder andere Newton-Raphson-methode.

Strategie

De strategie om te volgen is:

- Kies een adequate F -functie om de "X" -benadering en waarde uit te voeren die f (x) is, is de waarde die u wilt benaderen.

- Kies een "x0" -waarde, dicht bij "x", zodat f (x0) gemakkelijk te berekenen is.

- Bereken Δx = x-x0.

- Bereken de afgeleide functie en f '(x0).

- Vervang de gegevens in de formule.

Opgeloste benaderingsoefeningen

In wat verder gaat, zijn er een aantal oefeningen waarbij benaderingen worden uitgevoerd met differentieel.

1. Eerste oefening

Ongeveer √3.

Oplossing

Volgens de strategie moet u een adequate functie kiezen. In dit geval is te zien dat de te kiezen functie moet zijn f (x) = √x en de waarde te benaderen is f (3) = √3.

Nu moet u een "x0" -waarde in de buurt van "3" kiezen, zodat F (x0) gemakkelijk te berekenen is. Als "x0 = 2" wordt gekozen, moet "x0" dicht bij "3" zijn, maar f (x0) = f (2) = √2 is niet eenvoudig te berekenen.

De waarde van "x0" die past is "4", omdat "4" dicht bij "3" is en ook f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Als "x = 3" en "x0 = 4", dan Δx = 3-4 = -1. Nu wordt de afgeleide van F berekend. Dat wil zeggen f '(x) = 1/2*√x, zodat f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Het vervangen van alle waarden in de formule wordt verkregen:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Als een calculator wordt gebruikt, wordt verkregen dat √3≈1.73205 ... Dit laat zien dat het vorige resultaat een goede benadering van de echte waarde is.

2. Tweede oefening

Ongeveer √10.

Oplossing

Zoals voorheen wordt het gekozen als functie f (x) = √x en in dit geval x = 10.

De waarde van x0 die bij deze gelegenheid moet worden gekozen, is "x0 = 9". Het is dan nodig.

Bij het evalueren in de formule wordt dat verkregen

√10 = F (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Met behulp van een rekenmachine wordt verkregen dat √10 ≈ 3.1622776 ... Hier kunt u ook zien dat eerder een goede aanpak is verkregen.

3. Derde oefening

Ongeveer ³√10, waarbij ³√ de kubieke wortel aangeeft.

Oplossing

Het is duidelijk dat de functie die in deze oefening moet worden gebruikt, f (x) = ³√x is en de waarde van "x" moet "10" zijn.

Een waarde dicht bij "10" zodat de kubieke wortel bekend is, is "x0 = 8". Dan moet je Δx = 10-8 = 2 en f (x0) = f (8) = 2. Je moet ook f '(x) = 1/3*³√x², en consequent /12.

De gegevens vervangen in de formule wordt verkregen dat:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

De rekenmachine zegt dat ³√10 ≈ 2.15443469 ... daarom is de gevonden benadering goed.

4. Vierde oefening

Ongeveer LN (1.3), waarbij "ln" de natuurlijke logaritm -functie aangeeft.

Oplossing

Eerst wordt het gekozen als functie f (x) = ln (x) en de waarde van "x" is 1.3. Nu, een beetje wetende over de logaritm -functie, kunt u weten dat Ln (1) = 0, en ook "1" dicht bij "1 ligt.3 ". Daarom wordt "x0 = 1" gekozen en dus Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Aan de andere kant, f '(x) = 1/x, zodat f' (1) = 1. Bij het evalueren in de gegeven formule moet u:

ln (1.3) = F (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Bij het gebruik van een rekenmachine moet u LN (1.3) ≈ 0.262364 ... zodat de benadering van de benadering goed is.