Elastische schokken in een dimensie, speciale gevallen, oefeningen

De Elastische schokken o Elastische botsingen bestaan ​​uit korte maar intense interacties tussen objecten, waarin zowel de hoeveelheid beweging als kinetische energie worden bewaard. Choques zijn zeer frequente gebeurtenissen in de natuur: van subatomaire deeltjes tot sterrenstelsels, door biljartballen en schokauto's in aantrekkingskrachtparken, zijn ze allemaal objecten die kunnen botsen.

Tijdens een botsing of schok zijn de interactiekrachten tussen objecten zeer intens, veel meer dan die welke extern kunnen handelen. Op deze manier kan worden bevestigd dat de deeltjes tijdens de botsing een geïsoleerd systeem vormen.

Botsingen tussen biljartballen kunnen als elastisch worden beschouwd. Bron: Pixabay.

In dit geval is het vervuld dat:

Waar P Het is de vectorhoeveelheid van beweging, waarvan de omvang is MV (Snelheidsmassa). Als de afgeleide van P is nietig, dat betekent dat P het is constant. En dit betekent dat het niet varieert, dat het bewaard blijft. Daarom kunnen we dat bevestigen:

P_of = P_F

De hoeveelheid beweging P_of Voordat de botsing hetzelfde is als na botsing. Dit wordt voldaan voor elk type botsing, zowel elastisch als inelastisch.

Nu moet u het volgende overwegen: Tijdens een botsing ervaren de objecten een bepaalde vervorming. Wanneer de botsing elastisch is, herwinnen objecten snel hun oorspronkelijke vorm.

[TOC]

Kinetische energiebesparing

Normaal gesproken wordt tijdens een schok een deel van de energie van objecten besteed aan warmte, vervorming, geluid en soms zelfs bij het produceren van licht. Dus de kinetische energie van het systeem na de botsing is minder dan de oorspronkelijke kinetische energie.

Wanneer kinetische energie k, wordt het dan bewaard:

K_of = K_F

Wat betekent dat de krachten die tijdens de botsing handelen conservatief zijn. Terwijl de botsing duurt, wordt de kinetische energie kort omgezet in potentiële energie en dan is het weer een kinetische energie. De respectieve kinetische energieën variëren, maar de som blijft constant.

Perfect elastische botsingen komen niet vaak voor, hoewel biljartballen een vrij goede aanpak zijn, evenals botsingen die plaatsvinden tussen ideale gasemoleculen.

Elastische schokken in een dimensie

Laten we een botsing van twee deeltjes hiervan in een enkele dimensie onderzoeken; Dat wil zeggen, de deeltjes die op elkaar omgaan, zeggen, zeggen, langs de x -as. Stel dat ze massa hebben M₁ En M₂. De eerste snelheden van elk zijn of₁ En of₂ respectievelijk. De laatste snelheden zijn v₁ En v₂.

We kunnen het zonder de vectornotatie doen, omdat de beweging langs de X-as wordt uitgevoerd, maar de tekens (-) en (+) geven de betekenis van de beweging aan. Links is negatief en naar positieve rechts, volgens de conventie.

Kan u van dienst zijn: Bravais Networks: Concept, Kenmerken, voorbeelden, oefeningen

-Formules voor elastische botsingen

Voor de hoeveelheid beweging

M₁of₁ + M₂of₂ = m₁v₁ + M₂v₂

Voor kinetische energie

½ m₁of²₁ + ½ m₂of²₂ = ½ m₁v²₁ +  ½ m₂v²₂

Wanneer de initiële massa's en snelheden bekend zijn, is het mogelijk om de vergelijkingen te hergroeperen om de uiteindelijke snelheden te vinden.

Het probleem is dat het in principe noodzakelijk is. Het ideaal zou zijn om uitdrukkingen te vinden die ze niet bevatten.

De eerste is om te doen zonder de ½ factor en beide vergelijkingen zo te herschikken dat een negatief teken verschijnt en de massa factor kan zijn:

M₁of₁ - M₁v₁ = M₂v₂ - M₂of₂

M₁of²₁ - M₁v²₁  = +M₂v²₂ - M₂of²₂

Op deze manier uitgedrukt worden:

M₁(of₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - of₂))

M₁(of²₁ - v²₁ ) = m₂ (v²₂ - of²₂))

Vereenvoudiging om vierkanten uit snelheden te verwijderen

Nu moet u het opmerkelijke product gebruiken, het draagt ​​bij aan het verschil in de tweede vergelijking, die een uitdrukking verkrijgt die niet de vierkanten bevat, zoals oorspronkelijk gewenst:

M₁(of₁ - v₁ ) = m₂(v₂ - of₂))

M₁(of₁ - v₁ ) (of₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - of₂) (V₂ + of₂))

De volgende stap is om de eerste vergelijking in de tweede te vervangen:

M₂(v₂ - of₂) (of₁ + v₁ ) = m₂ (v₂ - of₂) (V₂ + of₂))

En wanneer de term wordt herhaald M₂(v₂ - of₂)) Aan beide zijden van gelijkheid wordt deze term geannuleerd en is hij zo:

(of₁ + v₁) = (V₂ + of₂))

Of nog beter:

of₁ - of₂= V₂ -  v₁

Eindsnelheden v₁ en v₂ van de deeltjes

Nu zijn er twee lineaire vergelijkingen waarmee het gemakkelijker is om te werken. We zullen ze opnieuw onder de andere plaatsen:

M₁of₁ + M₂of₂ = m₁v₁ + M₂v₂

of₁ - of₂= V₂ -  v₁

De tweede vergelijking vermenigvuldigen met M₁ En het toevoegen van term aan term overblijfselen:

M₁of₁ + M₂of₂ = m₁v₁ + M₂v₂

M₁of₁ - M₁of₂= m₁v₂ - M₁ v₁

-

2 m₁of₁ + (M₂ - M₁) of₂ = (m₂ + M₁) v₂

En het is al mogelijk om te wissen v₂. Bijvoorbeeld:

Een soortgelijke behandeling kan worden uitgevoerd om een ​​vergelijking te vinden v₁. De lezer blijft achter als een oefening om aan te tonen dat:

Speciale gevallen in elastische botsingen

Nu vergelijkingen beschikbaar zijn voor de uiteindelijke snelheden van beide deeltjes, is het tijd om enkele speciale situaties te analyseren.

Twee identieke massa's

Dan M₁ = m₂ = m En:

v₁ = u₂

v₂ = u₁

Deeltjes wisselen eenvoudig hun snelheden uit na botsing.

Twee identieke massa's, van wie er aanvankelijk in rust was

Opnieuw  M₁ = m₂ = m en aannemen dat dat of₁ = 0:

v₁ = u₂

v₂ = 0

Na de crash verwerft het deeltje dat in rust was dezelfde snelheid van het deeltje dat had bewogen, en het stopt op zijn beurt.

Kan u van dienst zijn: hydraulische druk

Twee verschillende massa's, een van hen in eerste instantie in rust

Stel in dit geval de of₁ = 0, Maar de massa zijn anders:

Wat als M₁ is veel groter dan M₂?

Het gebeurt dat m₁ Blijf in rust en M₂ Het wordt geretourneerd met dezelfde snelheid waarmee het beïnvloedde.

Huygens-Newton-restitutiecoëfficiënt of -regel

Eerder werd de volgende relatie tussen de snelheden voor twee objecten in elastische botsing afgeleid: of₁ - of₂ = V₂ -  v₁. Deze verschillen zijn de relatieve snelheden voor en na de botsing. Over het algemeen wordt voor een botsing vervuld dat:

of₁ - of₂ = -(v₁ -  v₂))

Het relatieve snelheidsconcept wordt beter gewaardeerd als de lezer zich voorstelt dat het zich op een van de deeltjes bevindt en uit deze positie de snelheid waarmee het andere deeltje beweegt. De vorige vergelijking wordt zo herschreven:

Als kinetische energie niet wordt bewaard, zal het aangegeven quotiënt minder zijn dan 1. Laten we bellen En naar de waarde van het genoemde dimensieloze quotiënt:

O goed:

De waarde van En is tussen 0 en 1 en wordt genoemd Restitutiecoëfficiënt. Wanneer de botsing elastisch is, e = 1. Wanneer het volledig inelastisch is, e = 0, terwijl als het een andere tussenwaarde heeft, is er wat kinetische energie gedispergeerd in andere soorten energie.

Opgeloste oefeningen

-Oefening opgelost 1

Een biljartbal beweegt naar links met 30 cm/s, botst van vooraan met een andere identieke bal die naar rechts gaat naar 20 cm/s. De twee ballen hebben hetzelfde deeg en de crash is perfect elastisch. Vind de snelheid van elke bal na impact.

Oplossing

of₁ = -30 cm/s

of₂ = +20 cm/s

Dit is het speciale geval dat twee identieke massa's in een elastisch dimensie botsen, daarom worden de snelheden uitgewisseld.

v₁ = +20 cm/s

v₂ = -30 cm/s

-Oefening opgelost 2

De restitutiecoëfficiënt van een bal die op de grond stuitert, is gelijk aan 0,82. Als u van rust valt, welke fractie van uw oorspronkelijke hoogte zal de bal na eenmaal bereiken? En na 3 rebounds?

Een bal stuitert tegen een stevig oppervlak en verliest hoogte bij elke rebound. Bron: zelf gemaakt.

Oplossing

De bodem kan object 1 zijn in de restitutiecoëfficiëntvergelijking. En het is altijd in rust, dus dat:

De negatieve richting wordt gekozen en het positieve. De snelheid van een object dat vrijelijk van een bepaalde hoogte wordt vrijgegeven H_of is:

Het teken (-) geeft aan dat de bal afdaalt:

Het kan u van dienst zijn: Torricelli Experiment: Atmosferische drukmaatregelen, belang

 

Met deze snelheid stuiteren:

 

Het + teken geeft aan dat het een stijgende snelheid is. En volgens het bereikt de bal een maximale hoogte van:

 

Nu keert hij weer terug naar de grond met snelheid van dezelfde omvang, maar het tegenovergestelde teken:

En stuitert met:

Dit bereikt een maximale hoogte van:

Bereik de grond opnieuw met:

Opeenvolgende rebounds

Elke keer dat de bal stuitert en stijgt, moet je de snelheid opnieuw vermenigvuldigen met 0.82:

En bereikt een maximale hoogte die wordt bepaald door het kwadraat van genoemde snelheid:

Op dit punt h₃ is ongeveer 30% van H_of. Wat zou de hoogte zijn op 6e rebounds zonder berekeningen te maken die zo gedetailleerd zijn als de vorige?

ik zou zijn H₆ = 0.82¹² H_of = 0.092H_of of slechts 9% van H_of.

-Oefening opgelost 3

Een blok van 300 g beweegt naar het noorden tot 50 cm/s en botst tegen een blok van 200 g dat naar het zuiden is gericht. Neem aan dat de botsing perfect elastisch is. Vind de snelheden na impact.

Gegevens

M₁ = 300 g; of₁ = + 50 cm/s

M₂ = 200 g; of₂ = -100 cm/s

-Oefening opgelost 4

Er wordt een massa M vrijgegeven₁ = 4 kg van het punt aangegeven op de baan zonder wrijving, totdat het botst met m₂ = 10 kg in rust. Tot wat een hoogte is m₁ Na de botsing?

Oplossing

Omdat er geen wrijving is, wordt mechanische energie bewaard om de snelheid te vinden of₁ met wat M₁ gevolgen  M_2. Aanvankelijk is kinetische energie 0, sindsdien M₁ een deel van de rest. Bij het bewegen op het horizontale oppervlak heeft het geen hoogte, dus de potentiële energie is 0.

MGH = ½ MU₁ ²

 

of₂ = 0

Nu de snelheid van M₁ Na de botsing:

Het negatieve teken betekent dat het is geretourneerd. Met deze snelheid stijgt en wordt mechanische energie opnieuw bewaard om te vinden H ', De hoogte waarop het erin slaagt te stijgen na de crash:

½ mV₁² = mgh '

Merk op dat u niet terugkeert naar het startpunt op 8 m hoogte. Het heeft niet genoeg energie omdat het een deel van zijn kinetische energie de massa gaf M_1.

Referenties

1. Giancoli, D.  2006. Fysica: principes met toepassingen. 6^e. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, a. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, r., Vulle, c. 2011. Fundamentals of Physics. 9^NA Cengage leren. 172 -182
4. Tipler, p. (2006) Natuurkunde voor wetenschap en technologie. 5e ed. Deel 1. Redactioneel teruggekeerd. 217-238
5. Tippens, p. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. MacGraw Hill. 185 -195