Elastische schokken in een dimensie, speciale gevallen, oefeningen
![Elastische schokken in een dimensie, speciale gevallen, oefeningen](https://learnaboutworld.com/storage/img/images/choques-elsticos-en-una-dimensin-casos-especiales-ejercicios.jpg)
- 3198
- 251
- Aaron Okuneva
De Elastische schokken o Elastische botsingen bestaan uit korte maar intense interacties tussen objecten, waarin zowel de hoeveelheid beweging als kinetische energie worden bewaard. Choques zijn zeer frequente gebeurtenissen in de natuur: van subatomaire deeltjes tot sterrenstelsels, door biljartballen en schokauto's in aantrekkingskrachtparken, zijn ze allemaal objecten die kunnen botsen.
Tijdens een botsing of schok zijn de interactiekrachten tussen objecten zeer intens, veel meer dan die welke extern kunnen handelen. Op deze manier kan worden bevestigd dat de deeltjes tijdens de botsing een geïsoleerd systeem vormen.
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images/choques-elsticos-en-una-dimensin-casos-especiales-ejercicios.jpg)
In dit geval is het vervuld dat:
Waar P Het is de vectorhoeveelheid van beweging, waarvan de omvang is MV (Snelheidsmassa). Als de afgeleide van P is nietig, dat betekent dat P het is constant. En dit betekent dat het niet varieert, dat het bewaard blijft. Daarom kunnen we dat bevestigen:
Pof = PF
De hoeveelheid beweging Pof Voordat de botsing hetzelfde is als na botsing. Dit wordt voldaan voor elk type botsing, zowel elastisch als inelastisch.
Nu moet u het volgende overwegen: Tijdens een botsing ervaren de objecten een bepaalde vervorming. Wanneer de botsing elastisch is, herwinnen objecten snel hun oorspronkelijke vorm.
[TOC]
Kinetische energiebesparing
Normaal gesproken wordt tijdens een schok een deel van de energie van objecten besteed aan warmte, vervorming, geluid en soms zelfs bij het produceren van licht. Dus de kinetische energie van het systeem na de botsing is minder dan de oorspronkelijke kinetische energie.
Wanneer kinetische energie k, wordt het dan bewaard:
Kof = KF
Wat betekent dat de krachten die tijdens de botsing handelen conservatief zijn. Terwijl de botsing duurt, wordt de kinetische energie kort omgezet in potentiële energie en dan is het weer een kinetische energie. De respectieve kinetische energieën variëren, maar de som blijft constant.
Perfect elastische botsingen komen niet vaak voor, hoewel biljartballen een vrij goede aanpak zijn, evenals botsingen die plaatsvinden tussen ideale gasemoleculen.
Elastische schokken in een dimensie
Laten we een botsing van twee deeltjes hiervan in een enkele dimensie onderzoeken; Dat wil zeggen, de deeltjes die op elkaar omgaan, zeggen, zeggen, langs de x -as. Stel dat ze massa hebben M1 En M2. De eerste snelheden van elk zijn of1 En of2 respectievelijk. De laatste snelheden zijn v1 En v2.
We kunnen het zonder de vectornotatie doen, omdat de beweging langs de X-as wordt uitgevoerd, maar de tekens (-) en (+) geven de betekenis van de beweging aan. Links is negatief en naar positieve rechts, volgens de conventie.
Kan u van dienst zijn: Bravais Networks: Concept, Kenmerken, voorbeelden, oefeningen-Formules voor elastische botsingen
Voor de hoeveelheid beweging
M1of1 + M2of2 = m1v1 + M2v2
Voor kinetische energie
½ m1of21 + ½ m2of22 = ½ m1v21 + ½ m2v22
Wanneer de initiële massa's en snelheden bekend zijn, is het mogelijk om de vergelijkingen te hergroeperen om de uiteindelijke snelheden te vinden.
Het probleem is dat het in principe noodzakelijk is. Het ideaal zou zijn om uitdrukkingen te vinden die ze niet bevatten.
De eerste is om te doen zonder de ½ factor en beide vergelijkingen zo te herschikken dat een negatief teken verschijnt en de massa factor kan zijn:
M1of1 - M1v1 = M2v2 - M2of2
M1of21 - M1v21 = +M2v22 - M2of22
Op deze manier uitgedrukt worden:
M1(of1 - v1 ) = m2(v2 - of2))
M1(of21 - v21 ) = m2 (v22 - of22))
Vereenvoudiging om vierkanten uit snelheden te verwijderen
Nu moet u het opmerkelijke product gebruiken, het draagt bij aan het verschil in de tweede vergelijking, die een uitdrukking verkrijgt die niet de vierkanten bevat, zoals oorspronkelijk gewenst:
M1(of1 - v1 ) = m2(v2 - of2))
M1(of1 - v1 ) (of1 + v1 ) = m2 (v2 - of2) (V2 + of2))
De volgende stap is om de eerste vergelijking in de tweede te vervangen:
M2(v2 - of2) (of1 + v1 ) = m2 (v2 - of2) (V2 + of2))
En wanneer de term wordt herhaald M2(v2 - of2)) Aan beide zijden van gelijkheid wordt deze term geannuleerd en is hij zo:
(of1 + v1) = (V2 + of2))
Of nog beter:
of1 - of2= V2 - v1
Eindsnelheden v1 en v2 van de deeltjes
Nu zijn er twee lineaire vergelijkingen waarmee het gemakkelijker is om te werken. We zullen ze opnieuw onder de andere plaatsen:
M1of1 + M2of2 = m1v1 + M2v2
of1 - of2= V2 - v1
De tweede vergelijking vermenigvuldigen met M1 En het toevoegen van term aan term overblijfselen:
M1of1 + M2of2 = m1v1 + M2v2
M1of1 - M1of2= m1v2 - M1 v1
-
2 m1of1 + (M2 - M1) of2 = (m2 + M1) v2
En het is al mogelijk om te wissen v2. Bijvoorbeeld:
Een soortgelijke behandeling kan worden uitgevoerd om een vergelijking te vinden v1. De lezer blijft achter als een oefening om aan te tonen dat:
Speciale gevallen in elastische botsingen
Nu vergelijkingen beschikbaar zijn voor de uiteindelijke snelheden van beide deeltjes, is het tijd om enkele speciale situaties te analyseren.
Twee identieke massa's
Dan M1 = m2 = m En:
v1 = u2
v2 = u1
Deeltjes wisselen eenvoudig hun snelheden uit na botsing.
Twee identieke massa's, van wie er aanvankelijk in rust was
Opnieuw M1 = m2 = m en aannemen dat dat of1 = 0:
v1 = u2
v2 = 0
Na de crash verwerft het deeltje dat in rust was dezelfde snelheid van het deeltje dat had bewogen, en het stopt op zijn beurt.
Kan u van dienst zijn: hydraulische drukTwee verschillende massa's, een van hen in eerste instantie in rust
Stel in dit geval de of1 = 0, Maar de massa zijn anders:
Wat als M1 is veel groter dan M2?
Het gebeurt dat m1 Blijf in rust en M2 Het wordt geretourneerd met dezelfde snelheid waarmee het beïnvloedde.
Huygens-Newton-restitutiecoëfficiënt of -regel
Eerder werd de volgende relatie tussen de snelheden voor twee objecten in elastische botsing afgeleid: of1 - of2 = V2 - v1. Deze verschillen zijn de relatieve snelheden voor en na de botsing. Over het algemeen wordt voor een botsing vervuld dat:
of1 - of2 = -(v1 - v2))
Het relatieve snelheidsconcept wordt beter gewaardeerd als de lezer zich voorstelt dat het zich op een van de deeltjes bevindt en uit deze positie de snelheid waarmee het andere deeltje beweegt. De vorige vergelijking wordt zo herschreven:
Als kinetische energie niet wordt bewaard, zal het aangegeven quotiënt minder zijn dan 1. Laten we bellen En naar de waarde van het genoemde dimensieloze quotiënt:
O goed:
De waarde van En is tussen 0 en 1 en wordt genoemd Restitutiecoëfficiënt. Wanneer de botsing elastisch is, e = 1. Wanneer het volledig inelastisch is, e = 0, terwijl als het een andere tussenwaarde heeft, is er wat kinetische energie gedispergeerd in andere soorten energie.
Opgeloste oefeningen
-Oefening opgelost 1
Een biljartbal beweegt naar links met 30 cm/s, botst van vooraan met een andere identieke bal die naar rechts gaat naar 20 cm/s. De twee ballen hebben hetzelfde deeg en de crash is perfect elastisch. Vind de snelheid van elke bal na impact.
Oplossing
of1 = -30 cm/s
of2 = +20 cm/s
Dit is het speciale geval dat twee identieke massa's in een elastisch dimensie botsen, daarom worden de snelheden uitgewisseld.
v1 = +20 cm/s
v2 = -30 cm/s
-Oefening opgelost 2
De restitutiecoëfficiënt van een bal die op de grond stuitert, is gelijk aan 0,82. Als u van rust valt, welke fractie van uw oorspronkelijke hoogte zal de bal na eenmaal bereiken? En na 3 rebounds?
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images/choques-elsticos-en-una-dimensin-casos-especiales-ejercicios_2.jpg)
Oplossing
De bodem kan object 1 zijn in de restitutiecoëfficiëntvergelijking. En het is altijd in rust, dus dat:
De negatieve richting wordt gekozen en het positieve. De snelheid van een object dat vrijelijk van een bepaalde hoogte wordt vrijgegeven Hof is:
Het teken (-) geeft aan dat de bal afdaalt:
Met deze snelheid stuiteren:
Het + teken geeft aan dat het een stijgende snelheid is. En volgens het bereikt de bal een maximale hoogte van:
Nu keert hij weer terug naar de grond met snelheid van dezelfde omvang, maar het tegenovergestelde teken:
En stuitert met:
Dit bereikt een maximale hoogte van:
Bereik de grond opnieuw met:
Opeenvolgende rebounds
Elke keer dat de bal stuitert en stijgt, moet je de snelheid opnieuw vermenigvuldigen met 0.82:
En bereikt een maximale hoogte die wordt bepaald door het kwadraat van genoemde snelheid:
Op dit punt h3 is ongeveer 30% van Hof. Wat zou de hoogte zijn op 6e rebounds zonder berekeningen te maken die zo gedetailleerd zijn als de vorige?
ik zou zijn H6 = 0.8212 Hof = 0.092Hof of slechts 9% van Hof.
-Oefening opgelost 3
Een blok van 300 g beweegt naar het noorden tot 50 cm/s en botst tegen een blok van 200 g dat naar het zuiden is gericht. Neem aan dat de botsing perfect elastisch is. Vind de snelheden na impact.
Gegevens
M1 = 300 g; of1 = + 50 cm/s
M2 = 200 g; of2 = -100 cm/s
-Oefening opgelost 4
Er wordt een massa M vrijgegeven1 = 4 kg van het punt aangegeven op de baan zonder wrijving, totdat het botst met m2 = 10 kg in rust. Tot wat een hoogte is m1 Na de botsing?
Oplossing
Omdat er geen wrijving is, wordt mechanische energie bewaard om de snelheid te vinden of1 met wat M1 gevolgen M2. Aanvankelijk is kinetische energie 0, sindsdien M1 een deel van de rest. Bij het bewegen op het horizontale oppervlak heeft het geen hoogte, dus de potentiële energie is 0.
MGH = ½ MU1 2
of2 = 0
Nu de snelheid van M1 Na de botsing:
Het negatieve teken betekent dat het is geretourneerd. Met deze snelheid stijgt en wordt mechanische energie opnieuw bewaard om te vinden H ', De hoogte waarop het erin slaagt te stijgen na de crash:
½ mV12 = mgh '
Merk op dat u niet terugkeert naar het startpunt op 8 m hoogte. Het heeft niet genoeg energie omdat het een deel van zijn kinetische energie de massa gaf M1.
Referenties
- Giancoli, D. 2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall. 175-181
- Rex, a. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
- Serway, r., Vulle, c. 2011. Fundamentals of Physics. 9NA Cengage leren. 172 -182
- Tipler, p. (2006) Natuurkunde voor wetenschap en technologie. 5e ed. Deel 1. Redactioneel teruggekeerd. 217-238
- Tippens, p. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. MacGraw Hill. 185 -195