Vierkant binomiaal

Wat is een vierkant binomiaal?

In Elementaire algebra Een binomiaal is de som of aftrekking van twee monomials, waarvan de vorm is (a ± b), waar naar is de eerste termijn en B de seconde. Het ± symbool, dat "meer" leest, duidt compact aan de som en aftrekking van deze termen aan.

Vervolgens wordt het vierkante binomiale in de vorm geschreven (a ± b)², om de vermenigvuldiging van de binomiale met zichzelf weer te geven. Deze bewerking kan gemakkelijk worden uitgevoerd met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging ten opzichte van de toevoeging.

Geometrische interpretatie van het vierkante binomiale toevoeging van twee monomials: het gebied van het grote vierkant bestaat uit het gebied van het groene vierkant, plus dat van het oranje vierkant, plus die van de twee gele rechthoeken, wat resulteert in een² + 2A⋅B + B². Bron: Wikimedia Commons.

Op deze manier wordt een resultaat verkregen dat handig is om te onthouden, omdat de ontwikkeling van een vierkante binomiaal in veel algebatstoepassingen, de berekening en de wetenschappen in het algemeen verschijnt.

Uitleg

De ontwikkeling van het vierkante binomiale wordt uitgevoerd met behulp van de bovengenoemde distributieve eigenschap. Op deze manier krijg je:

(A ± B)² = (a ± b) × (a ± b) = a² ± a⋅b ± b⋅a + b² = A² ± 2A⋅B + B²

Het resultaat, dat altijd drie termen heeft en bekend staat als Opmerkelijk product, Het leest op deze manier:

Vierkant van de eerste termijn, plus/minder het dubbele product van de eerste term voor de tweede, plus het vierkant van de tweede termijn.

De definitie is van toepassing op elke binomiale, ongeacht de vorm van zijn voorwaarden.

Vierkant van de som en het verschil

Het vierkant van een som is:

(A + B)² = (a + b) × (a + b) = a² + AB + BA + B² = A² + 2AB + B²

Terwijl het kwadraat van het verschil is:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - AB - BA + B² = A² - 2AB + B²

Het kan u van dienst zijn: nominale variabele: concept en voorbeelden

Merk op dat het verschil tussen beide ontwikkelingen ligt in het teken dat op de gekruiste term wordt geplaatst.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Bij het ontwikkelen van het vierkant van de binomiale (x + 5)², Het wordt verkregen, met behulp van het resultaat verkregen in de vorige sectie:

(x + 5)² = x² + 2x ∙ 5 + 5² = x² + 10x + 25

Voorbeeld 2

Om de ontwikkeling van het vierkante binomiale te vinden (2x - 3)², Ga op een analoge manier verder:

(2x - 3)² = (2x)² - 2 ∙ 2x ∙ 3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Voorbeeld 3

Niet altijd de term bevattende teksten gaan eerst op zijn plaats. Vier bijvoorbeeld de binomiale (12 - 7x), deze wordt verkregen:

(12 - 7x)² = 12² - 2 ∙ 12 ∙ 7x + (7x)² = 144 - 168x + 49x²

Opdrachten

Ontwikkel de volgende vierkante binomials:

a) (3xy - 1)²
b) (2z + 5y)²
c) [(x+y) - 6]²

Oplossing voor

(3xy - 1)² = (3xy)² - 2 ∙ 3xy ∙ 1 + 1² = 9x²En² - 6xy + 1

Oplossing B

(2z + 5y)² = (2z)² + 2 ∙ 2Z ∙ 5y + (5y)² = 4Z² + 20zy + 25y²

Oplossing C

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 2 ∙ (x +y) ∙ 6 +6² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36

De eerste term van de trinomiale kan op zijn beurt worden ontwikkeld:

(x+y)² = x² + 2x ∙ y + en²

En vervang het vorige resultaat:

[(x+y) - 6]² = (x+y)² - 12 ∙ (x + y) + 36 = x² + 2x ∙ y + en² - 12 ∙ (x + y) + 36

Perfect vierkant trinomiaal

Het resultaat van het ontwikkelen van een vierkante binomiale bevat drie termen, volgens: (a ± b)² = a² ± 2AB + B². Daarom wordt het gebeld trinomiaal (drie monomials) en het is ook perfect, omdat het wordt verkregen door vierkant een binomiaal.

Het identificeren van een perfect vierkant trinomiaal, en het vinden van de overeenkomstige binomiale die er tot aanleiding geeft, is het doel van de factorisatie.

Bijvoorbeeld Trinomial X² + 14x + 49 is een perfect vierkant trinomiaal, omdat:

Kan u van dienst zijn: transcendente nummers: wat zijn, formules, voorbeelden, oefeningen

X² + 14x + 49 = (x + 7)²

De lezer kan eenvoudig controleren en het vierkant van de binomiale ontwikkelen (x + 7)² Volgens de vorige formules:

(x + 7)² = x² + 2x ∙ 7 + 7² = x² + 14x + 49