Vector Directeur vergelijking van de lijn, opgeloste oefeningen
- 2407
- 635
- Nathan Wiegand
Het wordt begrepen door Directeur Vector Degene die de richting van een lijn definieert, hetzij in het vlak of in de ruimte. Daarom kan een vector parallel aan de lijn worden beschouwd als een directeur van hetzelfde.
Dit is mogelijk dankzij een axioma van Euclidische geometrie die zegt dat twee punten een lijn definiëren. Dan definieert het georiënteerde segment dat deze twee punten vormen ook een vectordirecteur van die lijn.
Figuur 1. Vector directeur van een lijn. (Eigen uitwerking) Gegeven een punt P behorend tot de lijn (L) en gegeven een directeur vector of Van die lijn is de lijn volledig bepaald.
[TOC]
Vergelijking van de lijn- en directeur -directeur
Figuur 2. Vergelijking van de lijn- en directeur -directeur. (Eigen uitwerking) Gegeven een punt P van coördinaten V: (Xo, Me) en een vector of Directeur van een lijn (L), Helemaal wijzen Q van coördinaten V: (X, Y) Moet die vector vervullen Pq parallel aan u zijn. Deze laatste voorwaarde is gegarandeerd als Pq Het is evenredig met of:
Pq = T⋅of
In de vorige uitdrukking T Het is een parameter die tot reële getallen hoort.
Als de Cartesiaanse componenten van Pq en van of De vorige vergelijking is als volgt geschreven:
(X-xo, y-yo) = t⋅ (a, b)
Als de componenten van vectorgelijkheid gelijk zijn aan het volgende paar vergelijkingen:
X - xo = a⋅t En En - ik = b⋅t
Parametrische vergelijking van de lijn
De coördinaten X En EN van een punt van de lijn (L) dat door een coördinaatpunt gaat (Xo, ik) En het is evenwijdig aan Directeur Vector of= (a, b) Ze worden bepaald door reële waarden toe te wijzen aan de variabele parameter t:
X = xo + a⋅t; Y = me + b⋅t
voorbeeld 1
Om de betekenis van de parametrische vergelijking van de lijn te illustreren, nemen we als directeur vector
Kan u van dienst zijn: golvende opticaof = (a, b) = (2, -1)
en als een bekend punt van de lijn het punt
P = (xo, me) = (1, 5).
De parametrische vergelijking van de lijn is:
X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞
Om de betekenis van deze vergelijking te illustreren, laat figuur 3 zien, waarbij parameter t de waarde en het punt verandert Q van coördinaten (X, y) Neem verschillende posities op de lijn.
figuur 3. Pq = t u. (Eigen uitwerking) De lijn in vectorvorm
Gegeven een punt P van de lijn en de directeur van de directeur of de vergelijking van de lijn kan in een vectorvorm worden geschreven:
Oq = Op + λ⋅of
In de vorige vergelijking is dat enig punt dan behoren tot de lijn en λ Een reëel nummer.
De vectorvergelijking van de lijn is van toepassing op een willekeurig aantal dimensies, zelfs een hyper-eret kan worden gedefinieerd.
In de drie -dimensionale zaak voor een directeur vector of= (a, b, c) en een punt P = (XO, ME, zo), De coördinaten van een generiek punt Q = (x, y, z) Behoren tot de lijn is:
(X en Z) = (Xo, i, zo) + λ⋅ (a, b, c)
Voorbeeld 2
Overweeg opnieuw de lijn die als directeur -directeur heeft
of = (a, b) = (2, -1)
en als een bekend punt van de lijn het punt
P = (xo, me) = (1, 5).
De vectorvergelijking van deze lijn is:
(X, y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)
Continue vorm van de lijn en de directeur vector
Beginnend van de parametrische vorm, het wissen en matchen van de parameter λ die u hebt:
(X-xo)/a = (y-yo)/b = (z-zo)/c
Dit is de symmetrische vorm van de lijnvergelijking. ik voel dat naar, B En C Ze zijn de componenten van de directeur vector.
Voorbeeld 3
Overweeg de lijn die als directeur -directeur heeft
of = (a, b) = (2, -1)
en als een bekend punt van de lijn het punt
Kan u van dienst zijn: wat is de elektriciteit? (Met experiment)P = (xo, me) = (1, 5). Vind zijn symmetrische vorm.
De symmetrische of continue vorm is van de lijn is:
(X - 1)/2 = (y - 5)/( - 1)
Algemene vorm van de lijnvergelijking
Het staat bekend als de algemene vorm van de lijn in het XY -vlak naar de vergelijking die de volgende structuur heeft:
A⋅x + b⋅y = c
De uitdrukking van de symmetrische vorm kan worden herschreven zodat deze de algemene vorm heeft:
B⋅x - a⋅y = b⋅xo - a⋅o
Vergelijking met de algemene vorm van de lijn blijft:
A = b, b = -a en c = B⋅xo - a⋅o
Voorbeeld 3
Zoek de algemene vorm van de lijn waarvan de directeur u = (2, -1) is
En wat door punt P = (1, 5) gaat.
Om de algemene vorm te vinden, kunnen we de gegeven formules gebruiken, maar een alternatief pad zal worden gekozen.
We beginnen met het vinden van de dubbele W -vector van de U -vector, gedefinieerd als de vector die wordt verkregen door de componenten van U uit te wisselen en het tweede te vermenigvuldigen:
W= (-1, -2)
De dubbele vector W komt overeen met een rotatie in 90 ° in het schema van de directeur directeur v.
We vermenigvuldigen met klimmen W met (X, y) en met (Xo, ik) En we matchen:
(-1, -2) • (x, y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X -2y = -1 -2⋅5 = -11
Eindelijk blijven:
X + 2y = 11
Standaardvorm van de lijnvergelijking
Het staat bekend als standaardvorm van de lijn in het XY -vlak, degene die de volgende structuur heeft:
Y = m⋅x + d
waarbij M de helling en D -onderschepping vertegenwoordigt met de as en.
Gezien de directeur U = (a, b) vector, is de helling m b/a.
En D wordt verkregen door X en Y te vervangen door het bekende punt XO, Me:
I = (b/a) xo + d.
Kortom, m = b/a y d = me -(b/a) xo
Merk op dat de helling M het quotiënt is tussen de component En van de regisseur en de component X van hetzelfde.
Kan u van dienst zijn: rotatiebalans: formules en vergelijkingen, voorbeelden, oefeningenVoorbeeld 4
Zoek de standaardvorm van de lijn waarvan de directeur u = (2, -1) is
En wat door punt P = (1, 5) gaat.
M = -½ en d = 5 -( -½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) x + 11/2
Opgeloste oefeningen
-Oefening 1
Zoek een vectordirecteur van de lijn (l) die de kruising van het vlak is (π): x - y + z = 3 en het vlak (ω): 2x + y = 1.
Schrijf vervolgens de continue vorm van de lijn van de lijn (l).
Oplossing
Uit de vlakke vergelijking (ω) klaring y: y = 1 -2x
Dan vervangen we in de vlakvergelijking (π):
X - (1 - 2x) + z = 3 ⇒ 3x + z = 4 ⇒ z = 4 - 3x
Vervolgens parametriseren we X, we kiezen de parameterisatie x = λ
Dit betekent dat de lijn een vectorvergelijking heeft gegeven door:
(X, y, z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
dat kan worden herschreven als:
(X, y, z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
Met wat duidelijk is dat de vector of = (1, -2, -3) is een rechte managing vector (l).
De continue vorm van de lijn (l) is:
(X - 0)/1 = (y - 1)/( - 2) = (z - 4)/( - 3)
-Oefening 2
Gegeven het 5x -vlak + naar Y + 4z = 5
en de lijn waarvan de vergelijking x/1 = (y-2)/3 = (z -2)/(-2) is
Bepaal de waarde van naar zodat het vlak en de lijn parallel zijn.
Oplossing 2
De vector N = (5, a, 4) is een normale vector in het vlak.
De vector of = (1, 3, -2) is een rechte manager.
Als de lijn parallel aan het vliegtuig is, dan n • v = 0.
(5, naar, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3naar -8 = 0 ⇒ naar= 1.
Referenties
- Fleming, W., & Varberg, D. EN. (1989). Prealculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
- Kolman, B. (2006). Lineaire algebra. Pearson Education.
- Loyaal, j. M., & Viloria, n. G. (2005). Platte analytische geometrie. Mérida - Venezuela: Venezolaanse redactie C. NAAR.
- Navarro, Rocio. De vectoren. Hersteld van: boeken.Google.co.gaan.
- Pérez, c. D. (2006). Prequalculus. Pearson Education.
- Prenowitz, W. 2012. Basisconcepten van geometrie. Rowman & Littlefield.
- Sullivan, m. (1997). Prequalculus. Pearson Education.