De Factoriële notatie Het wordt gebruikt om het product van de eerste te berekenen N Natuurlijke getallen, dat wil zeggen positieve gehele getallen, beginnend van 1 tot de waarde van n. Het wordt aangeduid door een teken van bewondering en wordt genoemd N Factoriële:

N! = 1⋅2⋅3… . (N-1) ⋅N

Het berekenen van de faculteit van een getal is eenvoudig, bijvoorbeeld het product van de eerste zes natuurlijke nummers wordt uitgedrukt door:

6! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720

Figuur 1. De facultale notatie kan door het productsymbool compact worden geschreven van k = 1 tot n. Bron: f. Zapata.

Factoren verschijnen over kwesties zoals de binomiale en combinatorische theorie van Newton die vaak worden gebruikt bij de berekening van de waarschijnlijkheden. Hierin verschijnen er vaak oproepen Combinatienummers dat kan worden uitgedrukt als faculteit.

De notatie N! Het is de oprichting van de Franse arts en wiskundige. Onafhankelijk werden de faculteiten ook ontdekt door een andere Franse wiskundige: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Net als bij de summaties is er een manier om het product van de eerste N natuurlijke nummers op een samenvattende manier uit te drukken:

 Het symbool vergelijkbaar met een hoofdletter "PI" die in de uitdrukking verschijnt, wordt "produceren" of "multiplicatory" genoemd.

Factoriële notatie -eigenschappen

Laat M en N twee positieve gehele getallen, het is vervuld dat:

1. Bij gemak werd overeengekomen om 0 te definiëren! Als gelijk aan 1, dat is: 0! = 1.
2. De waarde van 1! = 1
3. Ja! = B!, Het betekent dat a = b, op voorwaarde dat a⋅b ≠ 0. De uitzondering is waarden 0 en 1, sinds 1! = 1 = 0!, Zoals opgemerkt, maar het is duidelijk dat 1 ≠ 0.
4. Ja m < n, entonces M! < N! en daarom M! Het is opgenomen in N!:
   N! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1) ⋅M… n
5. Voor n groter dan of gelijk aan 2 moet u:
   N! = N⋅ (n-1)!
   Sinds volgens de definitie:
   N! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5… . (N-1)] ⋅N
   De uitdrukking tussen vierkante haakjes is precies (n-1)!
6. N⋅N! = (n+1)! - N!
   Inderdaad, het verhogen van de werking van de rechterkant van gelijkheid:
   (N+1)! - N! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5… n ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅2⋅3 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Kan u van dienst zijn: Convergence Radio: Definitie, voorbeelden en oefeningen opgelost

Co-factor, semi-data of quasi-facutorials van een nummer

De semi -actorial van een natuurlijk getal hangt af van het feit of het zelfs of vreemd is. In de notatie wordt het dubbele teken van bewondering of dubbele faculteit gebruikt en gedefinieerd door de volgende regel:

-Als n zelfs is:

N!! = 2⋅4⋅6⋅8… n

-Als n vreemd is:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Formules voor semi-factoren

De volgende formules helpen om semi-factorials gemakkelijker te berekenen, vooral als het gaat om grote cijfers.

Het volgende wordt waargenomen voor het geval dat n zelfs is:

N!! = (2⋅1) ⋅ (2⋅2) ⋅ (2⋅3) ⋅ (2⋅4)… 2⋅ (n/2) = (2⋅ 2⋅2⋅22.…) ⋅ [1⋅2⋅3⋅4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

En als n vreemd is, dan:

N!! = 1⋅3⋅5⋅7… n

Vermenigvuldigen en delen tegelijkertijd met [2 . 4 . 6 ... (n - 1)], de uitdrukking blijft:

N!! = [1mero

Maar het bedrag tussen toetsen is:

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7… . (N -1) ⋅N

En dit is n!, Zoals hierboven gezien, dan, bij het vervangen:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

Wat er op vierkant is, wordt zo herschreven:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Daarom:

N!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Voorbeelden

De bovenstaande eigenschappen worden toegepast om uitdrukkingen te vereenvoudigen die de faculteit bevatten, rekening houdend met dat, in het algemeen, de volgende uitdrukkingen niet equivalent zijn:

1. (m ± n)! ≠ M! ± n!
2. (m x n)! ≠ M! x n!
3. (M ÷ n)! ≠ M! ÷ n!
4. (M^N))! ≠ (m!))^N
5. (M!))! ≠ M!!

voorbeeld 1

Bij het direct berekenen van deze faculteiten:

tot 5!

Het kan u van dienst zijn: frequentiekans: concept, hoe het wordt berekend en voorbeelden

B) 8!

C) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Waarden worden verkregen:

tot 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

B) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

C) 4!! = 2⋅4 = 8

d) 11!! = 11⋅ 9 ⋅7⋅5⋅ 3⋅1 = 10395

e) 14!! = 14⋅12⋅10⋅8⋅6⋅4⋅2 = 645120

f) (2n+1)!! = 1⋅3⋅5⋅7… (2N-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

De resultaten van a) tot e) kunnen ook worden bevestigd met een rekenmachine. Wetenschappelijke rekenmachines hebben een functie om de waarde van x direct te berekenen!.

Zoals te zien is, zijn de resultaten van de faculteiten, behalve met kleine aantallen, waarden die zeer snel groeien.

Voorbeeld 2

De volgende fractionele uitdrukkingen kunnen worden vereenvoudigd bij het gebruik van de eigenschappen:

Opgeloste oefeningen

Oefening opgelost 1

Controleer, met behulp van de formule van co-factor, deze resultaten eerder verkregen:

a) 11!! = 10395

B) 14!! = 645120

Oplossing voor

Omdat 11 oneven is, worden de waarden zorgvuldig vervangen in de juiste formule:

N!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

En dan wordt het resultaat vereenvoudigd door de eigenschappen van de faculteiten:

elf!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11⋅10⋅9 ⋅ 8⋅7⋅6) ÷ 32 = 10395

Zoals verwacht werd hetzelfde resultaat verkregen als door 11 te berekenen!! Direct is het gebruik van de formule echter voordelig voor een grote N -waarde, omdat het de dubbele faculteit kan uiten als een product van twee factoren.

Oplossing B

Door de semi-factor formule voor n tar toe te passen en waarden te vervangen, wordt het volgende verkregen:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Oefening opgelost 2

Schrijf de volgende bewerkingen als faculteiten:

a) 7⋅6⋅5⋅4⋅3

b) n⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Oplossing voor

7⋅6⋅5⋅4⋅3 = 7! / 2!

Oplossing B

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Oplossing C

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Oefening opgelost 3

Er zijn 4 vierkanten van kleuren: blauw, oranje, violet en groen, en je wilt elkaar na een andere op een tafel vinden. Op hoeveel manieren kunnen de vierkanten worden geplaatst?

Kan u van dienst zijn: constante functie: kenmerken, voorbeelden, oefeningen Figuur 2. Hoeveel combinaties kunnen worden gemaakt door vier vierkanten van kleuren uit te lijnen?. Het resultaat kan worden uitgedrukt als een factor nummerbron: F. Zapata.

Oplossing

Er zijn verschillende manieren om de vierkanten af ​​te gooien, bijvoorbeeld om eerst de kleur te repareren. Hier zijn een paar opties:

-Blauw, oranje, violet en groen

-Blauw, groen, oranje en violet

-Blauw, violet, groen en oranje

Enzovoort. De lezer kan verifiëren dat er 6 combinaties van vierkanten zijn die met blauw beginnen.

Merk op dat wanneer u een kleur instelt als de eerste optie, u de andere 3 kleuren kunt repareren. Zodra de tweede is opgelost, zijn er 2 om te kiezen, en zodra deze kleur is geselecteerd, blijft er slechts 1 kleur over.

Dit kan worden uitgedrukt door product: 4⋅3⋅2⋅1, wat de factor is van 4!:

4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Er wordt geconcludeerd dat er in totaal 24 mogelijke combinaties zijn.

Op deze manier om het te organiseren wordt het genoemd permutatie, waarin de volgorde waarin de elementen worden geplaatst.

Oefening opgelost 4

Los de volgende vergelijkingen op:

a) (x² + X)! = 720

Oplossing voor

In het begin werd gezien dat 6! = 720, daarom:

(X² + X)! = 6!

Dan moet de hoeveelheid tussen haakjes 6 zijn:

X² + x = 6

Dit is een tweede graad vergelijking in X:

X² + X - 6 = 0

Deze vergelijking kan worden opgelost met behulp van de algemene formule of door trinomiale factorisatie.

Met behulp van deze laatste methode wordt het trinomiaal als volgt gefactoriseerd:

X² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

De vergelijkingsoplossingen zijn x₁ = -3 en x₂ = 2

Oplossing B

Zowel de teller als de noemer zijn factor, met het oog op het vereenvoudigen van het meest dat de uitdrukking kan zijn. Om te beginnen kunt u in de noemer factor zijn (x+7)!

Hiermee is het mogelijk om de term te annuleren (x+7)!, Verblijven:

AS (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! De noemer kan worden geannuleerd en blijft:

(x+8)! = 14!

Eigenschap 3 is een eenvoudige vergelijking:

x+8 = 14

x = 6

Referenties

1. Hoffman, J.G. Selectie van wiskundeproblemen. ED. SPPHINX.
2. Lipschutz, s. 2007. Discrete wiskunde. Schaum -serie. 3e. Editie. McGraw Hill.
3. Wiskunde is leuk. Factoriële functie. Hersteld van: Mathisfun.com.
4. Smartick. Factorial waarvoor we gebruiken?. Hersteld van: Smartick.is.
5. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.