Driehoeken geschiedenis, elementen, classificatie, eigenschappen

De driehoeken Het zijn platte en gesloten geometrische figuren, die uit drie zijden bestaan. Een driehoek wordt bepaald door drie lijnen die twee tot twee worden gesneden en zich met elkaar drie hoeken vormen. De driehoekige vorm, vol symboliek, is aanwezig in talloze objecten en als een element van constructie.

De oorsprong van de driehoek gaat verloren in de geschiedenis. Uit archeologisch bewijs is bekend dat de primitieve mensheid hem goed kende, omdat archeologische overblijfselen bevestigen dat hij werd gebruikt in gereedschap en wapens.

Figuur 1. Driehoeken. Bron: Public DomainPartures.

Het is ook duidelijk dat de oude Egyptenaren solide kennis hadden van geometrie en in het bijzonder van de driehoekige vorm. Ze werden belichaamd in de architecturale elementen van hun monumentale constructies.

In de Rhind Papyrus zijn er formules voor de berekening van driehoeken en trapeze -gebieden, evenals enkele volumes en andere concepten van rudimentaire trigonometrie.

Aan de andere kant is het bekend dat de Babyloniërs het gebied van de driehoek en andere geometrische figuren konden berekenen, die ze voor praktische doeleinden gebruikten, zoals de verdeeldheid van het land. Ze waren zich ook bewust van veel eigenschappen van driehoeken.

Het waren echter de oude Grieken die tegenwoordig veel van de frequente geometrische concepten systematiseerden, hoewel veel van die kennis niet exclusief was, omdat het zeker werd gedeeld met deze andere oude beschavingen.

[TOC]

Elementen van de driehoek

De elementen van elke driehoek worden in de volgende figuur aangegeven. Er zijn drie: hoekpunten, kanten en hoeken.

Figuur 2. Notatie van driehoeken en hun elementen. Bron: Wikimedia Commons, aangepast door F. Zapata

-Hoekpunten: Dit zijn de snijpunten van de lijnen waarvan de segmenten de driehoek bepalen. In de bovenste figuur bijvoorbeeld, de lijn L_AC die het AC -segment bevat, snijdt de lijn L_Aab die segment AB bevat, net op punt A.

-Zijkanten: Tussen elk paar hoekpunten wordt een lijnsegment getekend dat één kant van de driehoek vormt. Dit segment kan worden aangeduid met de letters van de uiteinden of een specifieke brief gebruiken om het te noemen. In het voorbeeld van figuur 2 wordt de AB -zijde ook "C" genoemd.

-Hoeken: Tussen elke kant met een gemeenschappelijk hoekpunt ontstaat een hoek, waarvan het hoekpunt samenvalt met die van de driehoek. De hoek wordt over het algemeen aangeduid met een Griekse brief, zoals in het begin vermeld.

Om een ​​bepaalde driehoek te bouwen, met een bepaalde vorm en grootte, heb je gewoon enkele van de volgende gegevenssets:

-De drie kanten, vrij duidelijk in het geval van een driehoek.

-Twee zijden en de hoek ertussen, en de resterende zijde is onmiddellijk getekend.

-Twee hoeken (intern) en de zijkant daartussen. Bij uitbreiding zijn de twee ontbrekende zijden getrokken en de driehoek is klaar.

Notatie

Over het algemeen worden in de notatie van driehoeken de volgende conventies gebruikt: de hoekpunten worden aangegeven met hoofdletters, de zijkanten met kleine Latijnse letters en de hoeken door Griekse letters (zie figuur 2).

Op deze manier wordt de driehoek genoemd volgens zijn hoekpunten. De driehoek aan de linkerkant in figuur 2 is bijvoorbeeld de ABC -driehoek, en degene aan de rechterkant is de driehoek a'b'c '.

Het is ook mogelijk om andere notaties te gebruiken; Hoek α in figuur 2 wordt bijvoorbeeld aangeduid als BAC. Merk op dat de letter van het hoekpunt in het midden gaat en de letters zijn in de tegenovergestelde richting geschreven naar de kloknaalden.

Het kan u van dienst zijn: afbakening van het probleem

Andere keren wordt een circumflex -accent geplaatst om de hoek aan te duiden:

Of het symbool ∠ wordt gebruikt, omdat de vorige notatie mogelijk niet eenvoudig is in druk, gevolgd door de letter die overeenkomt met het hoekpunt:

α = ∠a

Soorten driehoeken

Er zijn verschillende driehoeken classificatiecriteria. De meest gebruikelijke is om ze te classificeren volgens de maat van hun zijden of volgens de maat van hun hoeken. Afhankelijk van de maat van hun zijkanten, kunnen de driehoeken zijn: Scalenes, Isluceles of Equilaterals:

-Scaleen: De drie kanten zijn anders.

-Gelijkbenig: Het heeft twee verschillende kanten en één.

-Gelijkzijdig: De drie kanten zijn hetzelfde.

figuur 3. Classificatie van driehoeken aan hun zijde. Bron: f. Zapata

Volgens de maat van hun hoeken worden de driehoeken zo genoemd:

-Stomp, Als een van de interne hoeken groter is dan 90º.

-Verbinden, Wanneer de drie interne hoeken van de driehoek acuut zijn, dat wil zeggen minder dan 90º

-Rechthoek, In het geval dat een van de interne hoeken 90º waard is. De zijkanten die 90º vormen, worden cateto's genoemd en de andere kant van de rechte hoek is de hypotenuse.

Figuur 4. Classificatie van driehoeken door hun interne hoeken. Bron: f. Zapata.

Congruentie van driehoeken

Wanneer twee driehoeken dezelfde vorm hebben en van gelijke grootte zijn, wordt gezegd dat ze congruent zijn. Natuurlijk is de congruentie gerelateerd aan gelijkheid, dus waarom hebben we in geometrie het over "twee congruente driehoeken" in plaats van "twee gelijke driehoeken"?

Welnu, het heeft de voorkeur om de term "congruentie" te gebruiken om zich aan de waarheid te houden, omdat twee driehoeken dezelfde vorm en grootte kunnen hebben, maar anders in het vlak worden georiënteerd (zie figuur 3). Vanuit het oogpunt van de geometrie zouden ze niet langer strikt hetzelfde zijn.

Figuur 5. Congruente driehoeken, maar niet noodzakelijkerwijs hetzelfde, omdat de oriëntatie in het vlak anders is. Bron: f. Zapata.

Congruentiecriteria

Twee driehoeken zijn congruent als een van de volgende situaties optreedt:

-De drie zijden meten hetzelfde (nogmaals, dit is het meest voor de hand liggend).

-Ze hebben twee identieke kanten en met dezelfde hoek tussen hen.

-Beide hebben twee identieke interne hoeken en de zijkant tussen deze hoeken is hetzelfde.

Zoals te zien is, gaat het om de twee driehoeken die voldoen aan de nodige omstandigheden, zodat bij het bouwen ervan hun vorm en grootte precies hetzelfde zijn.

De congruentiecriteria zijn zeer nuttig, omdat in de praktijk ontelbare mechanische onderdelen en onderdelen in serie moeten worden vervaardigd, zodat hun maatregelen en vorm exact hetzelfde zijn.

Gelijkenis van driehoeken

Een driehoek is vergelijkbaar met een andere als ze dezelfde vorm hebben, zelfs als ze van verschillende grootte zijn. Om ervoor te zorgen dat de vorm hetzelfde is, is het vereist dat interne hoeken dezelfde waarde hebben en dat de zijkanten evenredig zijn.

Figuur 6. Twee vergelijkbare driehoeken: hun maten verschillen, maar hun verhoudingen zijn hetzelfde. Bron: f. Zapata.

De driehoeken van figuur 2 zijn ook vergelijkbaar, evenals die in figuur 6. Dus:

∠ a = ∠ A ', ∠ B = ∠ B 'en ∠ C = ∠ C '

Wat betreft de zijden, worden aan de volgende redenen voor gelijkenis voldaan:

a/a '= b/b' = c/c '

Eigenschappen

De fundamentele eigenschappen van driehoeken zijn als volgt:

-De som van de interne hoeken van een driehoek is altijd 180º.

-Voor elke driehoek is de som van zijn externe hoeken gelijk aan 360 °.

Kan u van dienst zijn: Basisonderzoek: kenmerken, definitie, voorbeelden

- Een externe hoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee binnenhoeken die niet naast die hoek zijn.

Stellingen

Eerste stelling van dit

Ze worden toegeschreven aan de Griekse filosoof en wiskundige verhalen over Miletus, die verschillende stellingen hebben ontwikkeld met betrekking tot geometrie. De eerste van hen vestigt het volgende:

Als verschillende parallelle lijnen twee transversale lijnen snijden, bepalen ze segmenten die evenredig zijn.

Figuur 7. De verhalen over. Bron: f. Zapata.

Met andere woorden:

a/a '= b/b' = c/c '

De eerste stelling van dit is van toepassing op een driehoek, bijvoorbeeld is er de ABC Blue Triangle aan de linkerkant, die wordt gesneden door de rode parallellen rechts:

Figuur 8. De stelling van dergelijke en de soortgelijke driehoeken.

De Violet Triangle of Violet is vergelijkbaar met de ABC Blue Triangle, daarom kan volgens een dergelijke stelling het volgende worden geschreven:

Ab '/ac' = ab/ac

En het is consistent met wat hierboven is uitgelegd in het segment van de driehoeken gelijkenis. Trouwens, parallelle lijnen kunnen ook verticaal of parallel zijn met hypotenuse en soortgelijke driehoeken worden verkregen.

Tweede stelling hiervan

Deze stelling verwijst ook naar een driehoek en een middenomtrek of, zoals die hieronder worden getoond. In deze figuur is AC een diameter van de omtrek en B is er een punt van, anders is B anders dan A en B.

De tweede stelling van dergelijke stelt dat:

De hoek tussen de AB- en BC -segmenten is altijd 90º, daarom is de ABC -driehoek rechthoek.

Figuur 9. De tweede stelling hiervan. Bron: Wikimedia Commons. Inductiveload [public domein].

de stelling van Pythagoras

Dit is een van de beroemdste stellingen in de geschiedenis. Het is te wijten aan de Griekse wiskundige Pythagoras van Samos (569 - 475 tot. C.) en is van toepassing op een juiste driehoek. Zegt dit:

De som van de vierkanten van de lengtes De rechthoekige driehoekcategorieën, is gelijk aan de lengte van de hypotenuse hoog aan het vierkant.

Als we als voorbeeld de blauwe driehoek van figuur 8, of de Violet Triangle nemen, omdat beide rechthoeken zijn, dan kan worden gezegd dat:

AC² = AB² + BC² (Blauwe driehoek)

Ac '² = Ab '² + BC '² (Violet Triangle)

Het gebied van een driehoek

Het driehoeksgebied wordt gegeven door het product van zijn basis naar en zijn hoogte H, gedeeld door 2. En door trigonometrie kan deze hoogte worden geschreven als H = b sinθ.

Figuur 10. Gebied van de driehoek. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeelden van driehoeken

voorbeeld 1

Er wordt gezegd dat door zijn eerste stelling zo de hoogte van de grote piramide in Egypte, een van de 7 wonderen van de oude wereld, de schaduw die het op de grond projecteerde en degene die op de grond projecteerde, meten en degene die een belang in de grond projecteerde meet de grond.

Dit is het schema van de procedure gevolgd door dergelijke:

Figuur 11. Schema om de hoogte van de grote piramide te meten door gelijkenis van driehoeken. Bron: Wikimedia Commons. Dake [cc by-sa 3.0 (http: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0/]]

Zo veronderstelt dat de stralen van de zon parallel beïnvloeden. Met dit in gedachten stelde hij zich de grote rechtse driehoek voor.

Er is de hoogte van de piramide en C is de afstand op de grond gemeten van het midden tot de schaduw geprojecteerd door de piramide op de woestijnvloer. Het kan moeizaam zijn om C te meten, maar het is zeker eenvoudiger dan het meten van de hoogte van de piramide.

Aan de linkerkant is de kleine driehoek, van katten A en B, waar A de hoogte van de paal is die verticaal op de vloer wordt geplakt en B is de schaduw die het projecteert. Beide lengtes zijn meetbaar, net als C (C is gelijk aan de lengte van de schaduw + helft van de lengte van de piramide).

Kan u van dienst zijn: wat zijn tactiele stimuli?

Dan, door gelijkenis van driehoeken:

A/B = D/C

En de hoogte van de grote piramide blijkt te zijn: d = c.(A/B)

Voorbeeld 2

Civil Construction Armor zijn structuren op basis van dunne wood of metalen rechte staven, die in veel gebouwen als ondersteuning worden gebruikt. Ze staan ​​ook bekend als roosters, spanten of reticuleerd (Truss in Engels).

Daarin zijn de driehoeken altijd aanwezig, omdat de staven onderling verbonden zijn op punten die knooppunten worden genoemd, die kunnen worden gefixeerd of gearticuleerd.

Figuur 12. De driehoek is aanwezig in het frame van deze brug. Bron: Pxhere.

Voorbeeld 3

De methode die bekend staat als triangulatie stelt u in staat om de locatie van ontoegankelijke punten te verkrijgen die andere gemakkelijkere afstanden kennen om te meten, op voorwaarde dat een driehoek wordt gevormd die onder de hoekpunten de gewenste locatie omvat.

In de volgende figuur wilt u bijvoorbeeld weten op welk punt de zee het schip is, aangeduid als B.

Figuur 13. Triangulatieschema om het schip te vinden. Bron: Wikimedia Commons. Colette [CC BY-SA 3.0 (http: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0/]]

Ten eerste wordt de afstand tussen twee punten aan de kust gemeten, die in de figuur a en c zijn. Dan moet je de hoeken α en β bepalen, met behulp van een theodoliet, Een apparaat dat dient om verticale en horizontale hoeken te meten.

Met al deze informatie is een driehoek gebouwd op wiens bovenste hoekpunt het schip is. Het zou de hoek γ verminderen, door middel van middelen.

Opdrachten

Oefening 1

In de getoonde figuur zijn de stralen van de zon parallel. Op deze manier projecteert de 5 -meter hoge boom een ​​schaduw van 6 meter op de grond. Tegelijkertijd is de schaduw van het gebouw 40 meter. Vind een dergelijke stelling hiervan op zoek naar de hoogte van het gebouw.

Figuur 14. Schema voor het jaar opgelost 1. Bron: f. Zapata.

Oplossing

De rode driehoek heeft zijden van respectievelijk 5 en 6 meter, terwijl het blauw een hoogte heeft - de hoogte van de bouw- en basis 40 meter. Beide driehoeken zijn daarom vergelijkbaar:

H / 40 = 5/6 → H = 40.(5/6) M = 33.3 m

Oefening 2

U moet de horizontale afstand tussen twee punten kennen NAAR En B, Maar ze bevinden zich op een zeer onregelmatig terrein.

Ongeveer in het middelpunt (p_M) Uit dit land valt een bekendheid van 1 op.75 meter hoog. Als de meetlint een lengte van 26 meter aangeeft gemeten van A naar de bekendheid en 27 meter van B naar hetzelfde punt, zoek dan de afstand Aab.

Figuur 15. Schema voor de oefening opgelost 2. Bron: Jiménez, r. Wiskunde II. Geometrie en trigonometrie.

Oplossing

Pythagoras Stelling wordt toegepast op een van de twee rechthoeken driehoeken in de figuur. Beginnend met die links:

Hypotenuse = C = 26 meter

Hoogte = a = 1.75 meter

AP_M = (26² - 1.75²))^1/2 = 25.94 m

Nu wordt Pythagoras in de juiste driehoek toegepast, dit keer C = 27 meter, A = 1.75 meter. Met deze waarden:

BP_M= (27² - 1.75²))^1/2 = 26.94 m

De afstand AB voegt deze resultaten toe:

AB = 25.94 m +26.94 m = 52.88 m.

Referenties

1. Baldor, J. NAAR. 1973.Flat and Space Geometry. Midden -Amerikaans cultureel.
2. Barredo, D. De geometrie van de driehoek. Hersteld van: ficus.pntisch.MEC.is.
3. Jiménez, r. 2010. Wiskunde II. Geometrie en trigonometrie. Tweede druk. Pearson.
4. Wentworth, G. Planeetgeometrie. Hersteld van: Gutenberg.borg.
5. Wikipedia. Driehoek. Hersteld van: is. Wikipedia.borg.