Startpagina
Wiskunde
Rechthoek Trapeze -eigenschappen, relaties en formules, voorbeelden

Wiskunde

Rechthoek Trapeze -eigenschappen, relaties en formules, voorbeelden

A rechthoek trapeze Het is een platte figuur van vier zijden, zodat twee van hen parallel aan elkaar zijn, geroepen honken En ook een van de andere zijden staat loodrecht op de basen.

Om deze reden zijn twee van de interne hoeken recht, dat wil zeggen, ze meten 90º. Vandaar de naam van "rechthoek" die aan de figuur wordt gegeven. De volgende afbeelding van een rechthoek trapeze verduidelijkt deze kenmerken:

[TOC]

Elementen van trapeze

De elementen van de trapezoid zijn:

-Honken

-Hoekpunten

-Hoogte

-Interne hoeken

-Gemiddelde basis

-Diagonalen

We zullen deze elementen beschrijven met behulp van figuren 1 en 2:

Figuur 1. Een rechthoekige trapeze, gekenmerkt door twee interne hoeken van 90º: A en B. Bron: f. Zapata.

De zijkanten van de rechthoek trapezoid worden aangegeven met kleine letters A, B, C en D. De hoeken van de figuur of Hoekpunten Ze worden aangegeven in hoofdletters. Eindelijk Interne hoeken Ze worden uitgedrukt met Griekse letters.

Volgens de definitie, de honken Van deze trapezoid zijn zijden A en B, die zoals waargenomen parallel zijn en ook verschillende lengte hebben.

De loodrechte zijde aan beide basen is de zijkant C links, dat is de hoogte H van de trapeze. En ten slotte is er zijde D, die de acute hoek α vormt met de zijde a.

De som van Interne hoeken van een vierhoek is 360º. Het wordt gemakkelijk op prijs gesteld dat de ontbrekende hoek C in de figuur 180 - α is.

De gemiddelde basis Het is het segment dat de middenzijden van niet -parallelle zijden verbindt (EF -segment in figuur 2).

Figuur 2. De elementen van de rechthoek trapezoid. Bron: f. Zapata.

En ten slotte zijn er de diagonalen D₁ en D₂, De segmenten die de tegenovergestelde hoekpunten verenigen en die elkaar kruisen op punt O (zie figuur 2).

Relaties en formules

Hoogte H van de trapezoid

H = c

Perimeter P

Het is de maat van de contour en wordt berekend door de zijkanten toe te voegen:

Perimeter = a + b + c + d

De kant D Het wordt uitgedrukt in termen van hoogte of zij C Door de stelling van Pythagoras:

D = √ (A-B)² + C²

Vervangen in de omtrek:

P = a + b + c + √ (a-b)² + C²

Gemiddelde basis

Het zijn de semi -body's van de bases:

Gemiddelde basis = (a+b)/2

Soms wordt de gemiddelde basis op deze manier gevonden:

Medium Base = (Major Base + Minor Base) /2

Gebied

Gebied A van de trapeze is het product van de gemiddelde basis op hoogte:

A = (Major Base + Minor Base) X Hoogte /2

A = (a+b) c/2

Diagonalen, zijden en hoeken

Verschillende driehoeken verschijnen in figuur 2, zowel rechthoeken als niet -rectangles. Op degenen die rechtse driehoeken zijn, kunnen ze worden toegepast door de stelling van Pythagoras en degenen die dat niet doen, de stellingen van de cosinus en de borst.

Kan u van dienst zijn: transcendente nummers: wat zijn, formules, voorbeelden, oefeningen

Op deze manier zijn er relaties tussen de zijkanten en tussen de zijkanten en de interne hoeken van de trapezio.

CPA -driehoek

Het is rechthoek, zijn benen zijn hetzelfde en ze zijn B waard, terwijl de hypotenuse de diagonale D is₁, daarom:

D₁² = B² + B² = 2B²

DAB -driehoek

Het is ook rechthoek, de benen zijn naar En C (of ook naar En H) En de hypotenuse is d₂, zodat:

D₂² = A² + C²= a² + H²

CDA -driehoek

Omdat deze driehoek geen rechthoek is, wordt de cosinus -stelling toegepast, of ook de borst.

Volgens de stelling van Coseno:

D₁² = a² + D² - 2ad cos α

CDP -driehoek

Deze driehoek is rechthoek en met zijn zijkanten zijn de trigonometrische redenen van de hoek α gebouwd:

sin α = h/d

cos α = pd/d

Maar de PD = A - B -kant, daarom:

cos α = (a -b) / d → a - b = d cos α

a = b + d cos α

Je hebt ook:

Tg α = sin α / cos α = h / (a-b) → h = tg α (a-b)

CDB -driehoek

In deze driehoek hebben we de hoek waarvan het hoekpunt in C staat. Het is niet gemarkeerd in de figuur, maar in het begin viel het op dat het 180 - α waard is. Deze driehoek is geen rechthoek, dus cosinus stelling of borststelling kan worden toegepast.

Nu kan gemakkelijk worden aangetoond dat:

Sen (180 - α) = sin α

cos (180 - α) = - cos α

De Coseno -stelling toepassen:

D₂² = D² + B²- 2db cos (180 - α) = D² + B²+ 2db cos α

Voorbeelden van rechthoeken

De trapezios en in het bijzonder zijn de rechthoeken aan veel kanten te vinden, en soms niet altijd tastbaar. Hier hebben we verschillende voorbeelden:

Trapecio als ontwerpelement

Geometrische figuren zijn er in overvloed in de architectuur van talloze gebouwen, zoals deze kerk in New York, die een structuur toont in de vorm van rechthoek trapezoid.

Ook de trapeziumvormige vorm komt vaak voor bij het ontwerp van containers, containers, messen (Snijder of exact), vellen en in grafisch ontwerp.

figuur 3. Angel in een rechthoek trapezoid in een kerk in New York. Bron: David Goehring door Flickr.

Trapeziumvormige golfgenerator

Elektrische signalen kunnen niet alleen vierkant, sinus of driehoekig zijn. Er zijn ook trapeziumvormige signalen die nuttig zijn in tal van circuits. In figuur 4 is er een trapeziumvormige signaal bestaande uit twee rechthoeken. Tussen hen vormen ze een enkele gelijkbenige trapezoid.

Kan u van dienst zijn: divisors van 8: wat zijn en gemakkelijke uitleg

Figuur 4. Een trapeziumvormig signaal. Bron: Wikimedia Commons.

In de numerieke berekening

Om numeriek de gedefinieerde integrale van de functie F (x) tussen A en B te berekenen, wordt de trapeze -regel gebruikt om het gebied onder de grafiek van f (x) te benaderen. In de volgende figuur, links links de integrale benaderingen met een enkele rechthoek trapezoid.

Een betere aanpak is die van de juiste figuur, met meerdere rechthoeken.

Figuur 5. Een gedefinieerde integrale tussen A en B is niets anders dan het gebied onder curve f (x) tussen deze waarden. Een rechthoekige trapezoid kan dienen als de eerste benadering van dat gebied, maar hoe meer trapezoïden worden gebruikt, hoe beter de aanpak. Bron: Wikimedia Commons.

Trapeziumvormige laadstraal

De krachten zijn niet altijd geconcentreerd op een enkel punt, omdat de lichamen waarop ze handelen aanzienlijke dimensies hebben. Dat is het geval van een brug waardoor voertuigen continu circuleren, het water van een zwembad op de verticale wanden van hetzelfde of een dak waarop water of sneeuw zich ophoopt.

Daarom worden de krachten verdeeld per lengte -eenheid, oppervlak of volume, afhankelijk van het lichaam waarop ze werken.

In het geval van een balk kan een kracht die per lengte -eenheid verdeeld is, verschillende verdelingen hebben, bijvoorbeeld die van rechthoek trapeze hieronder getoond:

Figuur 6. Laadt op een balk. Bron: Bedford, tot. 1996. Statisch. Addison Wesley Inter -American.

In werkelijkheid komen niet altijd distributies overeen met reguliere geometrische vormen zoals deze, maar ze kunnen in veel gevallen een goede aanpak zijn.

Als educatief en leermiddel

Blokken en vellen met geometrische vormen, waaronder trapezoïden, zijn zeer nuttig voor kinderen om zich vanaf jonge leeftijd vertrouwd te maken met de fascinerende wereld van geometrie.

Figuur 7. Blokken met eenvoudige geometrische vormen. Hoeveel rechthoeken zijn er verborgen in de blokken? Bron: Wikimedia Commons.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

In de rechthoek trapezoid van figuur 1 is de grootste basis 50 cm waard en de kleinste basis is gelijk aan 30 cm, het is ook bekend dat de schuine zijde 35 cm meet. Vinden:

a) hoek α

b) hoogte

c) perimeter

d) Gemiddelde basis

e) gebied

f) diagonaal

Oplossing voor

De statementgegevens zijn op deze manier samengevat:

A = hogere basis = 50 cm

B = kleine basis = 30 cm

D = hellende zijde = 35 cm

Kan u van dienst zijn: basisbewerkingen

Om de hoek α te vinden, bezoeken we de sectie Formules en vergelijkingen om te zien welke het beste bij de aangeboden gegevens past. De gezochte hoek wordt gevonden in verschillende geanalyseerde driehoeken, bijvoorbeeld de CDP.

Daar hebben we deze formule, die het onbekende bevat en ook de gegevens die we kennen:

cos α = (a-b) / d

Daarom:

α = bogen [(A-B) / D] = bogen [(50-30) / 35] = bogen 20/35 = 55.15 º

Oplossing B

Uit de vergelijking:

sin α = h/d

h = D.sin α = 35 Sen 55.15 º cm = 28.72 cm

Oplossing C

De omtrek is de som van de zijkanten, en omdat de hoogte gelijk is aan zijde C, moeten we:

C = h = 28.72 cm

Daarom:

P = (50 + 30 + 35 + 28.72) cm = 143.72 cm

Oplossing D

De gemiddelde basis is de semi -body's van de bases:

Gemiddelde basis = (50 + 30 cm)/2 = 40 cm

Oplossing e

Het trapeziumgebied is:

A = gemiddelde basis x hoogte = 40 cm x 28.72 = 1148.8 cm².

Oplossing f

Voor de diagonale D₁ Deze formule kan worden gebruikt:

D₁² = B² + B² = 2B²

D₁²= 2 x (30 cm)² = 1800 cm²

D₁ = √1800 cm² = 42.42 cm

En voor de diagonale D₂:

D₂² = D² + B²+ 2db cos α = (35 cm)² + (30 cm)² + 2 x 35 x 30 cm² Cos 55.15 º = 3325 cm²

D₂ = √ 3325 cm² = 57.66 cm

Dit is niet de enige manier om D te vinden₂, Omdat er ook de DAB -driehoek is.

- Oefening 2

De volgende snelheidsgrafiek, afhankelijk van een mobiel met een uniform versnelde rechtlijnige beweging. Bereken de afstand die door de mobiel wordt afgelegd tijdens het tijdsinterval tussen 0.5 en 1.2 seconden.

Figuur 8. Grafisch tegen de tijd van een mobiel met uniforme versnelde opnieuw versnelde beweging. Bron: Wikimedia Commons.

Oplossing

De afstand die door de mobiel wordt afgelegd, is gelijk aan het gebied onder de grafiek, afgebakend door het aangegeven tijdsinterval.

Figuur 9. De afstand die door de mobiel wordt afgelegd, is gelijk aan het gebied onder de afbeeldingen. Bron: gewijzigd door F. Zapata.

Het gearceerde gebied is het gebied van een rechthoekige trapezoid, gegeven door: