Parabolische schotkenmerken, formules en vergelijkingen, voorbeelden

Hij parabolisch schot Het bestaat uit het gooien van een object of projectiel met een bepaalde hoek en het laten bewegen onder de actie van de zwaartekracht. Als luchtweerstand niet wordt overwogen, zal het object, ongeacht de aard ervan, een traject volgen in de vorm van een parabool.

Het is een dagelijkse beweging, omdat een van de meest populaire sporten die zijn waarin ballen of ballen worden gegooid, met de hand, met de voet of met een instrument zoals een racket of een vleermuis.

Figuur 1. De waterstraal uit de sierbron volgt een parabolisch traject. Bron: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandor (IFJ.), Fized/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)

Voor studie wordt het parabolische schot opgesplitst in twee overlappende bewegingen: de ene horizontaal zonder versnelling, en de andere verticaal met constante versnelling naar beneden, wat zwaartekracht is. Beide bewegingen hebben een eerste snelheid.

Laten we zeggen dat de horizontale beweging duurt. Elk van deze bewegingen is onafhankelijk van de andere.

Gezien het feit dat het bepalen van de projectielpositie de belangrijkste doelstellingen is, is het noodzakelijk om een ​​geschikt referentiesysteem te kiezen. De details komen daarna.

[TOC]

Formules en vergelijkingen van het parabolische schot

Stel dat het object wordt gegooid met hoek α met betrekking tot de horizontale en initiële snelheid v_of Zoals getoond in de onderstaande afbeelding links. Het parabolische schot is een beweging die plaatsvindt in het vliegtuig XY En in dat geval ontleedt de initiële snelheid als volgt:

v_os = V_of Cos α

v_Oy = V_of sin α

Figuur 2. Links links de snelheid van het projectiel en rechts de positie op elk moment van de lancering. Bron: Wikimedia Commons. Zátonyi Sandor, (IFJ.) Fizped/cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0).

De projectielpositie, het rode punt in figuur 2, rechterbeeld, heeft ook twee componenten die afhankelijk zijn van tijd, één in X En de andere in En. De positie is een vector die wordt aangeduid als R en de eenheden zijn van lengte.

Kan u van dienst zijn: isomeria

In de figuur valt de initiële positie van het projectiel samen met de oorsprong van het coördinatensysteem, daarom x_of = 0, en_of = 0. Dit is niet altijd het geval, de oorsprong kan overal worden gekozen, maar deze keuze vereenvoudigt de berekeningen veel.

Wat betreft de twee bewegingen in X en Y, deze zijn:

-X (t): het is een uniforme rechtlijnige beweging.

-en (t): komt overeen met een uniform versnelde rechtlijnige beweging met g = 9.8 m/s² en verticaal naar beneden wijzen.

In wiskundige vorm:

x (t) = V_of Cos α.T

en (t) = V_of .sin α.T - ½ g.T²

De positievector blijft:

R (t) = [V_of Cos α.T]Je + [V_of .sin α.T - ½ g.T²] J

In deze vergelijkingen zal de attente lezer merken dat het minteken te wijten is aan het feit dat de ernst naar de grond wijst, het gevoel dat als negatief wordt gekozen, terwijl het omhoog wordt beschouwd als positief.

Omdat snelheid de eerste is afgeleid van de positie, is het voldoende om af te leiden R (t) Over de tijd en verkrijgen:

v (t) = V_of Cos α Je + (v_of .sin α - GT) J

Ten slotte wordt de versnelling vectoraal uitgedrukt als:

naar (t) = -g J

- Traject, maximale hoogte, maximale tijd en horizontaal bereik

Traject

Om de expliciete vergelijking van het traject te vinden, dat de curve y (x) is, moet u de tijdsparameter elimineren, in de vergelijking voor x (t) worden gewist en in y (t) worden vervangen. Vereenvoudiging is enigszins moeizaam, maar het wordt eindelijk verkregen:

Maximale hoogte

De maximale hoogte treedt op wanneer v_En = 0. Wetende dat er de volgende relatie is tussen positie en het kwadraat van de snelheid:

figuur 3. De snelheid in het parabolische schot. Bron: Giambattista, een. Natuurkunde.

v_En² = V_Oy ²- 2GY

Aan het doen v_En = 0 Net wanneer het op maximale hoogte bereikt:

0 = V_Oy ²- 2 g.En_maximaal → en_maximaal = V_Oy ²/2 g

Met:

Kan u van dienst zijn: Centripetale versnelling: definitie, formules, berekening, oefeningen

v_Oy = V_of sena

Maximale tijd

De maximale tijd is de tijd die het object nodig heeft om te bereiken en_maximaal. Om het te berekenen wordt het gebruikt:

v_En = V_of .sin α - GT

Wetende dat v_En Het wordt gedaan 0 wanneer t = t_maximaal, resultaat:

v_of .sin α - G.T_maximaal = 0

T_maximaal = V_Oy /G

Maximale horizontaal bereik en vliegtijd

De reikwijdte is erg belangrijk, omdat het aangeeft waar het object zal vallen. Dus we zullen weten of het in het wit geeft of niet. Om het te vinden hebben we vliegtijd, totale tijd of t nodig_v.

Van de vorige illustratie is het gemakkelijk om dat te concluderen T_v = 2.T_maximaal. Maar de aandacht is alleen waar als de lancering op het niveau is, dat wil zeggen, de hoogte van het startpunt is hetzelfde als de hoogte van de aankomst. Anders is de tijd het oplossen van de tweede graadvergelijking die het gevolg is van het vervangen van de uiteindelijke positie En_laatste:

En_laatste = V_of .sin α.T_v - ½ g.T_v²

In elk geval is de maximale horizontale reikwijdte:

X_maximaal = V_os. T_v

Parabolische schietvoorbeelden

Het parabolische schot maakt deel uit van de beweging van mensen en dieren. Ook van bijna alle sporten en games waar Gravity tussenkomt. Bijvoorbeeld:

Parabolische schietpartij bij menselijke activiteiten

-De steen gegooid door een katapult.

-De doelschop van de keeper.

-De bal die de werper gooit.

-De pijl die uit de boog komt.

-Allerlei sprongen

-Een steen gooien.

-Elk werpwapen.

Figuur 4. De steen die door de katapult wordt gegooid en de patey -bal in de afwerkingsbox zijn voorbeelden van parabolische schoten. Bron: Wikimedia Commons.

Het parabolische schot in de natuur

-Het water ontspruit uit natuurlijke of kunstmatige jets zoals die van een bron.

-Stenen en lava ontspruiten uit een vulkaan.

-Een bal die op de stoep stuitert of een steen die het op het water doet.

-Alle soorten dieren die springen: kangaroos, dolfijnen, gazellen, kalkjes, kikkers, konijnen of insecten, om er maar een paar te noemen.

Het kan u van dienst zijn: Mechanische stroom: wat is, toepassingen, voorbeeldenFiguur 5. De Impala kan tot 3 m springen. Bron: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques/CC BY-S (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0).

Oefening

Een sprinkhaan die een hoek van 55 º vormt met de horizontale en landt op 0.80 meter later. Vinden:

a) de maximale hoogte bereikt.

b) Als ik met dezelfde initiële snelheid sprong, maar een hoek van 45º vormde, zou het hoger worden?

c) Wat kan worden gezegd van het maximale horizontale bereik voor deze hoek?

Oplossing voor

Wanneer de gegevens van het probleem niet de initiële snelheid V bevatten_of De berekeningen zijn enigszins bewerkelijker, maar uit de bekende vergelijkingen kan een nieuwe uitdrukking worden afgeleid. Beginnend vanaf:

X_maximaal = V_os . T_vlucht = V_of.Cos α. T_v

Wanneer het later landt, is de hoogte weer 0, dan:

v_of .sin α.T_v - ½ g.T_v²= 0

Als T_v Het is een gemeenschappelijke factor, het is vereenvoudigd:

v_of .sin α - ½ g.T_v= 0

We kunnen t wissen_v Van de eerste vergelijking:

T_v = x_maximaal / V_of.Cos α

En vervang in de tweede:

v_of .sin α - (½ g.X_maximaal / V_of.Cos α) = 0

Door alle termen te vermenigvuldigen met v_of.Cos αDe uitdrukking verandert niet en de noemer verdwijnt:

(v_of .sin α.)) (v_of.Cos α) - ½ g.X_maximaal = 0

v_of² sin α. Cos α = ½ g.X_maximaal

Kan al worden gewist v_of of vervang ook de volgende identiteit:

Sen 2α = 2 Sen α. Cos α → V_of² Sen 2a = G.X_maximaal

Berekend v_of²:

v_of² = g.X_maximaal / Sen 2α = (9.8 x 0.8 / sen 110) m²/S² = 8.34 m²/S²

En ten slotte de maximale hoogte:

En_maximaal= V_Oy ²/2g = (8.34 x Sen² 55)/(2 x 9.8) M = 0.286 m = 28.6 cm

Oplossing B

De kreeft slaagt erin om dezelfde horizontale snelheid te behouden, maar wanneer de hoek afneemt:

En_maximaal= V_Oy ²/2g = (8.34 x Sen² 45)/(2 x 9.8) M = 0.213 m = 21.3 cm

Bereikt een kleinere hoogte.

Oplossing C

De maximale horizontale reikwijdte is:

X_maximaal = V_of² Sen 2A / G

Wanneer de hoek varieert, verandert de horizontale scope ook:

X_maximaal = 8.3. 4 Sen 90 / 9.8  M = 0.851 m = 85.1 cm

De sprong is nu langer. De lezer kan verifiëren dat deze maximaal is voor de hoek van 45 º dan:

sin 2a = sin 90 = 1.

Referenties

1. Figueroa, D. 2005. Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica. Uitgegeven door Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, een. 2010. Natuurkunde. Tweede druk. McGraw Hill.
3. Giancoli, D.  2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, r. 199999. Fysiek. Vol. 1. 3e ed. in het Spaans. Continental Editorial Company s.NAAR. van C.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. ED. Deel 1.