Verklaring Factor Stelling, voorbeelden, oefeningen

Hij factor stelling stelt dat een polynoom p (x) deelbaar is door een binomiale van de vorm (x - a) als x = a een wortel van p (x) is, dat wil zeggen p (a) = 0. Er wordt gezegd dat een polynoom deelbaar is onder een ander wanneer zijn residu of rust nul is.

Een polynoom is een uitdrukking van vorm:

P (x) = a_N X^N + naar_N-1 X^N-1 +… + A₁ x + a₀

Figuur 1. Factor stelling. Bron: f. Zapata.

Waar:

-n is de mate van polynoom, het grootste gehele getalnummer waar de onafhankelijke variabele x op stijgt,

-Waarden a_N, naar_N-1 ,… + A₁ , naar₀ Ze zijn de coëfficiënten van de polynoom, die over het algemeen reële getallen zijn, maar het kunnen ook complexe nummers zijn.

Een cijfer N polynoom kan ontleden als het product van vormbinomials:

(X - r_Je))

Waar r_Je Het is de i-alkish p (x) root:

P (x) = a_N (X - r₁) (X - r₂)… (X - r_N))

Omdat het aantal wortels van een polynoom gelijk is aan de mate van hetzelfde.

[TOC]

Voorbeelden

- voorbeeld 1

Beschouw de polynomiale case over:

P (x) = 3⋅x² - 7⋅x + 2

U wilt weten of deze polynoom deelbaar is door de binomiale (x - 2). Als de factor stelling wordt gebruikt, moeten we p (x = 2) evalueren om te weten of de waarde 2 een root is of niet is. Vervolgens gaan we de uitdrukking evalueren:

P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.

Het blijkt dat x = 2 p (x) root is, dus volgens de factor stelling is de binomiale (x - 2) inderdaad een factor van p (x).

Laten we verder gaan met directe verificatie die de divisie maakt. Het detail van hoe de divisie wordt gemaakt, wordt in de volgende figuur weergegeven:

Figuur 2.- Polynomiale divisie P (x) tussen binomiale X-2. Bron: f. Zapata.

Er wordt geverifieerd dat het quotiënt tussen p (x) en (x -2) een polynoom van een kleine graad geeft die het quotiënt c (x) = 3⋅x - 1 wordt genoemd met residu 0.

Kan u van dienst zijn: vectorfuncties

We kunnen het resultaat als volgt samenvatten:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0

De vorige uitdrukking kan op een andere manier worden geschreven, waarbij eenvoudig onthouden dat het dividend P (x) gelijk is aan het product van de deler (x -2) door het quotiënt (3⋅x - 1) plus het residu (nul in dit geval ):

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0

Op deze manier schrijft de P (x) polynoom (x), dat wil zeggen als een product van polynomen, de originele polynoom: de originele polynoom:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)

- Voorbeeld 2

Wees de polynomiale Q (x) = x³ - x + 2. U wilt weten of het deelbaar is door de binomiale (x + 1).

De meest directe manier is gewoon om de factor stelling toe te passen. In dit geval moet u eenvoudigweg verifiëren of x = -1 annuleert of niet de polynoom Q (x).

We gaan door met het vervangen van:

Q (-1) = (-1)³ - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

Het resultaat verschilt van nul, daarom zorgt de factor-theorie ervoor dat polynoom Q (x) niet deelbaar is tussen (x + 1), aangezien q (-1) ≠.

Nu zal de verdeling van Q (x) worden gemaakt tussen de binomiale (x + 1) als een methode voor verificatie van onze conclusie.

Bij deze gelegenheid zal de divisie worden uitgevoerd via de synthetische divisiemethode, die bestaat uit het plaatsen van alle coëfficiënten van de polynoom, inclusief de ontbrekende rij, omdat ze nul coëfficiënt hebben.

Vervolgens wordt in de eerste kolom de onafhankelijke term van de deler geplaatst, maar met het teken gewijzigd, in ons geval is de deler (x + 1). De onafhankelijke term is 1, maar zoals in de eerste kolom wordt het gewijzigd teken geplaatst, dat wil zeggen -1.

De volgende figuur illustreert hoe de synthetische verdeling wordt uitgevoerd:

Kan u van dienst zijn: polynoomvergelijkingenfiguur 3. Voorbeeld van polynomiale synthetische verdeling. Bron: f. Zapata.

Met dit resultaat is bewezen dat (x + 1) het geen factor is van polynoom Q (x) = x³ - x + 2 omdat het residu niet nul is.

Deze conclusie is niet verrast, omdat het al was voorspeld met de factor stelling. Merk op dat bij het vervangen van x = -1 in Q (x) wat wordt verkregen precies het residu of de rest van de polynoomverdeling is, aangezien Q (-1) = residu = 2.

Natuurlijk biedt de divisie de aanvullende informatie van quotiënt C (x) = x² - X.

Onthouden dat dividend Q (x) gelijk is aan de deler (x + 1) door verhouding C (x) plus het residu r = 2 We hebben de uitbreiding van de polynoom Q (x) als volgt:

Q (x) = (x + 1) (x² - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2

Opgemerkt moet worden dat deze uitdrukking niet de factorering is van genoemde polynoom, omdat er een niet -nul -term is toegevoegd, die precies de waarde van waarde 2 is.

Opdrachten

- Oefening 1

Vind de polynoomfactoren

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8

En schrijf ook uw factorisatie.

Oplossing

De factor stelling geeft aan dat we naar de wortels moeten zoeken naar en vind dan de factoren (x - naar), In dit geval, omdat het een polynoom van graad drie is, moeten er drie wortels zijn. 

Omdat het een polynoom is met volledige coëfficiënten, moeten de wortels een van de divisors van de onafhankelijke term zijn die in dit geval 8 is. Deze divisors zijn:

± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

We beginnen met het verkennen van +1: P (+1) = 1³ - 5⋅ 1² + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6 die verschilt van 0, daarom is +1 niet root.

We verkennen -1:

P (-1) = (-1)³ - 5⋅ (-1)² + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0

Uit het resultaat wordt geconcludeerd dat -1 de wortel is van p (x) y (x -( -1)) = (x + 1) is een polynoomfactor.

Kan u van dienst zijn: minimale vierkanten

We moeten nog twee factoren vinden:

We hebben de volgende geprobeerd die +2 is:

P (+2) = (+2)³ - 5⋅ (+2)² + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Weer krijgen we nul. Dan is de andere factor (x - 2).

Omdat het een polynoom van klas drie is, hoeven we alleen een factor te vinden. Nu hebben we de +4 -waarde geprobeerd om te weten of de polynoom annuleert:

P (+4) = (+4)³ - 5⋅ (+4)² + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.

Met andere woorden.

Je hoeft niet te blijven zoeken, omdat het een polynoom van graad 3 is die maximaal drie wortels heeft. In deze oefening bleken alle wortels echt en heel te zijn.

Daarom is de polynoom P (x) als volgt een factor:

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).

- Oefening 2

Wees de Peleid Polynomial³ - x + 2p. Bepaal de waarde van P voor polynoom om deelbaar te zijn door (x + 2).

Oplossing

We gebruiken de factor stelling, die stelt dat als x = -2 de polynoom annuleert, dan (x -( -2)) een factor is van genoemde polynoom.

Vervolgens wordt X vervangen door (-2) in de oorspronkelijke polynoom, het is vereenvoudigd en is gelijk aan nul:

P⋅ (-2)³ - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Nu wordt de waarde van P gewist zodat gelijkheid tot nul wordt vervuld:

P = -2 / 10 = -⅕ 

Dit betekent dat polynoom: 

-⅕⋅x³ - X - ⅖

Het is deelbaar door (x + 2), of wat equivalent is: (x + 2) is een van de factoren.

Referenties

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria -redactiegroep.
2. Demana, W. Precáculculo: grafisch, numeriek, algebraïsch 7e ed. Pearson Education.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.