Binomiale stelling

Wat is de binomiale stelling?

Hij binomiale stelling Het is een vergelijking die ons vertelt hoe een uitdrukking van de vorm zich ontwikkelt (A+B)^N Voor een natuurlijk nummer n. Een binomiaal is niets meer dan de som van twee elementen, zoals (A+B). Het stelt ons ook in staat om te weten voor een term die wordt gegeven door^kB^N-K Wat is de coëfficiënt die erbij hoort.

Deze stelling wordt vaak toegeschreven aan Engelse uitvinder, fysieke en wiskundige Sir Isaac Newton; Er zijn echter verschillende records gevonden die aangeven dat het bestaan ​​ervan al bekend was in het Midden -Oosten, rond het jaar 1000.

Combinatienummers

De binomiale stelling vertelt ons wiskundig het volgende:

In deze uitdrukking zijn a en b reële getallen en is n een natuurlijk nummer.

Laten we, voordat we de demonstratie geven, enkele basisconcepten bekijken die nodig zijn.

Het combinatorische nummer of combinaties van N in K wordt als volgt uitgedrukt:

Dit drukt de waarde uit van hoeveel subset met K -elementen kan worden gekozen uit een set N -elementen. Zijn algebraïsche uitdrukking wordt gegeven door:

Laten we eens kijken naar een voorbeeld: stel dat we een groep van zeven ballen hebben, waarvan twee rood zijn en de rest blauw zijn.

We willen weten op hoeveel manieren we ze op een rij kunnen bestellen. Een manier zou kunnen zijn om de twee Reds in de eerste en tweede positie te plaatsen, en de rest van de ballen in de posities die overblijven.

Vergelijkbaar met de vorige zaak, konden we de rode ballen respectievelijk de eerste en laatste positie geven en de anderen bezetten met blauwe ballen.

Nu, een effectieve manier om te tellen op hoeveel manieren we de ballen op een rij kunnen bestellen, is het gebruik van combinatorische nummers. We kunnen elke positie zien als een element van de volgende set:

Kan u van dienst zijn: perfecte cijfers: hoe u ze en voorbeelden kunt identificeren

Hieronder is alleen om een ​​subset van twee elementen te kiezen, waarin elk van deze elementen de positie vertegenwoordigt die de rode ballen zullen bezetten. We kunnen deze keuze doen volgens de relatie die wordt gegeven door:

Op deze manier hebben we dat er 21 manieren zijn om dergelijke ballen te bestellen.

Het algemene idee van dit voorbeeld zal zeer nuttig zijn bij de demonstratie van de binomiale stelling. Laten we eens kijken naar een bepaald geval: als n = 4, hebben we (a+b)⁴, Dat is niets meer dan:

Wanneer we dit product ontwikkelen, hebben we de som van de termen verkregen door een element van elk van de vier factoren te vermenigvuldigen (A+B). We zullen dus termen hebben die in vorm zullen zijn:

Als we de term van het formulier willen verkrijgen⁴, Het is alleen genoeg om als volgt te vermenigvuldigen:

Merk op dat er maar één manier is om dit element te verkrijgen; Maar wat gebeurt er als we nu op zoek zijn naar het einde van het formulier²B²? Aangezien "A" en "B" reële getallen zijn en daarom de commutatieve wet waard is, moeten we deze term verkrijgen om zich te vermenigvuldigen met de leden zoals aangegeven door de pijlen.

Het uitvoeren van al deze bewerkingen is meestal enigszins vervelend, maar als we de term "A" zien als een combinatie waar we willen weten op hoeveel manieren we twee "A" kunnen kiezen uit een set van vier factoren, kunnen we het idee gebruiken Het vorige voorbeeld van het vorige voorbeeld. Dus we hebben het volgende:

Daarom weten we dat in de uiteindelijke ontwikkeling van de uitdrukking (A+B)⁴ We zullen precies 6e hebben²B². Met hetzelfde idee voor andere elementen moet je:

Kan u van dienst zijn: transcendente nummers: wat zijn, formules, voorbeelden, oefeningen

Dan voegen we de hierboven verkregen uitdrukkingen toe en moeten we:

Het is een formele demonstratie voor het algemene geval waarin "N" een natuurlijk nummer is.

Demonstratie

Merk op dat de voorwaarden achterblijven bij het ontwikkelen (A+B)^N Ze zijn van de vorm tot^kB^N-K, waar k = 0,1, ..., n. Met behulp van het idee van het vorige voorbeeld hebben we de manier om "K" -variabelen "van de" n "-factoren te kiezen::

Bij het kiezen op deze manier kiezen we automatisch N-K-variabelen "B". Hieruit volgt dat:

Voorbeelden

Overweeg (A+B)⁵, Wat zou uw ontwikkeling zijn?

Voor de binomiale stelling moeten we:

De binomiale stelling is erg nuttig als we een uitdrukking hebben waarin we willen weten wat de coëfficiënt van een specifieke term is zonder de volledige ontwikkeling uit te voeren. Als voorbeeld kunnen we het volgende onbekende nemen: wat is de X -coëfficiënt⁷En⁹ In de ontwikkeling van (x + y)¹⁶?

Voor de binomiale stelling hebben we dat de coëfficiënt is:

Een ander voorbeeld zou zijn: wat is de X -coëfficiënt⁵En⁸ In de ontwikkeling van (3x-7y)¹³?

Eerst herschrijven we de uitdrukking op een handige manier; dit is:

Vervolgens hebben we met behulp van de binomiale stelling dat de gezochte coëfficiënt is wanneer u k = 5 hebt

Een ander voorbeeld van het gebruik van deze stelling is in de demonstratie van enkele gemeenschappelijke identiteiten, zoals die we hieronder zullen vermelden.

Identiteit 1

Als "N" een natuurlijk nummer is, moeten we:

Voor de demonstratie gebruiken we de binomiale stelling, waar zowel "A" A "A" als "B" de waarde van 1 nemen. Dan hebben we:

Op deze manier hebben we de eerste identiteit bewezen.

Kan u van dienst zijn: willekeurige selecties met of zonder vervanging

Identiteit 2

Als "N" een natuurlijk nummer is, dan

Voor de binomiale stelling moeten we:

Nog een demonstratie

We kunnen een andere demonstratie maken voor de binomiale stelling met behulp van de inductieve methode en de identiteit van Pascal, die ons vertelt dat, als "N" en "K" positieve gehele getallen zijn die N ≥ K ontmoeten, dan:

Inductiedemonstratie

Laten we eens kijken dat de inductieve basis is vervuld.  Als n = 1, moeten we:

We zien inderdaad dat het is vervuld. Nu, n = J zodanig dat het is vervuld:

We willen dat voor n = j+1 het waar is dat:

Dus we moeten:

Door hypothese weten we dat:

Vervolgens met distributieve eigenschap:

Vervolgens is het ontwikkelen van elk van de samenvattingen:

Nu, als we handig groeperen, moeten we:

Met behulp van de identiteit van Pascal moeten we:

Merk ten slotte op dat:

Daarom zien we dat de binomiale stelling is vervuld voor elke "n" die tot natuurlijke getallen behoort, en daarmee eindigt de test.

Bezwaarlijkheid

Het combinatorische nummer (NK) wordt ook binomiale coëfficiënt genoemd omdat het precies de coëfficiënt is die verschijnt bij de ontwikkeling van de binomiale (a+b)^N.

Isaac Newton gaf een generalisatie van deze stelling voor de zaak waarin de exponent een reëel getal is; Deze stelling staat bekend als de binomiale stelling van Newton.

Al in de oudheid stond dit resultaat bekend om het specifieke geval waarin n = 2. Deze zaak wordt genoemd in de Items van Euclid.