Moivre Stelling

We leggen uit wat de stelling van Moivre is, we demonstreren en stellen opgeloste oefeningen voor

Wat is de stelling van Moivre?

Hij Moivre Stelling Pas fundamentele algebra -processen toe, zoals krachten en wortelsextractie in complexe getallen. De stelling werd vermeld door de gerenommeerde Franse wiskundige Abraham de Moivre (1730), die de complexe getallen met trigonometrie associeerde.

Abraham Moivre maakte deze associatie door de uitingen van de borst en Coseno. Deze wiskundige genereerde een soort formule waardoor hij mogelijk is.

Uitleg

De stelling van Moivre stelt het volgende vast:

Als u een complex nummer in de polaire vorm heeft Z = R_Ɵ, waarbij r de module van het complexe nummer z is, en de hoek ɵ wordt amplitude of argument van een complex getal met 0 ≤ ɵ ≤ 2π genoemd, om de n-deze kracht te berekenen, is het niet nodig om het op zichzelf te vermenigvuldigen n- Tweeën; dat wil zeggen, het is niet nodig om het volgende product te maken:

Z^N = Z _* Z _* Z_{*… *} z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ *... *} R_Ɵ   N-je.

Voor de Contario zegt de stelling dat, bij het schrijven van Z in zijn trigonometrische vorm, om de enige stroom te berekenen, als volgt verder te gaan:

Ja z = r (cos ɵ + i _* sin ɵ) dan z^N = r^N (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Als bijvoorbeeld n = 2, dan z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Als je n = 3 moet, dan z³ = Z² _* Z. Daarnaast:

Z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

Op deze manier kunnen de trigonometrische redenen van de borst en cosinus worden verkregen voor veelvouden van een hoek, zolang de trigonometrische redenen van de hoek bekend zijn.

Op dezelfde manier kan het worden gebruikt om meer precieze en minder verwarrende uitdrukkingen te vinden voor de n -deze wortel van een complex nummer z, zodat z^N = 1.

Om de stelling van Moivre aan te tonen, wordt het wiskundige inductieprincipe gebruikt: als een geheel getal "A" een "P" -eigenschap heeft, en als voor een geheel getal "N" groter is dan "A" dat het eigenschap "P" se heeft. + 1 heeft ook de eigenschap "P", dus alle gehele getallen die groter of gelijk zijn dat "A" de eigenschap "P" heeft.

Demonstratie van de stelling van Moivre

Op deze manier wordt de demonstratie van de stelling gedaan met de volgende stappen:

Inductieve basis

Eerst wordt het gecontroleerd op n = 1.

Kan u van dienst zijn: Curtosis: definitie, typen, formules, waarvoor bijvoorbeeld

Zoals z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ)))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], het moet n = 1 De stelling is vervuld.

Inductieve hypothese

De formule wordt verondersteld waar te zijn voor een positief gehele getal, dat wil zeggen n = k.

Z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ)))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Verificatie

Het is bewezen dat het waar is voor n = k + 1.

Zoals z^K+1= Z^k _* Z, dan z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ)))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Dan vermenigvuldigen de uitdrukkingen:

Z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Even wordt de factor r genegeerd^K+1,  En je krijgt gemeenschappelijke factor i:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Zoals ik² = -1, we vervangen het in de uitdrukking en krijgen:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + i (sen kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Nu is het echte en denkbeeldige deel besteld:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, worden trigonometrische identiteiten van hoeken voor cosinus en sinus toegepast, die zijn:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* Sin B.

sin (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* Cos B.

In dit geval zijn de variabelen de hoeken ɵ en kɵ. Als u trigonometrische identiteiten toepast, hebt u:

cos kɵ _* cosɵ -  Sin Kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

Sin Kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

Op deze manier blijft de uitdrukking:

Z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* Sin (kɵ + ɵ))

Z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* sin [(k +1) ɵ]).

Het kan dus worden aangetoond dat het resultaat waar is voor n = k+1. Door het principe van wiskundige inductie wordt geconcludeerd dat het resultaat waar is voor alle positieve gehele getallen; dat wil zeggen, n ≥ 1.

Negatief geheel

De stelling van Moivre wordt ook toegepast wanneer n ≤ 0. Laten we een negatief hele "n" beschouwen; Dan kan "n" worden geschreven als "-m", dat is n = -m, "m" een positief geheel getal. Daarom:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-M

Om de exponent "M" op een positieve manier te verkrijgen, wordt de uitdrukking omgekeerd geschreven:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^M

Kan u van dienst zijn: NULL -hoek: definitie en kenmerken, voorbeelden, oefeningen

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos mɵ + i _* sin mɵ)

Nu wordt gebruikt dat als z = a+b*i een complex getal is, dan 1 ÷ z = a-b*i. Daarom:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Met behulp van die cos (x) = cos (-x) en dat -sen (x) = sen (-x), moet het:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = [cos (mɵ) - i _* Sin (Mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)^N = cos (nɵ) - i _* Sin (nɵ).

Op deze manier kan worden gezegd dat de stelling van toepassing is op alle gehele waarden van "n".

Opgeloste oefeningen

Positieve vermogensberekening

Een van de bewerkingen met complexe getallen in zijn polaire vorm is de vermenigvuldiging tussen twee hiervan; In dat geval vermenigvuldigen de modules en worden de argumenten toegevoegd.

Als u twee complexe nummer Z hebt₁ en z₂ En je wilt berekenen (z₁*z₂))², Ga dan als volgt verder:

Z₁Z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Je _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Je _* Sen ɵ₂)]

Distributieve eigendom wordt toegepast:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ (cos ɵ_1* Cos ɵ₂ + Je _* Cos ɵ_1* Je _* Sen ɵ₂ + Je _* Sen ɵ_1* Cos ɵ₂ + Je²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂)).

Ze zijn gegroepeerd en trekken de term "I" als een gemeenschappelijke factor van uitdrukkingen:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* Cos ɵ₂ + Ik (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* Cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Zoals ik² = -1, het wordt vervangen in de uitdrukking:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* Cos ɵ₂ + Ik (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* Cos ɵ₂) - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

De echte termen met echt en denkbeeldig met denkbeeldig worden hergroepeerd:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [(cos ɵ_1* Cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* Cos ɵ₂)]

Ten slotte worden trigonometrische eigenschappen toegepast:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Ten slotte:

(z₁*z₂))²= (r₁ R₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + I sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Oefening 1

Schrijf het complexe nummer in polaire vorm als z = - 2 -2i. Bereken vervolgens met Moivre's stelling Z⁴.

Oplossing

Het complexe nummer z = -2 -2i wordt uitgedrukt in de rechthoekige vorm z = a +bi, waar:

A = -2.

B = -2.

Wetende dat de polaire vorm z = r is (cos ɵ + i _* sen ɵ), het is noodzakelijk om de waarde van de module "r" en de waarde van het argument "ɵ" te bepalen. Als r = √ (a²+b²) worden de gegeven waarden vervangen:

Het kan u van dienst zijn: Trigonometrische functies: Basic, in het Cartesiaanse vlak, voorbeelden, oefening

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Om de waarde van "ɵ" te bepalen, wordt vervolgens de rechthoekige vorm hiervan toegepast, die door de formule wordt gegeven:

Dus ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Zoals de (ɵ) = 1 en het moet<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Zoals reeds bereikt door de waarde van "R" en "ɵ", kan het complexe nummer Z = -2 -2i worden uitgedrukt in de polaire vorm die de waarden vervangt:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* Sin (5π/4)).

Nu wordt de stelling van Moivre gebruikt om Z te berekenen⁴:

Z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* Sin (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* Sin (5π)).

Oefening 2

Zoek het product van complexe getallen die het in zijn polaire vorm uitdrukken:

Z1 = 4 (COS 50^of + Je_* Sen 50^of))

Z2 = 7 (Cos 100^of + Je_* Sen 100^of)).

Bereken vervolgens (Z1*Z2) ².

Oplossing

Eerst wordt het product van de gegeven nummers gevormd:

Z₁ Z₂ = [4 (cos 50^of + Je_* Sen 50^of)] * [7 (cos 100^of + Je_* Sen 100^of)]

Vervolgens vermenigvuldigen de modules met elkaar en worden de argumenten toegevoegd:

Z₁ Z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^of + 100^of) + i_* Sen (50^of + 100^of)]

De uitdrukking is vereenvoudigd:

Z₁ Z₂ = 28 _* (COS 150^of + (Yo_* Sen 150^of)).

Ten slotte is de stelling van Moivre van toepassing:

(Z1*Z2) ² = (28 _* (COS 150^of + (Yo_* Sen 150^of)) ² = 784 (cos 300^of + (Yo_* Sen 300^of)).

Berekening van negatieve bevoegdheden

Om twee complexe getallen te delen Z₁ en z₂ In zijn polaire vorm is de module verdeeld en worden de argumenten afgetrokken. Het quotiënt is dus z₁ ÷ z₂ En het wordt als volgt uitgedrukt:

Z₁ ÷ z₂ = R1/r2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Zoals in het vorige geval, als u wilt berekenen (Z1 ÷ Z2) ³ De divisie is eerste effecten en vervolgens wordt de Moivre -stelling gebruikt.

Oefening 3

Dices:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Bereken (Z1 ÷ Z2) ³.

Oplossing

Na de hierboven beschreven stappen kan worden geconcludeerd dat:

(Z1 ÷ Z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Referenties

1. Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra en trigonometrie met analytische geometrie. Pearson Education.
2. Croucher, m. (S.F.)). Door Moivre's stelling voor trig -identiteiten. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra en trigonometrie.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (S.F.)). Lineaire algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pearson Education.