Som van Riemann -geschiedenis, formules en eigenschappen, oefeningen

De Riemann Sum Het is de naam die de geschatte berekening van een gedefinieerde integrale ontvangt, door middel van een discrete som met een eindige voorwaardennummer. Een veel voorkomende toepassing is de benadering van het functiegebied in een afbeelding.

Het was de Duitse wiskundige Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) die voor het eerst een rigoureuze definitie van de integrale van een functie in een bepaald interval aanbood. Hij kondigde het aan in een artikel gepubliceerd in 1854. 

Figuur 1. De som van Riemann wordt gedefinieerd op een F -functie en een partitie in het interval [x0, x1]. Bron: Fanny Zapata.

De som van Riemann wordt gedefinieerd op een y = f (x) -functie, met x behorend tot het gesloten interval [a, b]. Op dit interval wordt een partitie P van N -elementen gemaakt:

P = x₀= a, x₁, X₂,…, X_N= b

Dit betekent dat het interval als volgt is verdeeld:

 Hier T_k is tussen x_K-1 en x_k:

X_K-1 ≤ t_k ≤ x_k

Figuur 1 toont de som van Riemann van de F -functie in het interval [x₀, X₄] Op een partitie van vier subintervallen, grijze rechthoeken.

De som vertegenwoordigt de totale oppervlakte van de rechthoeken en het resultaat van deze som is numeriek benaderingen van het gebied onder de curve f, tussen de abscissas x = x₀ y x = x₄.

Natuurlijk verbetert de benadering van het gebied onder de curve sterk in de mate dat het nummer N van partities is groter.  Op deze manier convergeert de som naar het gebied onder de curve, wanneer het nummer N partities neigt naar oneindig.

[TOC]

Formules en eigenschappen

Riemann's som van F (x) functie bij partitie:

Kan u van dienst zijn: rhomboid: kenmerken, hoe u de perimeter en het gebied kunt verwijderen

P = x₀= a, x₁, X₂,…, X_N= b

Gedefinieerd op het interval [a, b], wordt het gegeven door:

S (p, f) = ∑_{K = 1}^N F (T_k) (X_k - X_K-1)) 

Waar T_k Het is een waarde in het interval [x_k, X_K-1]. In de som van Riemann worden normale intervallen van breedtes meestal gebruikt Δx = (b - a)/n, waarbij a en b de minimale en maximale waarden van de abscis zijn, terwijl n het aantal onderverdelingen is.

In dat geval de Riemann's juiste som is:

Sd (f, n) = [f (a+Δx)+f (a+2δx)+…+f (a+(n-1) Δx)+f (b)]*Δx

Figuur 2. Riemann's juiste som. Bron: Wikimedia Commons. 09glasgow09 [cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)].

Terwijl de Riemann's linksom Het wordt uitgedrukt als:

Ja (f, n) = [f (a)+f (a+Δx)+…+f (a+(n-1) Δx)]*Δx

figuur 3. Som van Riemann links. Bron: Wikimedia Commons. 09glasgow09 [cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)]

Eindelijk, de Riemann Central Sum is:

Sc (f, n) = [f (a+Δx/2)+f (a+3δx/2)+…+f (b- Δx/2)]*Δx

Figuur 4. Tussenliggende som van Riemann. Bron: Wikimedia Commons. 09glasgow09 [cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)]

Afhankelijk van waar punt T zich bevindt_k In het interval [x_k, X_K-1] Riemann's som kan de exacte waarde van het gebied onder de functie Y = F (X) overschatten of onderschatten. Dat wil zeggen, de rechthoeken kunnen uit de curve uitblinken of een beetje onder dit zijn.

Het gebied onder de curve

De belangrijkste eigenschap van de som van Riemann en waarvan het belang ervan wordt, is dat als het aantal onderverdelingen de neiging heeft oneindig te zijn, het resultaat van de som convergeert naar de gedefinieerde integrale van de functie:

De vorige uitdrukking komt overeen met de definitie van de integraal van Riemann en is van toepassing, op voorwaarde dat de F -functie continu en zacht is. Voor meer specifieke functies zijn er andere definities van de integrale (integrale de Stieldjes en Integral de Lebesgue).

Het kan u van dienst zijn: standaardramingfout: hoe het wordt berekend, voorbeelden, oefeningen

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Bereken de waarde van de integrale gedefinieerde tussen a = -2 tot b = +2 van de functie:

f (x) = x²

Maak gebruik van een som van Riemann. Om dit te doen, zoek de som voor reguliere partities van het interval [a, b] en neem vervolgens de wiskundige limiet voor het geval dat het aantal partities op de oneindig opslaat. 

Oplossing

Dit zijn de te volgen stappen:

-Ten eerste wordt het partitie -interval gedefinieerd als: 

Δx = (b - a)/n. 

-Dan is de som van Riemann aan de rechterkant die overeenkomt met de functie f (x) als volgt:

-Nu worden ze vervangen A = -2 en B =+2, zodat het interval of stap Δx = 4/n. Dat wil zeggen dat de som van Riemann voor de functie f (x) = x² is:

-Dan wordt het vierkante binomiaal ontwikkeld: 

[-2 +(4i/n)]² = 4 - (16 i /n) + (4 /n)² Je²

-En dan wordt het zorgvuldig in de som vervangen:

-De volgende stap is om de samenvattingen te scheiden en de constante hoeveelheden te verwijderen als een gemeenschappelijke factor van elke som. Het is noodzakelijk om rekening te houden met dat de index ik is, daarom de cijfers en de voorwaarden met N Ze worden als constant beschouwd:

-Elke som wordt geëvalueerd, want voor elk van hen zijn er passende uitdrukkingen. Bijvoorbeeld de eerste van de samenvattingen Da n:

De tweede is:

 En de derde is:

 -Het vervangt de resultaten van de samenvattingen in de som van Riemann, deze wordt uiteindelijk verkregen:

S (f, n) = 16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²

-Eindelijk moet je de integraal berekenen:

= lim_N➝∞ [16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²] =

= 16 -(64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333

De lezer kan verifiëren dat dit het exacte resultaat is, dat kan worden verkregen door de onbepaalde integraal op te lossen en de integratielimieten door de Barrow -regel te evalueren.

Kan u van dienst zijn: hoe u kunt converteren vanaf km/h a m/s? Opgeloste oefeningen

- Oefening 2

Bepaal ongeveer het gebied onder de functie: 

f (x) = (1/√ (2π) e^(-X2/2)

Tussen x = -1 en x =+1, met behulp van een centrale som van riemann met 10 partities. Vergelijk met het exacte resultaat en schatting het procentuele verschil.

Oplossing

De stap of toename tussen twee opeenvolgende discrete waarden is:

Δx = (1 - (-1)/10 = 0,2

Zodat de P -partitie waarop de rechthoeken worden gedefinieerd, zo is:

P = -1,0; -0.8; -0,6; -0.4; -0,2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0

Maar zoals u wilt, is de centrale som, de functie f (x) wordt geëvalueerd in de middenpunten van de subintervallen, dat wil zeggen in de set:

T = -0.9; -0.7; -0.5; -0,3; -0,1; 0.1; 0.3; 0,5; 0.7; 0.9.

Riemann's Sum (Central) is zo:

S = F (-0.9)*0.2 +f (-0.7)*0.2 +f (-0.5)*0.2 +… +f (0.7)*0.2 +f (0.9)*0,2

Omdat de F -functie symmetrisch is, is het mogelijk om de som te verminderen tot slechts 5 termen en wordt het resultaat vermenigvuldigd met twee:

S = 2*0.2*F (0.1)+ F (0.3)+ F (0.5)+ F (0.7)+ F (0.9)

S = 2*0.2*0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266 = 0.683

De in dit voorbeeld gegeven functie is niemand minder dan de goed bekende Gauss Bell (genormaliseerd, met gemiddelde gelijk aan nul en standaardafwijking). Het is bekend dat het gebied onder de curve in het interval [-1,1] voor deze functie 0,6827 is.

Figuur 5. Gebied onder een geschatte Gauss -bel door middel van een som van Riemann. Bron: f. Zapata.

Dit betekent dat de geschatte oplossing met slechts 10 termen samenvalt met de exacte oplossing tot drie decimalen. Het procentuele fout tussen de geschatte integrale en de exacte is 0,07%.

Referenties

1. Casteleiro, J. M., & Gómez-Alvarez, r. P. (2002). Uitgebreide berekening (geïllustreerd ED.)). Madrid: ESIC -redactie.
2. Unicaans. Geschiedenis van het concept van integrale. Hersteld van: repository.Unicaans.is
3. UIS. Riemann Sums. Hersteld van: wiskunde.UIS.Edu.co
4. Wikipedia. Riemann Sum. Hersteld van: is.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Integratie van Riemann. Hersteld van: is.Wikipedia.com