Voorwaardelijke waarschijnlijkheidsformule en vergelijkingen, eigenschappen, voorbeelden

De voorwaardelijke waarschijnlijkheid Het is de mogelijkheid om een ​​bepaalde gebeurtenis op te treden, omdat een andere optreedt als een voorwaarde. Deze aanvullende informatie kan de perceptie wijzigen (of misschien niet) dat er iets zal gebeuren.

We kunnen ons bijvoorbeeld afvragen: “Wat is de kans dat het vandaag regent, omdat het twee dagen geleden niet regent?". De gebeurtenis waarvan we willen weten dat de kans is dat het vandaag regent, en de aanvullende informatie die het antwoord zou conditioneren, is dat "twee dagen geleden het niet regent".

Figuur 1. De kans dat het vandaag regent, omdat het gisteren regende, is ook een voorbeeld van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Bron: Pixabay.

Wees een Probabilistische ruimte Samengesteld uit ω (monsterruimte), ℬ (willekeurige gebeurtenissen) en P (de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis), plus gebeurtenissen A en B die behoren tot ℬ.

De geconditioneerde waarschijnlijkheid die zich voordoet aan, aangezien B, die wordt aangeduid als P (A│b), wordt op deze manier gedefinieerd:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = p (a en b) / p (b)

Waar: P (a) de kans is op het optreden van A, P (B) is de kans op gebeurtenis B en verschilt van 0, en P (A∩b) is de kans op de kruising tussen A en B, dat wil zeggen , de kans dat beide gebeurtenissen optreden (gezamenlijke waarschijnlijkheid).

Dit is een uitdrukking voor de Bayes -stelling die wordt toegepast op twee gebeurtenissen, voorgesteld in 1763 door de Engelse theoloog en wiskundige Thomas Bayes.

[TOC]

Eigenschappen

-Alle voorwaardelijke waarschijnlijkheid is tussen 0 en 1:

0 ≤ p (a│b) ≤ 1

-De kans dat de gebeurtenis zal gebeuren, omdat deze gebeurtenis plaatsvindt, is duidelijk 1:

P (a│a) = p (a∩a) / p (a) = p (a) / p (a) = 1

-Als twee gebeurtenissen exclusief zijn, dat wil zeggen, gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen gebeuren, dan is de voorwaardelijke kans dat een van hen gebeurt 0, omdat de kruising nietig is:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = 0 / p (b) = 0

-Als B een subset van A is, is de voorwaardelijke waarschijnlijkheid ook 1:

Kan u van dienst zijn: toroid of toro dona

P (b│a) = p (a∩b) / p (a) = 1

Belangrijk

P (a│b) Het is over het algemeen niet gelijk aan p (b│a), daarom moet u ervoor zorgen dat u geen gebeurtenissen uitwisselt bij het vinden van voorwaardelijke waarschijnlijkheid.

Algemene vermenigvuldigingsregel

Vaak wilt u de gezamenlijke waarschijnlijkheid P (A∩b) vinden, in plaats van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Dus, door de volgende stelling die je hebt:

P (a∩b) = p (a en b) = p (a│b). P (B)

De stelling kan worden uitgebreid voor drie gebeurtenissen A, B en C:

P (A∩b∩c) = P (A en B en C) = P (A) · P (B│a) · P (C│a∩b)

En ook voor verschillende evenementen, zoals₁, NAAR₂, NAAR₃ En meer, het kan als volgt worden uitgedrukt:

Vader₁∩ a₂ ∩ a₃… ∩ A_N) = P (a₁)) . Vader₂│a₁)). Vader₃│a₁∩ a₂) ... vader_N│a₁∩ a₂∩… a_N-1))

Wanneer het het geval is van gebeurtenissen die in volgorde en via verschillende fasen plaatsvinden, is het handig om de gegevens in een diagram of tabel te organiseren. Dit vergemakkelijkt het visualiseren van de opties om de gevraagde waarschijnlijkheid te bereiken.

Voorbeelden hiervan zijn de boomdiagram en de rampentabel. Van een van hen kun je de andere bouwen.

Voorbeelden van voorwaardelijke waarschijnlijkheid

Laten we eens kijken naar enkele situaties waarin de kansen van een gebeurtenis worden gewijzigd door het optreden van een ander:

- voorbeeld 1

In een zoete winkel worden twee soorten taarten verkocht: aardbei en chocolade. Bij het registreren van de voorkeuren van 50 klanten van beide geslachten werden de volgende waarden bepaald:

-27 vrouwen, waarvan 11 geven de voorkeur aan aardbei en 16 chocoladetaart.

-23 mannen: 15 chocolade en 8 aardbei.

De kans dat een klant een chocoladetaart kiest, kan worden bepaald door de Laplace -regel toe te passen, volgens welke de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis is:

P = Aantal gunstige gebeurtenissen/totaal aantal evenementen

In dit geval, van 50 klanten, geven in totaal 31 voorkeur aan chocolade, zodat de kans p = 31/50 = 0 zou zijn.62. Dat wil zeggen, 62% van de klanten geeft de voorkeur aan chocoladetaart.

Kan u van dienst zijn: polynoomvergelijkingen

Maar zou het anders zijn als de cliënt een vrouw is? Dit is een geval van voorwaardelijke waarschijnlijkheid.

Rampentabel

Via een eventuele onvoorziene tabel als deze worden totalen gemakkelijk gevisualiseerd:

Vervolgens worden de gunstige gevallen waargenomen en wordt de Laplace -regel toegepast, maar voordat we de gebeurtenissen definiëren:

-B is het "damescliënt" -evenement.

-A is het evenement dat "voorkeur chocoladetaart" een vrouw is.

We gaan naar de kolom met het label "vrouwen" en daar zien we dat het totaal 27 is.

Dan wordt de gunstige zaak gezocht in de "chocolade" rij. Er zijn 16 gebeurtenissen hiervan, daarom is de gewilde kans direct:

P (a│b) = 16/27 = 0.5924

A 59.24 % van de vrouwelijke vrouwen geeft de voorkeur aan chocoladetaart.

Deze waarde valt samen wanneer we contrasteren met de aanvankelijk gegeven definitie van voorwaardelijke waarschijnlijkheid:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b)

We verzekeren onszelf door de Laplace -regel en de waarden van de tabel:

P (B) = 27/50

P (A en B) = 16/50

Waar p (a en b) de kans is dat de cliënt chocolade verkiest en een vrouw is. Nu worden de waarden vervangen:

P (a│b) = p (a en b)/p (b) = (16/50)/(27/50) = 16/27 = 0.5924.

En het is bewezen dat het resultaat hetzelfde is.

- Voorbeeld 2

In dit voorbeeld is de vermenigvuldigingsregel van toepassing. Stel dat er in de tentoonstelling van een winkel een broek in drie maten zijn: klein, gemiddeld en groot.

In veel met een totaal van 24 broek, waarvan er 8 van elke grootte zijn en allemaal gemengd zijn. Wat zou de kans zijn om er twee te extraheren en dat beide klein waren?

Het is duidelijk dat de waarschijnlijkheid van het extraheren van kleine broeken in de eerste poging 8/24 = 1/3 is. Nu is de tweede extractie geconditioneerd aan het eerste evenement, omdat wanneer u een broek uitschakelt, er niet langer 24, maar 23 zijn. En als een kleine broek wordt verwijderd, zijn er 7 in plaats van 8.

Kan u van dienst zijn: multiplicatief principe: teltechnieken en voorbeelden

Evenement A is om een ​​kleine broek uit te schakelen, nadat hij er nog een heeft genomen in de eerste poging. En evenement B is die van een kleine broek voor de eerste. Daarom:

P (B) = 1/3; P (A│b) = 7/24

Ten slotte, via de vermenigvuldigingsregel:

P (a∩b) = (7/24).(1/3) = 7/72 = 0.097

Oefening opgelost

In een onderzoek naar stiptheid op commerciële luchtvluchten zijn de volgende gegevens beschikbaar:

-P (b) = 0.83, is de kans dat een vliegtuig nodig is om tijdig te nemen.

-P (a) = 0.81, is de kans om op tijd te landen.

-P (b∩a) = 0.78 Het is de kans dat de vlucht op tijd zal aankomen.

Er wordt gevraagd om te berekenen:

a) Wat is de kans dat het vliegtuig onmiddellijk landt, omdat het op tijd van start gaat?

b) De bovenstaande waarschijnlijkheid is hetzelfde als de kans dat het op tijd is uitgekomen als u er snel in slaagde om te landen?

c) en ten slotte: wat is de kans dat het op tijd zal komen, omdat het niet op tijd uitkwam?

Figuur 2. Punctualiteit op commerciële vluchten is belangrijk, omdat vertragingen miljonairverliezen genereren. Bron: Pixabay.

Oplossing voor

Om de vraag te beantwoorden, wordt de definitie van voorwaardelijke waarschijnlijkheid gebruikt:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = p (a en b) / p (b) = 0.78/0.83 = 0.9398

Oplossing B

In dit geval worden gebeurtenissen uitgewisseld in de definitie:

P (b│a) = p (a∩b) / p (a) = p (a en b) / p (a) = 0.78/0.81 = 0.9630

Merk op dat deze kans enigszins verschilt van de vorige, zoals we eerder hebben aangegeven.

Oplossing C

De kans om niet punctueel te zijn is 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0.17, we zullen het p (b noemen^C), Omdat het de complementaire gebeurtenis is om tijdig te nemen. De gezochte voorwaardelijke waarschijnlijkheid is:

P (A│b^C) = P (a∩b^C) / P (B^C) = P (A en B^C)/P (B^C))

Aan de andere kant:

P (A∩b^C) = P (tijdlanding) - P (tijdlanding en kijk op weg) = 0.81-0.78 = 0.03

In dit geval is de gezochte kans:

P (A│b^C) = 0.03/0.17 = 0.1765

Referenties

1. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistieken: toepassingen en methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistieken voor engineering en wetenschap. 8e. Editie. Hekelen.
3. Lipschutz, s. 1991. Schaum -serie: waarschijnlijkheid. McGraw Hill.
4. Obregón, ik. 1989.Theorie van waarschijnlijkheid. Redactionele limusa.
5. Walpole, r. 2007. Waarschijnlijkheid en statistieken voor engineering en wetenschap. Pearson.
6. Wikipedia. Geconditioneerde waarschijnlijkheid. Hersteld van: is.Wikipedia.borg.