Multiplicatieve principe -teltechnieken en voorbeelden

Wat is het multiplicatieve principe?

Hij multiplicatief principe Het is een techniek die wordt gebruikt om telproblemen op te lossen om de oplossing te vinden zonder dat het nodig is om de elementen te vermelden. Het is ook bekend als het fundamentele principe van combinatorische analyse; Het is gebaseerd op opeenvolgende vermenigvuldiging om de manier te bepalen waarop een gebeurtenis kan optreden.

Dit principe stelt dat, als een beslissing (D₁) Het kan op n manieren worden genomen en een andere beslissing (D₂) MNERA's kunnen worden genomen, het totale aantal manieren waarop beslissingen D kunnen worden genomen₁ en D₂ Het zal hetzelfde zijn als vermenigvuldig van n _* M. Volgens het principe wordt elke beslissing na een ander genomen: aantal manieren = n_{1 *} N₂.. _* N_X manieren.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Paula is van plan om met haar vrienden naar de bioscoop te gaan en de kleding te kiezen die ze zal dragen, scheiden 3 blouses en 2 rokken. Op hoeveel manieren kan Paula zich aankleden?

• Oplossing

In dit geval moet Paula twee beslissingen nemen:

D₁ = Kies tussen 3 blouses = n

D₂ = Kies tussen 2 rokken = m

Op die manier heeft Paula n _* m beslissingen om te nemen of verschillende manieren van aankleden.

N _* M = 3_* 2 = 6 beslissingen.

Het multiplicatieve principe is geboren uit de boomdiagramtechniek, een diagram dat alle mogelijke resultaten relateert, zodat elk een eindig aantal keren kan optreden.

Voorbeeld 2

Mario had erg dorst, dus ging hij naar de bakkerij om een ​​sap te kopen. Luis dient hem en vertelt hem dat hij in twee maten heeft: groot en klein; en vier smaken: appel, sinaasappel, citroen en druiven. Op hoeveel manieren kan Mario het sap kiezen?

• Oplossing

In het diagram is te zien dat Mario 8 verschillende manieren heeft om het sap te kiezen en dat, zoals in het multiplicatieve principe, dit resultaat wordt verkregen door de vermenigvuldiging van n_*M. Het enige verschil is dat je via dit diagram kunt weten wat de manieren waarop Mario het sap kiest, is.

Kan u van dienst zijn: klassenmerk

Aan de andere kant, wanneer het aantal mogelijke resultaten erg groot is, is het praktischer om het multiplicatieve principe te gebruiken.

Technieken tellen

Het tellen van technieken zijn methoden die worden gebruikt om een ​​directe telling te maken en zo het aantal mogelijke regelingen te weten die de elementen van een specifieke set kunnen hebben. Deze technieken zijn gebaseerd op verschillende principes:

Toevoegingsprincipe

Dit principe stelt vast dat, als twee M- en N -gebeurtenissen niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, het aantal manieren als de eerste of tweede gebeurtenis de som van M + N zal zijn:

Aantal formulieren = m + n ... + x verschillende vormen.

Voorbeeld

Antonio wil een reis maken, maar beslist niet welke bestemming; In het South Tourism Agency bieden ze een promotie om naar New York of Las Vegas te reizen, terwijl het Eastern Tourism Agency aanbeveelt om naar Frankrijk, Italië of Spanje te reizen. Hoeveel verschillende reisalternatieven bieden Antonio?

Oplossing

Met het zuidelijke toeristische bureau Antonio heeft 2 alternatieven (New York of Las Vegas), terwijl het bij de Eastern Tourism Agency 3 opties heeft (Frankrijk, Italië of Spanje). Het aantal verschillende alternatieven is:

Aantal alternatieven = m + n = 2 + 3 = 5 alternatieven.

Permutatieprincipe

Het gaat erom specifiek alle of sommige elementen die een set vormen te bestellen, om het tellen van alle mogelijke regelingen die met de elementen kunnen worden getroffen te vergemakkelijken.

Het aantal permutaties van n verschillende elementen, allemaal tegelijk genomen, wordt weergegeven als:

_NP_N = n!

Voorbeeld

Vier vrienden willen een foto maken en willen weten hoeveel verschillende manieren kunnen worden besteld.

Oplossing

U wilt de set van alle mogelijke manieren weten waarop de 4 mensen kunnen worden geplaatst om de foto te maken. Je moet dus:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 verschillende manieren.

Als het aantal beschikbare permutaties van N -elementen wordt genomen door delen van een set die wordt gevormd door R -elementen, wordt het weergegeven als:

Kan u van dienst zijn: wat is de statistiekenbereik? (Met voorbeelden)

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Voorbeeld

In een klaslokaal heb je 10 posities. Als 4 studenten aanwezig zijn voor de klas, hoeveel verschillende manieren kunnen studenten de posities innemen?

Oplossing

Het totale aantal ingestelde stoelen is 10, en deze worden alleen gebruikt 4. De gegeven formule wordt toegepast om het aantal permutaties te bepalen:

_NP_R = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 manieren om de posities in te nemen.

Er zijn gevallen waarin sommige van de beschikbare elementen van een set worden herhaald (ze zijn gelijk). Om het aantal regelingen te berekenen dat alle elementen tegelijkertijd neemt, wordt de volgende formule gebruikt:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

Voorbeeld

Hoeveel verschillende woorden van vier letters kunnen worden gevormd uit het woord "wolf"?

Oplossing

In dit geval zijn er 4 elementen (letters) waarvan er twee exact hetzelfde zijn. Door de gegeven formule toe te passen, is het bekend hoeveel verschillende woorden zijn:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 verschillende woorden.

Combinatieprincipe

Het gaat erom het repareren van alle of sommige elementen die een set vormen zonder een specifieke volgorde. Als u bijvoorbeeld een XYZ -opstelling hebt, is dit identiek aan onder andere ZXY, YZX, ZYX -arrangementen; Dit komt omdat, ondanks dat ze niet in dezelfde volgorde zijn, de elementen van elke regeling hetzelfde zijn.

Wanneer sommige elementen (r) van de set (n) worden genomen, wordt het combinatieprincipe gegeven door de volgende formule:

_NC_{R =} N! ÷ (n - r)!R!

Voorbeeld

In een winkel verkopen ze 5 verschillende soorten chocolade. Hoeveel verschillende manieren kunnen 4 chocolaatjes worden gekozen?

Kan u van dienst zijn: congruentie: congruente cijfers, criteria, voorbeelden, oefeningen

Oplossing

In dit geval moet u 4 chocolaatjes kiezen van de 5 soorten die in de winkel verkopen. De volgorde waarin ze worden gekozen doet er niet toe en bovendien kan een soort chocolade meer dan twee keer worden gekozen. Als u de formule toepast, moet u:

_NC_R = n! ÷ (n - r)!R!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 verschillende manieren om 4 chocolaatjes te kiezen.

Wanneer alle elementen (r) van de set (n) worden genomen, wordt het combinatieprincipe gegeven door de volgende formule:

_NC_{n =} N!

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Je hebt een honkbalteam met 14 leden. Hoeveel manieren kunnen 5 posities worden toegewezen voor een spel?

• Oplossing

De set bestaat uit 14 elementen en u wilt 5 specifieke posities toewijzen; dat wil zeggen, de bestelling is belangrijk. De permutatieformule wordt toegepast wanneer de beschikbare nelementen worden genomen door delen van een set die wordt gevormd door r.

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Waar n = 14 en r = 5. Het wordt vervangen in de formule:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 manieren om de 9 spelposities toe te wijzen.

Oefening 2

Als een gezin van 9 leden op reis gaat en hun tickets koopt met opeenvolgende posities, hoeveel verschillende manieren kunnen zitten?

• Oplossing

Dit zijn 9 elementen die opeenvolgend 9 stoelen bezetten.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 Verschillende manieren van zitten.

Referenties

1. Hopkins, B. (2009). Bronnen voor het onderwijzen van discrete wiskunde: projecten in de klas, geschiedenismodules en artikelen.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Discrete wiskunde. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, l. NAAR. (2012). Eindige en discrete wiskunde probleemoplosser. Editors van onderzoek en onderwijs vereniging.
4. Padró, f. C. (2001). Discrete wiskunde. Politiek. van Catalonië.
5. Steiner, E. (2005). Wiskunde voor toegepaste wetenschappen. Galm.