Unidimensionale golven wiskundige expressie en voorbeelden

De Unidimensionale golven Zij zijn degenen die zich in één richting verspreiden, ongeacht of trillingen zich in dezelfde voortplantingsrichting voordoet. Een goed voorbeeld van hen is de golf die langs een gespannen touw beweegt zoals dat van een gitaar.

In een vlakke golf kruis, De deeltjes trillen verticaal (ze klimmen en gaan naar beneden, zien de rode pijl in figuur 1), maar het is één -dimensionaal omdat de verstoring in één richting reist, volgt de gele pijl.

Figuur 1: De afbeelding vertegenwoordigt een één -dimensionale golf. Merk op dat ruggen en valleien parallelle lijnen vormen met elkaar en loodrecht op de voortplantingsrichting. Bron: zelf gemaakt.

Unidimensionale golven verschijnen vrij vaak in het dagelijks leven. De volgende sectie beschrijft enkele voorbeelden daarvan en ook van golven die niet unidimensionaal zijn, om de verschillen duidelijk vast te stellen.

[TOC]

Voorbeelden van unidimensionale golven en niet -unidimensionale golven

Unidimensionale golven

Dit zijn enkele voorbeelden van één -dimensionale golven die gemakkelijk kunnen worden waargenomen:

- Een geluidspuls die door een rechte balk reist, omdat het een verstoring is die zich door de bar verspreidt.

- Een golf die door een waterkanaal reist, zelfs wanneer de verplaatsing van het wateroppervlak niet parallel is aan het kanaal.

- Golven die zich op een oppervlak of door de drie -dimensionale ruimte verspreiden, kunnen ook één -dimensionaal zijn, op voorwaarde dat hun golf fronten vlakken zijn parallel aan elkaar en in één richting reizen.

Niet -dimensionale golven

Een voorbeeld van een niet -dimensionale golf wordt gevonden in de golven die worden gevormd op een oppervlak van stil water wanneer een steen wordt gevallen. Het is een twee -dimensionale golf voorkant van de cilindrische golf.

Kan u van dienst zijn: hendelarmFiguur 2. De afbeelding vertegenwoordigt een voorbeeld van wat niet een -dimensionale golf is. Merk op dat ruggen en valleien cirkels vormen en de voortplantingsrichting radiaal naar buiten is, het is dan een tweedimensionale cirkelvormige golf. Bron: Pixabay.

Een ander voorbeeld van niet-vakbondsdimensionale golf is de geluidsgolf die een knaller genereert door explosie op een bepaalde hoogte. Dit is een drie -dimensionale golf met bolvormige golf fronten.

Wiskundige uitdrukking van een één -dimensionale golf

De meest algemene manier om een ​​één -dimensionale golf uit te drukken die zich verspreidt zonder verzwakking in de positieve richting van de as X En met snelheid v Het is wiskundig:

en (x, t) = f (x - v.T)

In deze uitdrukking En vertegenwoordigt de verstoring in de positie X Direct T. De golfvorm wordt gegeven door de functie F. De golffunctie getoond in figuur 1 is bijvoorbeeld:  en (x, t) = cos (x - v t) en het beeld van de golf komt overeen met het moment t = 0.

Een golf als deze, beschreven door een cosinus- of sinusfunctie, wordt genoemd harmonische golf. Hoewel het niet de enige golfvorm is die bestaat, is het van het grootste belang, omdat elke andere golf kan worden weergegeven als een overlap of som van harmonische golven. Het is de kennismaking Fourier Stelling, zo gebruikt om signalen van alle soorten te beschrijven.

Wanneer de golf in de negatieve richting van de X -as reist, verandert deze eenvoudigweg v door -v In argument, zijn:

en (x, t) = g (x + v t)

Figuur 3 toont de animatie van een golf die naar links reist: het is een vorm die functie wordt genoemd Lorentziana en haar Wiskundige uitdrukking is:

Kan u van dienst zijn: Werk: formule, eenheden, voorbeelden, oefeningen

en (x, t) = 1 / (1 + (x + 1⋅T)²

In dit voorbeeld is de snelheid van verspreiding v = 1, -Een eenheid van de ruimte voor elke tijdseenheid-.

figuur 3. Voorbeeld van een Lorentziaanse golf die naar links snel reist V = 1. Bron: voorbereid door F. Zapata met Geogebra.

Unidimensionale golfvergelijking

De golfvergelijking is een vergelijking in gedeeltelijke derivaten, waarvan de oplossing natuurlijk een golf is. Het vestigt de wiskundige relatie tussen het ruimtelijke deel en het tijdelijke deel ervan, en heeft de vorm:

De oplossing, die precies de functie y (x, t) is, kan worden geverifieerd door vervanging en ontwikkeling in deze vergelijking. Bijvoorbeeld functies F (x - v t)  En  G (x + vt)  vermeld, het zijn golfvergelijkingsoplossingen.

Opgelost voorbeeld

Dan heb je de algemene uitdrukking y (x, t) voor een harmonische golf:

en (x, t) = a⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

a) Beschrijf de fysieke betekenis van de parameters A, k, ω En θo.

b) Welke betekenis hebben de tekenen ± op het argument van de coseno?

c) Controleer of de gegeven uitdrukking inderdaad de oplossing is van de golfvergelijking van de vorige sectie en vind de snelheid v propagatie.

Oplossing voor)

De kenmerken van de golf zijn in de volgende parameters:

-NAAR vertegenwoordigt de amplitude of "golfhoogte".

-K zit in Golfnummer En het is gerelateerd aan de golflengte λ door K = 2π/ λ.

-Ω Het is fhoekuitbreiding En het is gerelateerd aan de periode T golf oscillatie door

Ω = 2π/ t.

-θo Het is de begin fase, die gerelateerd is aan het startpunt van de golf.

Kan u van dienst zijn: statische wrijving: coëfficiënt, bijvoorbeeld oefening

Oplossing B)

Negatief teken wordt genomen als de golf in de positieve richting van de X -as reist en anders een positief teken.

Oplossing c)

Controleer of de gegeven uitdrukking een oplossing is voor de golfvergelijking is eenvoudig: de gedeeltelijke afgeleide van de functie wordt genomen en (x, t) Met betrekking tot X tweemaal, is het gedeeltelijk afgeleid van T en vervolgens beide resultaten komen samen om gelijkheid te verkrijgen:

Tweede afgeleid van x: ∂²en/ ∂x²= -K². NAAR⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

Tweede afgeleid van t: ∂²en/ ∂t²= --Ω². NAAR⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

Deze resultaten worden vervangen in de golfvergelijking:

 -k². NAAR⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo) = (1/v²) (-Ω². NAAR⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo))

Zo veel NAAR Aangezien de cosinus wordt vereenvoudigd, omdat ze aan beide zijden van gelijkheid verschijnen en het argument van de cosinus hetzelfde is, is de uitdrukking daarom gereduceerd tot:

-k² = (1/V²) (-Ω²))

Die het mogelijk maakt om een ​​vergelijking te verkrijgen v aangaande met Ω En k:

v² = Ω² / K²

v = ± Ω / K

Referenties

1. E-educatief. Vergelijking van unidimensionale harmonische golven. Hersteld van: e-ducatief.Kathedu.is
2. De Rincón of Physics. Golfklassen. Opgehaald uit: natuurkunde.Blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Golven en kwantumfysica. Serie: Physics for Science and Engineering. Uitgegeven door Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas, Venezuela.
4. Physics Lab. Golfbeweging. Hersteld van: fisicalab.com.
5. Peirce, een. Lezing 21: De ene dimensionale golfvergelijking: de oplossing van D'Alembert. Opgehaald uit: UBC.AC.
6. Golfvergelijking. Opgehaald uit: in.Wikipedia.com